专题04含半角模型

专题04含半角模型基本模型：例题精讲例1．问题背景：在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法．如图①，在四边形ABCD中，，，，点E，F分别是BC，CD上的点，且，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系．(1)探究发现：小明同学的方法是将绕点A逆时针旋转120°至的位置，使得AB与AD重合，然后证明，从而得出结论：____________；(2)拓展延伸：如图②，在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且，连接EF，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．(3)尝试应用：在（2）的条件下，若，，求正方形ABCD的边长．【答案】(1)EF=BE+DF；(2)成立，证明过程见解析；(3)6【解析】(1)解：∵绕点A逆时针旋转120°至的位置，使得AB与AD重合，∴∠EAG=∠BAD=120°，∵∠BAE=∠BAD∠EAD=120°∠EAD，∠DAG=∠EAG∠EAD=120°∠EAD，∴∠BAE=∠DAG，且AE=AG，∴△BAE≌△DAG(AAS)，∴∠EBA=∠GDA=90°，GD=BE，∴∠GDA+∠ADF=90°+90°=180°，∴G、D、F三点共线，又由已知：∠EAF=60°，∴∠GAF=∠EAG∠EAF=120°60°=60°，在和中：，∴，∴．(2)解：(1)中的结论依然成立，即：，理由如下：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，D点落在B点处，F点落在G点处，连接GB，如上图，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°，∵旋转90°，即∠FAG=90°，∴∠BAG+∠BAE=90°∠DAF=90°45°=45°，∴∠DAF=∠BAG,在△GAB和△FAD中：，∴△GAB≌△FAD(SAS)，∴∠ABG=∠ADF=90°，BG=DF，∴∠ABG+∠ABE=90°+90°=180°，∴G、B、E三点共线，又已知∠EAF=45°，∴∠GAE=90°∠EAF=90°45°=45°，∴∠GAE=∠EAF，在△GAE和△FAE中：，∴△GAE≌△FAE(SAS)，∴EF=GE=GB+BE=DF+BE．(3)解：设正方形边长为x，则EC=BCBE=x3，FC=CDDF=x2，由(2)中结论可知：EF=BE+DF=3+2=5，在Rt△EFC中，由勾股定理有：EC²+CF²=EF²，代入数据：∴(x3)²+(x2)²=25，解出：x1=6，x2=1(负值舍去)，∴正方形的边长为6．例2.在图1、图2，图3中．点E、F分别是四边形边上的点；下面请你根据相应的条件解决问题．特例探索：（1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至G，使．则__________．在图2中，，，，，，；则__________．

归纳证明：（2）在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．实际应用:（3）图4是某公路筑建工程平面示意图，指挥中心设在O处，A处、B处分别是甲、乙两公路起点，它们分别在指挥中心的北偏东和南偏东的方向上．且A、B两处分别与指挥中心O的距离相等：其中甲公路是从A处开始沿正东方向筑建，乙公路是从B处开始沿北偏东40方向筑建：甲、乙两公路的路基筑建速度分别是每天150米、180米，当两公路同时开工后的第五天收工时，分别筑建到C、D处，经测量．试求C与D两处之间的距离．【答案】（1）5，2.5；（2）EF=BE+FD；（3）1650m．【分析】（1）先证明出△ABE△ADG，再根据∠DAF+∠BAE=45°得出∠EAF=∠FAG，利用△AEF△AGF即可得出结果；延长CD到G，使BE=DG，连接AG，同理证明即可；（2）延长FD到G，使BE=DG，利用条件证明△ABE△ADG，再根据∠DAF+∠BAE=45°得出∠EAF=∠FAG，利用△AEF△AGF即可得出结论；（3）依照结论（2），延长DB到E，使BE=AC，连接OE，通过求证△OAC△OBE和△OCD△OED得出CD=DE=BD+BE=BD+AC，代入数据求值即可．【详解】（1）∵BE=DG=2，∠B=∠ADG=90°，AB=AD；∴△ABE△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，又∵∠DAF+∠BAE=45°，∴∠DAF+∠DAG=45°，∴∠EAF=∠FAG，∴△AEF△AGF（SAS），∴EF=GD+DF=3+2=5；延长CD到G，使BE=DG，连接AG，同理可证：△ABE△ADG，△AEF△AGF，∴EF=GD+DF=2.5；（2）延长FD到G，使BE=DG，∵BE=DG，∠B=∠ADG，AB=AD；∴△ABE△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，又∵∠DAF+∠BAE=45°，∴∠DAF+∠DAG=45°，∴∠EAF=∠FAG，∴△AEF△AGF（SAS），∴EF=GD+DF=DF+BE；（3）分析可得（2）中结论仍然成立，延长DB到E，使BE=AC，连接OE，∵∠OAC=90°+20°=110°，∠DBE=180°70°=110°，OA=OB,∴△OAC△OBE，∴OE=OC，即可证明△OCD△OED，∴CD=DE=BD+BE=BD+AC=（150+180）5=1650m．例3．已知如图1，四边形是正方形，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．（1）在图l中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；（2）如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？（3）如图3，如果四边形中，，，，且，，，求的长．【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）的长为5．【详解】（1）证明：∵，∴，，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°，即∠GAB+∠BAE=45°，∴∠GAE=∠EAF，∴在△GAE和△FAE中，∴，∴，∴，∴；（2）解：在上取一点，使，，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠ADG=∠ABE=90°，又∵DG=BE，∴，∴，，∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=45°，∴∠GAD+∠BAF=45°，∴∠GAF=45°，即∠EAF=∠GAF，∴，∴，；（3）解：在上取一点，使，∵，∴∠D+∠ABC=180°，∵∠ABE+∠ABC=180°，∴∠D=∠ABE，又∵AB=AD，DG=BE，∴，∴，，∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=45°，∴∠GAD+∠BAF=45°，∴∠GAF=45°，即∠EAF=∠GAF，∴，∴EF=FG设∴，∴在中，∴，解得：，答：的长为5．课后训练1.(1)问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG=BE，连结AG，先证明ΔΔADG，再证明ΔΔAGF，可得出结论，他的结论应是．(2)探索延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF=∠BAD，上述结论是否依然成立？并说明理由．【答案】（1）EF=BE+DF；（2）成立，见解析【详解】解：（1）EF=BE+DF，证明如下：

在△ABE和△ADG中，在△AEF和△AGF中，故答案为EF=BE+DF．（2）结论EF=BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，如图②，

在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△AGF中，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；2．如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．（1）小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系，他的结论应是．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．拓展（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，则BE，EF，FD之间的数量关系是．请证明你的结论．实际应用（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离是海里（直接写出答案）．【答案】（1）EF＝BE+FD；（2）EF＝BE+FD，证明见解析；（3）168海里【详解】解：如图1，EF＝BE+DF，理由如下：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为EF＝BE+DF；如图2，EF＝BE+DF，理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+BF成立，即EF＝1.2×（60+80）＝168（海里）．故答案为：168．3．问题背景：“半角问题”：（1）如图：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学探究此“半角问题”的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；（直接写结论，不需证明）探索延伸：当聪明的你遇到下面的问题该如何解决呢？（2）若将（1）中“∠BAD=120°，∠EAF=60°”换为∠EAF=∠BAD．其它条件不变．如图1，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．（3）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，请直接写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系．（不需要证明）（4）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．【答案】见解析【解析】（1）EF=BE+FD．（2）如图所示：延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵在△ABG与△ADF中，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD，∴∠GAE=∠EAF．又AE=AE，易证△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD；（3）EF=BE+FD；（4）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BEFD．证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG，如图所示：∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．∵在△ABG与△ADF中，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，易证△AEG≌△AEF．∴EG=EF，∵EG=BEBG，∴EF=BEF