2.2用配方法求解一元二次方程（分层练习）

第二章一元二次方程2.2用配方法求解一元二次方程精选练习基础篇基础篇一、单选题1．（2022·北京平谷·八年级期末）把一元二次方程配方后，下列变形正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】掌握配方法解一元二次方程即可得出答案．【详解】，，，故选C．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，准确掌握方法是本题的关键．2．（2022·湖南株洲·九年级期末）方程的根为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可得到结论．【详解】解：，移项得，系数化1得，开方得，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法是解决此类问题的关键．3．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）将方程x2−4x＋1＝0化成（x＋m）2＝n的形式是（

）A．（x−1）2＝12 B．（2x−1）2＝12C．（x−1）2＝0 D．（x−2）2＝3【答案】D【解析】【分析】移项，再配方，即可得出选项．【详解】解：x24x+1=0，x24x=1，配方，得x24x+4=1+4，即（x2）2=3，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．4．（2021·河南周口·九年级期中）如果是方程的一个根，则这个方程的其它根是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】将代入方程得出的值，从而还原方程，再利用直接开平方法求解即可得出答案．【详解】解：将代入方程，得：，解得，方程为，则，或，即这个方程的另一个根为，故选：C．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．5．（2022·北京石景山·八年级期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．【详解】解：，，则，即，故选：A．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．6．（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．【详解】解：∵，∴，，则，即，∴，，∴．故选：B．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．二、填空题7．（2022·江苏扬州·九年级期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2﹣6x+m2﹣4m﹣3＝0的一个根，则m的值为__________．【答案】2【解析】【分析】把x=1代入x26x+m24m3=0即可得出m的值．【详解】解：由题意可得：1+6+m24m3=0，整理，得∴m=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解及一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的根．8．（2021·江苏宿迁·九年级期中）一元二次方程4x3=0配方可化为_______________．【答案】（x2）2=7【解析】【分析】移项后，两边都加上一次项系数一半的平方即可．【详解】解：∵x24x3=0，∴x24x=3，则x24x+4=3+4，即（x2）2=7，故答案为：（x2）2=7．【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．9．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程(x+1)2+m＝0可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是________．【答案】m≤0【解析】【分析】根据直接开平方法进行求解即可．【详解】解：∵（x+1）2+m＝0，∴（x+1）2＝﹣m，∵方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解，∴﹣m≥0，∴m≤0．故答案为m≤0．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．10．（2021·吉林辽源·九年级期末）解一元二次方程的基本思想是降次，即把二次方程化成一次方程求解．一元二次方程可以化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋3＝5，则另一个一元一次方程是________．【答案】【解析】【分析】根据直接开平方法即可解答．【详解】解：，或，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．三、解答题11．（2022·江苏·苏州市平江中学校八年级期中）解下列方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，．【解析】【分析】（1）利用直接开方法，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；（2）利用配方法，再开方求解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．(1)解：，或，，；(2)解：，或，，．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．12．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程：(1)4（2x﹣1）2﹣36＝0(2)（y＋2）2＝（3y﹣1）2【答案】(1)x＝2或﹣1(2)y1，y2．【解析】【分析】（1）先对原方程进行整理，再利用直接开平方法求解；（2）对方程两边分别开平方，得到y+2＝±（3y﹣1），解一元一次方程即可．(1)解：4（2x﹣1）2﹣36＝0，4（2x﹣1）2＝36，（2x﹣1）2＝9，2x﹣1＝±3，x＝2或﹣1(2)解：直接开平方，得y+2＝±（3y﹣1）即y+2＝3y﹣1或y+2＝﹣（3y﹣1），解得：y1＝，y2＝．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．提升篇提升篇一、填空题1．（2022·全国·九年级课时练习）如果关于x的方程没有实数根，那么实数m的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据直接开平方法定义即可求得m的取值范围．【详解】解：∵关于x的方程没有实数根，∴，故答案为：．【点睛】考查了解一元二次方程的直接开平方法，解决本题的关键是掌握直接开平方法．2．（2022·江苏·九年级专题练习）若实数x，y满足条件2x2﹣6x＋y2＝0，则x2＋y2＋2x的最大值是____．【答案】15【解析】【分析】先将2x2﹣6x+y2＝0，变形为y2＝﹣2x2+6x，代入所求代数式并化简为x2+y2+2x＝﹣（x﹣4）2+16，利用非负数性质可得x2+y2+2x≤16，再因为y2＝﹣2x2+6x≥0，求得0≤x≤3，即可求解．【详解】解：∵2x2﹣6x+y2＝0，∴y2＝﹣2x2+6x，∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x＝﹣x2+8x＝﹣（x2﹣8x+16）+16＝﹣（x﹣4）2+16，∵（x﹣4）2≥0，∴x2+y2+2x≤16，∵y2＝﹣2x2+6x≥0，解得0≤x≤3，当x＝3时，x2+y2+2x取得最大值为15，故答案为：15．【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法以及完全平方式的非负性是解决本题的关键．3．（2022·全国·九年级课时练习）已知代数式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，则A____B（填＞，＜或＝）．【答案】<【解析】【分析】先求AB的差，再将差用配方法变形为A﹣B＝﹣（x+2）2﹣2，然后利用非负数性质求解．【详解】解：A﹣B＝3x2﹣x+1﹣（4x2+3x+7）＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，∵﹣（x+2）2≤0，∴﹣（x+2）2﹣2<0，∴A﹣B<0，∴A<B，故答案为：<．【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．4．（2022·全国·九年级课时练习）已知实数a、b满足，则________．【答案】2【解析】【分析】设，将已知方程整理为关于y的一元二次方程，利用因式分解法求出方程的解，得到y的值，即可确定出的值．【详解】解：设，则原方程变形为，解得，，∴2或1，∵，∴．故答案为：2．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．5．（2022·江苏·九年级专题练习）利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则mn=______．【答案】6【解析】【分析】根据配方法的一般步骤先把常数项7移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方，求出m，n的值即可得出答案．【详解】解：x26x+7=0，x26x=7，x26x+9=7+9，（x3）2=2，则m=3，n=2，∴mn=3×2=6．故答案为：6．【点睛】此题考查了配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是本题的关键，配方法的一般步骤是（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．二、解答题6．（2022·全国·九年级专题练习）用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【解析】【分析】利用配方法求解即可．（1）解：3x2−5x=2移项得：x2x=，配方得：x2x+=+，合并得：（x）2=，解得：x1=+=2，x2==；（2）解：x2+8x=9配方得：x2+8x+16=9+16，合并得：（x+4）2=25，解得x1=1，x2=9；（3）解：x2+12x−15=0移项得：x2+12x+36=15+36，配方得：（x+6）2=51解得x1=6＋，x2=6（4）解：x2−x−4=0去分母得：，移项得：，配方得：x24x+4=16+4，合并得：（x2）2=20，解得：x1=2＋2，x2=2－2；（5）解：2x2+12x+10=0系数化为1得：，移项得：，配方得：x2+6x+9=5+9，合并得：（x+3）2=4，解得：x1=1，x2=5；（6）解：x2+px+q=0，移项得：，配方得：x2+px+=q+，合并得：(x+)2=，解得x=．【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键．7．（2022·全国·九年级课时练习）已知方程2x2+bx+a＝0（a≠0）的一个根是a．(1)求2a+b的值；(2)若此方程有两个相等的实数解，求出此方程的解．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）根据方程的解的概念将x＝a代入方程并整理得a（2a+b+1）＝0，由a≠0知2a+b+1＝0，可得答案；（2）由方程有两个相等实数根可得Δ＝0，将b＝﹣2a﹣1代入可得关于a的方程，求出a即可得方程的解．（1）解：∵方程2x2+bx+a＝0（a≠0）的一个根是a，∴2a2+ab+a＝0，即a（2a+b+1）＝0，∵a≠0，∴2a+b+1＝0，∴2a+b＝﹣1；（2）∵方程有两个相等的实数解，∴Δ＝b2﹣8a＝0，由（1）知，2a+b+1＝0，即b＝﹣2a﹣1，∴（﹣2a﹣1）2﹣8a＝0，整理得：（2a﹣1）2＝0，解得：a＝，∴b＝﹣2，∴此方程的解为：x＝．【点睛】本题考查了方程的解的概念及一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．8．（2022·全国·九年级课时练习）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x＋3k﹣3＝0(1)求证：无论k取何值，方程都有实根；(2)若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；(3)若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．【答案】(1)见解析(2)(3)k＝﹣3或k＝﹣1或k＝3【解析】【分析】（1）直接计算根的判别式即可证明；（2