中考数学专项复习：利用相似三角形测高（知识梳理与方法分类讲解）

专题4.24利用相似三角形测高（知识梳理与方法分类讲解）

第一部分【方法归纳】

【方法一】利用阳光下的影子测量高度

基本原理：利用太阳光是平行光线以及与地面垂直构造相似三角形，通过相似三角形对应边

成比例列出关系式求解.具体步骤：在阳光下，测量旗杆的影子长度和一根已知高度的木棍

的影子长度，通过比例关系计算出旗杆的高度.

操作方法:一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的影长和此时旗杆的影长.提示:

把太阳的光线看成是平行的.

•••太阳的光线是平行的，

：.AE\iCB,

：.Z-AEB=/.CBD,

•••人与旗杆是垂直于地面的，

：./-ABE=/.CDB,

△ABEFCBD

ABBE

CD-50

因此，只要测量出人的影长BE,旗杆的影长。3,再知道人的身高/瓦就可以求出旗杆CD

的高度了.

【方法二】利用标杆测量高度

基本原理：从人眼所在的部位向旗杆作垂线，根据与地面垂直构造相似三角形，利用相似三

角形对应边成比例列式计算.具体步骤：在旗杆旁边竖立一根标杆，从人眼的位置向旗杆作

垂线，通过测量标杆的高度和它与旗杆之间的距离，利用相似三角形的原理计算出旗杆的高

度.

试卷第1页，共8页

操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测

者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时，分别测出他的

脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度.

如图3,过点/作NN1DC于N,交EF于M.

.••人、标杆和旗杆都垂直于地面，

UBF=4EFD=CCDH=9Q°

，人、标杆和旗杆是互相平行的.

■■EFWCN,

••Z.1=Z.2,

vz3=z3,AAME-AANC,

.AM_EM

-AN~CN

•••人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差都已测量出，

，能求出CN,

:UBF=LCDF=UND=90°,

，四边形ABND为矩形.

：.DN=AB,

能求出旗杆CD的长度.

【方法三】利用镜子的反射测量高度

基本原理：根据入射角等于反射角，与地面垂直构造相似三角形，根据对应边成比例列出算

式.具体步骤：在距离旗杆的地面上放一个镜子，人站在镜子的前面能从镜子里看到旗杆的

顶点，通过测量镜子到旗杆的距离和镜子到地面的距离，利用相似三角形的原理计算出旗杆

的高度.

操作方法：选一名学生作为观测者.在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位

试卷第2页，共8页

置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆项端.测出此时他

的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度.点拨：入射角=反射角

••・入射角=反射角

；.UEB"CED

•.•人、旗杆都垂直于地面

••・乙5=2。=90°

・•・因此，测量出人与镜子的距离8E,旗杆与镜子的距离再知道人的身高就可以

求出旗杆8的高度.

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型11利用阳光下的影子测量高度

【例1】（23-24九年级上•陕西西安・期末）

1.如图，某校操场上有一根旗杆/〃，该校学习兴趣小组为测量它的高度，在3和。处各

立一根高1.5米的标杆8C、DE,两杆相距30米，已知视线NC与地面的交点为尸,视线NE

与地面的交点为G,并且〃、B、F、D、G都在同一直线上，AH、BC、DE均与G8垂直,

测得所为3米，0G为5米，求旗杆的高度.

4.

1E、一

HBFDG

【变式1］（2024•浙江杭州•二模）

2.某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆OE直立在同一水

平地面上（如图）.同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是3c=11.04m,

EF=2.76m.已知8,C,E,尸在同一直线上，ABIBC,DE±EF,DE=3.24m,则旗

杆力B的高度为（）

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BCE

A.12.96mB.12.76mC.12.56mD.12.36m

【变式2］（2024•吉林松原•一模）

3.如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面的距离5c=0.4m,和5N表示射入室

内的光线，若某一时刻2c在地面的影长CN=0.5m,/C在地面的影长CM=2m,则窗户

的高度AB为m.

MN（

【题型2】利用标杆测量高度

【例2】（23-24九年级上•辽宁葫芦岛・期末）

4.如图，是位于校园内的旗杆，在学习了27章“相似”之后，学生们积极进行实践活动，小

丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度43,有以下两种方案：

方案一：如图1,在距离旗杆底B点30m远的。处竖立一根高2m的标杆CD,小丽在尸处

站立，她的眼睛所在位置£、标杆的顶端C和塔顶点A三点在一条直线上.已知小丽的眼睛

到地面的距离£尸=1.5m,DF=1.5m,AB±BF,CD1BF,EF1,BF,点、F、D、5在

同一直线上.

方案二：如图2,小颖拿着一根长为16cm的木棒CC•站在离旗杆30m的地方（即点£到/8

的距离为30m）.他把手臂向前伸，木棒竖直，CD//AB,当木棒两端恰好遮住旗杆（即

E、C、A在一条直线上，E、D、B在一条直线上），已知点E到木棒CD的距离为

40cm.

试卷第4页，共8页

请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度N2.

【变式1】（23-24九年级上•湖南常德•期中）

5.如图，在一次测量操场旗杆高度的数学活动课上，小刚拿一根高3.7m的竹竿（EC）直立

在离旗杆（48）27m的点C处，然后走到点。处，这时目测到旗杆顶部/与竹竿顶部E恰好

在同一直线上，又测得C,。两点间的距离为3m,小刚的目高（眼睛到底面的距离）DF

为1.7m,则旗杆4B的高度为（）

A

DCB

A.19.7mB.20.7mC.21.7mD.22.7m

【变式2］（23-24九年级上•山东荷泽•阶段练习）

6.为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如下图，将直角三角形硬纸板DEF的斜

边。尸与地面保持平行，并使边。E与旗杆顶点/在同一直线上.测得。£=1米，EF=0.5

米，目测点。到地面的距离。G=1米，到旗杆的水平距离。C=20米.按此方法，计算出

旗杆的高度为米.

HG

【题型3】利用镜子的反射测量高度

【例3】（2024•陕西西安•三模）

7.小安和大智想利用所学的几何知识测量一座古塔的高度，测量方案如下：如图，小安位

试卷第5页，共8页

于大智和古塔之间，直线上平放一平面镜，在镜面上做一个标记，记为点C,镜子不动,

小安看着镜面上的标记来回走动，走到点。时，看到塔顶端点/在镜面中的像与镜面上的

标记重合，此时测得小安眼睛与地面的高度ED=1.6米，CO=2.8米.同时，在阳光下，古

塔的影子与大智的影子顶端〃恰好重合，测得大智身高FG为1.8米，影长切为3.6米,

已知6尸_1.8屈,。"=21.2米，/、H、G三点共线，且测量时所用的

平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息，求出古塔的高度.

【变式1】（23-24九年级上•辽宁大连•阶段练习）

8.如图，为了测量学校旗杆的高度，小芳在地面上水平放置了一面镜子，并向后退，直到

刚好在镜子中看到旗杆的顶端，小芳立即记录了相关数据：她的眼睛距地面1.65m,她与镜

子的水平距离为1.5m,镜子与旗杆的水平距离为10m.则旗杆的高度为（）

A.7.5mB.9mC.10mD.11m

【变式2］（2023•云南昆明•一模）

9.为测量校园水平地面上一棵树的高度，学校数学兴趣小组根据光的反射定律，利用一面

镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把这面镜子水平放置在地面点£处，然后观

测者沿着直线BE后退到点。，恰好在镜子里看到树的最高点再用皮尺测量BE,和

观测者目高CO.若BE=8.4m,DE^3.2m,CD=1.6m,则树的高度为m.

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第三部分【中考链接与拓展延伸】

1、直通中考

[例1]（2023•四川南充・中考真题）

10.如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后

向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已

知小菲的眼睛离地面高度为1.6m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗杆的水

平距离为10m,则旗杆高度为（）

A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m

【例2】（2022•浙江杭州•中考真题）

11.某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆N2的高度，把标杆DE直立在同一

水平地面上（如图）.同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m,

EF=2.18m.已知2,C,E,尸在同一直线上，ABLBC,DELEF,DE=1Alm,贝!148=

m.

2、拓展延伸

【例1】（19-20九年级上•广东深圳•期末）

12.如图，小亮要测量一座钟塔的高度8,他在与钟塔底端处在同一水平面上的地面放置

一面镜子，当他站在8处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记£重合.已知从E、D

在同一直线上，AB=1.6m,BE=\Am,£）£=14.7m,则钟塔的高度为m.

试卷第7页，共8页

BED

【例2】（23-24九年级上•山西运城•期中）

13.隘街某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度43=200cm,遮

阳棚固定点月距离地面高度/C=298cm,遮阳棚与墙面的夹角为60。.在某一时刻，一位

身高172cm的顾客EF在太阳光下的影长PG=86cm,求此时遮阳棚在地面上的影长

CD.（V3-1.732,结果精确到1cm）

试卷第8页，共8页

1.旗杆za的高度为24米

【分析】本题考查相似三角形的实际应用.证明列出比例式

进行求解即可.解题的关键是证明三角形相似.

【详解】解：由题意，得：BD=30,BF=3,0G=5,BC=DE=L5,

AH±GH.BC1GH.DE±HG,

：.BC//AH.DE//AH,

：,AAHFS£BFAAHGS^EDG,

BC_BFDE_DG

••前一而‘~AH~HGf

BFDG

,•而一前‘

3_5

3+HB~30+5+HB'

解得：HB=45,且是方程的解，

BCBF

・病一茄’

1.5_3

3+45'

•*AH=24,且是方程的解，

答：旗杆4〃的高度为24米.

2.A

【分析】先证Rt"BCsRt/ET"再根据"相似三角形对应边成比例”列比例式求解即

可.

本题主要考查了利用相似三角形测高，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

【详解】解：・・・4C〃Q尸,

/ACB=ZDFE,

又•一4B上BC,DELEF,

:.ZABC=ZDEF=90°,

Rt〃BCsRtADEF,

.ABBC

,,法一而‘

口口AB11.04

即：---=-----,

3.242.76

解得：45=12.96,

答案第1页，共9页

故选：A.

3.1.2

【分析】本题考查相似三角形性质的应用.解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应

边成比例，建立适当的数学模型来解决问题.阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特

性可知透过窗户后的光线8N与4"仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形

性质可进一步求出力8的长，即窗户的高度.

【详解】解：■:BN〃AM,

ZCBN=ZA,ZCNB=ZM,

:,①BNs卫AM,

CNBC

••凡一就‘

•••CN=0.5m,CM=2m,BC=OAm,

0.50.4

2AC

解得：/C=1.6m,

■.AB=AC-BC=1.6-0A=l2m,

故答案为：1.2.

4.旗杆的高度AS为12米，方案一和方案二的过程见解析

【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，若选择方案一：如图，过点E作

EHVAB,垂足为b,交CD于点G,求出斯=OG=2〃=1.5（米），FD=EG=15

（米）,

EH=BF=FD+DB=1.5+30=31.5（米），进而求出CG=0.5（米），再证明

得至1」二1=空，据此求出/"=10.5（米），进而可得至lJ/8=/”+8"=12（米）；若选择

AHEH

方案二：如图，过点E作EHL43,垂足为“，交CQ于点G,则N4ffi=90。，证明

..CDEG0.160.4[

△ECDsdAEAB,得到---=----，即Rrl----=—,可得z4B=12（米）.

ABEHAB30

【详解】解：若选择方案一：如图，过点E作相，/5,垂足为〃，交CD于点G,

答案第2页，共9页

由题意得：EHVCD,EF=DG=BH=1.5（米），FD=EG=\.5（米）,

EH=BF=FD+DB=1.5+30=31.5（米），

CG=CD-DG=2-1.5=Q.5（米），ZCGE=ZAHE=90°,

又；/CEG=AEH,

:.ACEGsLAEH,

CGEG0.51.5

——,即Bn——=-----

AHEHAH31.5

AH=10.5（米）,

AB=AH+BH=\Q.5+\.5=U（米）

答：旗杆的高度为12米;

若选择方案二:

如图，过点£作£〃1_48,垂足为H,交CO于点G,则//班=90。

CD//AB,

NCGE=ZAHE=90°,

EHX.CD,

由题意得：CD=16（厘米）=0.16（米），EG=40（厘米）=0.4（米），EH=30（米），

CD//AB,

:AECDS^EAB,

CDEG0.160.4

——=——，即Bn-----=—,

ABEHAB30

.•5=12（米）

答：旗杆的高度N2为12米.

5.C

【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，过尸作尸G1.N8于G,交CE于H,利

用相似三角形的判定得出AAGFSAEHF,再利用相似三角形的性质计算是解题关键.

【详解】如图，设旗杆高A8=xm,过尸作尸GL/3于G,交CE于

答案第3页，共9页

A

:.AAGFSAEHF.

•■•FZ)=1.7m,GF=27+3=30m,HF=3m,

.♦.E〃=3.7-1.7=2m,/G=(x-1.7)m.

•:AAGFSAEHF,

EAGH系即x-1.730

23

所以x=21.7,

故选:C.

6.11

【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意证出AOE/SAOC/,进而利用相似

三角形的性质得出/C的长，即可得出答案.

【详解】解：由题意得：NDEF=ZDCA=90°,NEDF=NCDA,

■■■&DEFS^DCA,

则匹二匕即匚”

DCAC20AC

解得：AC^IO,

i^AB=AC+BC=10+l=ll(米),

即旗杆的高度为11米;

故答案为：11.

7.古塔45的高度为96米

【分析】本题考查相似三角形的实际应用，准确判断出相似三角形，理解相似三角形的性质

4

是解题关键.直接利用相似三角形的判定与性质得出=证明

进而得出的长，即可得出答案.

【详解】解：由题意可得：/BCA=/ECD/ABC=/EDC,

/./\ABCS^EDC,

ABBC

,1DE~15C,

答案第4页，共9页

•••七。=1.6米，CZ)=2.8米,

•45」6_4

,,5C-2J-7?

4

AB=-BC,

7

-GF//AB,

・•・AGFHS/^ABH,

GFAB

••丽―曲‘

.*.L8_AB_-7B”C,

16~5C+2.8+21.2-BC+24

解得：BC=168米，

经检验，5C=168是上述分式方程的解且符合实际意义，

44

故4B=—5C=—xl68=96米.

77

答：古塔45的高度为96米.

8.D

【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相

似三角形的性质.

根据镜面反射性质，可求出//C5=/£CD,再利用垂直求N/3C=NEOC=90。，得出

△ACBSAECD,最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.

【详解】解：如图，由题意得，AB=1,65m,BC=1.5m,CD=10m,

./E

手、」'D

BC

根据镜面反射可知：乙4cB=NECD,

：AB1BD,DE1BD,

:.ZABC=ZEDC=90°,

:.XACBSRECD,

.AB_CB

.•访一五’

答案第5页，共9页

1.651.5

即Rn=——，

ED10

故选：D.

9.4.2

【分析】过点E作MLB。，根据入射角等于反射角可知，ZCEF=ZAEF,从而可得

DECD

/DEC=NBEA,再由CD_L8D,ABA.BD,可彳导NCDE=NABE,进而可得一=—,即

BEAB

可求得结果.

【详解】解：过点£作£尸，助，则/C既=44所，

vZDEF=ZBEF=90°,

••"DEC=/BEA,

•••CDLBD,AB1BD,

/CDE=/ABE=90。,

・•.ACDE〜"BE,

DECD

•,法-IP

'：DE=3.2m,CD=1.6m,ES=8.4m,

.3.2_1.6

,•近一IP

AB-4.2m,

【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，熟记入射角等于反射角，熟练掌握三角形相似的

判定与性质是解题的关键.

10.B

【分析】根据镜面反射性质，可求出N/CB=NEC〃，再利用垂直求A4BCSAE£)C,最后

根据三角形相似的性质，即可求出答案.

【详解】解：如图所示，

答案第6页，共9页

E

F

A!，/

BCD

由图可知，ABLBD,CDLDE,CF1BD

：,AABC=ACDE=90°.

・•・根据镜面的反射性质，

・•.ZACF=ZECF,

・•.90°-ZACF=90°-ZECF,

/.ZACB=ZECD,

:AABCS八EDC,

.ABBC

,DE~CD'

・•・小菲的眼睛离地面高度为L6m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗杆的水

平距离为10m,

/.AB=1.6m,BC=2m,CD=10m.

•L6_2

DE=8m.

故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相

似三角形的性质.

11.9.88

【分析】根据平行投影得4CIIQE,可得UCB=5FE,证明RfAABC〜ARSEF,然后利

用相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：•・・同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是5C=8.72m,EF=2.18m.

^ACWF,

；.AACB=ADFE,

-ABLBC,DEtEF,

••・乙4BC=ZZgF=90。，

・••放A45cs放△DEE

答案第7页，共9页

ABBCmAB_8.72

：'~DE^~EF'BZ472?18；

解得/B=9.88,

•••旗杆的高度为9.88m.

故答案为：9.88.

【点睛】本题考查了相似三角