7.2探索平行线的性质-平行线的性质（八大题型）

7.2探索平行线的性质平行线的性质分层练习考查题型一平行线的性质1．下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【详解】解：①符合对顶角的性质，正确；②两直线平行，内错角相等，故本小题错误；③符合平行线的判定定理，正确；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故本小题错误．故本题选：．2．下列图形中，由，能得到的是A． B． C． D．【详解】解：、，，与不一定相等，不合题意；、，，若，则，不合题意；、若梯形是等腰梯形，则，不合题意；、，，，，正确，符合题意．故本题选：．3．如图两直线、与的边相交，且、分别与、平行．根据图中所示角度，可知的度数为A． B． C． D．【详解】解：、分别与、平行，，，，，．故本题选：．4．将一副直角三角板和如图放置（其中，，使点落在边上，且，则的度数为A． B． C． D．【详解】解：，，，，，，，，．故本题选：．5．已知、是两面互相垂直的平面镜，一束光线沿经、反射后沿射出，若，，则．【详解】解：入射角等于反射角，，，，，，，，，．故本题答案为：25．6．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少，那么这两个角的度数分别．【详解】解：①如图1，，，，，，其中一个角比另一个角的4倍少，，即，解得：，；②如图2，，，，，，其中一个角比另一个角的4倍少，，即，解得：，；综上，这两个角的度数是和或和．故本题答案为：和或和．7．把一块含角的直角三角尺放在两条平行线，之间．（1）如图1，若三角形的角的顶点放在上，且，求的度数；（2）如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系；（3）如图3，若把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上，请直接写出与的数量关系．【详解】解：（1），，，，又，，；（2），，即，又，；（3），理由如下：，，，，，，．考查题型二平行与折叠1．如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为A． B． C． D．【详解】解：长方形，，，，，由折叠可得：，，，，在中，．故本题选：．2．如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中，则的度数为（用含的代数式表示）．【详解】解：如图，由题意可得：、△都为、、的三角形，，，，，，．故本题答案为：．3．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠成图，若，则．【详解】解：，，，，，，，，，由折叠可得：，．故本题答案为：72．4．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的度数是A． B． C． D．【详解】解：，，，，图中的，，图中，图中．故本题选：．5．如图，长方形中，，为边上一点，将长方形沿折叠为折痕），使点与点重合，平分交于点，过点作交于点．（1）请判断与的位置关系，并说明理由．（2）若，请利用平行线相关知识求的度数．【详解】解：（1）平行，理由如下：长方形沿折叠，，平分交于点，，，，，，；（2），，长方形中，，，，．6．如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置，的延长线交于点．（1）如果，求的度数；（2）如果已知，则；（用含的式子表示）（3）探究与的数量关系，并说明理由．【详解】解：（1）如图，，，在△与△中，，，，，；（2），，同（1）可得：，；（3），理由如下：在△与△中，，，，，，．考查题型三平行与旋转1．为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道、上分别放置、两盏激光灯，如图所示．灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动，灯先转动2秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒【详解】解：设灯旋转时间为秒，灯光束第一次到达需要（秒），，即，由题意可得：满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：①如图1，，，解得：；②如图2，，，解得：；综上，灯旋转的时间为1或8.5秒．故本题选：．2．一副直角三角尺叠放如图所示，现将的三角尺固定不动，将的三角尺绕顶点逆时针转动，点始终在直线的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行时，则所有符合条件的度数为A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，【详解】解：①如图，当时，，；②如图，当时，，；③如图，当时，，；④如图，当时，延长交于点，，，，．故本题选：．考查题型四平行与角平分线1．如图，已知射线，，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线，，的角平分线，其中点，，，，都在射线上，则的度数为A． B． C． D．【详解】解：，，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，，是的角平分线，，，，，，，，，，．故本题选：．2．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则的度数为A． B． C． D．【详解】解：如图，过作，，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，可设，，，，四边形中，，即，①又，，②由①②可得：，解得：．故本题选：．3．如图，直线，点、分别为直线和上的点，点为两条平行线间的一点，连接和，过点作的平分线交直线于点，过点作，垂足为，若，则．【详解】解：过点作，则，，，，平分，，，，，，，，，．故本题答案为：30．考查题型五猪蹄模型1．如图，将一块含有角的直角三角尺放置在两条平行线上，若，则为A． B． C． D．【详解】解：如图，作平行于两条平行线的直线，由平行线的性质可得：，，，，．故本题选：．2．如图，已知，和分别平分和，若，，则的度数为A． B． C． D．【详解】解：如图，过点作，过点作，，，，，，，．，，又和分别平分和，，，①，②，①②得：，③，①③得：，．故本题选：．考查题型六铅笔模型1．如图，，，，则为A． B． C． D．【详解】解：如图，过点作，，，，，，．故本题选：．2．如图，直线，点，分别是直线，上的两点，点在直线和之间，连接，，和的平分线交于点，下列等式正确的是A． B． C． D．【详解】解：如图，过点作，过点作，，，，，，，，，和的平分线交于点，，，，，，，，，，，，即．故本题选：．3．问题情境：如图①，直线，点，分别在直线，上．猜想：（1）若，，试猜想；探究：（2）在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论；拓展：（3）将图①变为图②，若，，求的度数．【详解】解：（1）如图①，过点作，，，，，，，，，，故本题答案为：80；（2），理由如下：如图①，过点作，，，，，，，；（3）如图②，过点作，，，由（2）知，，，，，，，，，．考查题型七鹰嘴模型1．如图，已知，则、、三者之间的关系是A． B． C． D．【详解】解：，，，，，，．故本题选：．考查题型八锯齿模型1．如图，，是直线、间的一条折线．若，，，则的度数为A． B． C． D．【详解】解：如图，过作，，，，，，，，，．故本题选：．2．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为．【详解】解：，，如图，过点作，过点作，，，，，，，，，，，．故本题答案为：．1．如图，、、三根木棒钉在一起，，，现将木棒、同时绕着自身与相交的交点顺时针旋转一周，速度分别为12度秒和2度秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过秒时木棒，平行．【详解】解：设经过秒时木棒，平行，由题意可得：①当秒时，，解得：；②当秒时，，解得：；③当秒时，木棒停止运动；④当时，，解得：，不合题意；⑤当时，，解得：；⑥，解得：；⑦当时，木棒停止运动；综上，经过3或21或75或165秒时木棒，平行．故本题答案为：3或21或75或165．2．将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，则所有满足条件的的值为．【详解】解：由题意可得：，，（1）如图1，当时，延长交于点，①在上方时，，，，，，，，，即，；②在下方时，，，，，，，，，，即，（不合题意，舍去）；（2）当时，延长交于点，①如图，在上方时，，由题意可得：，，，，，即，，，此时应该在下方，不合题意，舍去；②如图，在下方时，由题意可得：，，，，即，；综上，所有满足条件的的值为30或120．故本题答案为：30或120．3．问题情境：（1）如图1，，，，求度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点作，请你接着完成解答．问题迁移：（2）如图3，，点在射线上运动，当点