专题13证明圆的切线的七种常用方法（原卷版）

专题13证明圆的切线的七种常用方法（原卷版）第一部分典例剖析类型一有公共点：连半径，证垂直方法1勾股定理逆定理法正垂直例1如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为⊙O上一点，PC＝8，PB＝4，AB＝12，求证：PC是⊙O的切线．方法2特殊角计算法证明垂直例2（青海中考）如图△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD=5，求⊙O方法3等角代换法证明垂直例3（2020•邵阳）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过点A，连接AD，∠CAD＝∠C．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AC＝4，求⊙O的半径．

方法4平行线性质法证明垂直例4（2022秋•黄石期中）如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；（2）①求证：CF＝OC．②若半圆O的半径为12，求阴影部分的面积．方法5全等三角形法证明垂直例5（2020•西藏）如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．

类型2无公共点，作垂直，证半径方法6角平分线性质证半径例6如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，DE＝DC，以点D为圆心，BD长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝2．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）求线段AC的长．方法七全等三角形法证半径例7（2020•江岸区校级模拟）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD+BC＝CD，以AB为直径作⊙O．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若CD切⊙O于E点，连接OE、AC交于F，若FC＝2AF，求BCAD

第二部分专题提优训练1．（2023秋•鼓楼区期中）如图，过A、B、C三点作一圆弧，点B与下列格点连线中，能够与该弧所在的圆相切的是（）A．（0，3） B．（1，3） C．（2，3） D．（4，3）第1题第2题第3题2．（2023•长安区一模）如图，网格中的每个小正方形的边长是1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上，若过点M作⊙O的一条切线MK，切点为K，则MK＝（）A．32 B．25 C．5 D．34二．填空题（共1小题）3．（2023秋•常州期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P是直线y＝2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为．三．解答题（共5小题）4．（宿迁中考）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）如图①，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F．求证：∠1＝∠2；（2）在图②中作⊙M，使它满足以下条件：①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）5．（2020•郯城县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．（1）若⊙O的半径为132，AC＝10，求BN（2）求证：NE与⊙O相切．6．（2023•瑶海区一模）如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，D是BC的中点，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求AE的长．

7．（江西中考）如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．8．（抚州中考）如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过x轴上一点C，与y轴分别相交于A、B两点，连接AP并延长分别交⊙P、x