函数的最大（小）值教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的最大（小）值教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）函数的最大（小）值教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册教材分析“函数的最大（小）值教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册”

本节课选自人教版高中数学必修第一册第三章“函数的概念与性质”中的内容。主要讲解函数的最大值和最小值的概念，以及如何利用导数求函数的最大值和最小值。本节课旨在让学生理解函数极值的概念，掌握求解函数最大值和最小值的方法，为后续学习函数的应用打下基础。教学内容与实际生活紧密联系，有助于培养学生的数学应用能力和解决问题的能力。核心素养目标1.理解函数最大值和最小值的数学概念，提升逻辑思维和数学抽象能力。

2.运用导数工具分析和解决实际问题，培养数学建模和数学运算能力。

3.探索函数极值点与函数单调性的关系，发展直观想象和数据分析素养。

4.在解决实际问题时，能够体现数学的应用价值，增强数学实践与创新意识。学习者分析1.学生已经掌握了函数的基本概念、图像特点以及导数的定义和计算方法，对函数的单调性有了初步的认识。

2.学生在学习本节课内容时，通常对函数的实际应用感兴趣，具有一定的逻辑推理能力，但可能偏好直观的学习风格，对于抽象的数学概念和逻辑推理可能存在理解上的困难。

3.学生在求解函数最大值和最小值时，可能会遇到以下困难和挑战：对极值概念的理解不深刻；运用导数工具求解极值时，对导数符号变化与函数单调性关系的理解不足；在实际问题中建立数学模型的能力较弱；以及在解决复杂问题时，缺乏将问题分解和逐步求解的策略。教学方法与策略采用讲授法结合案例研究，讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。通过实际案例引入，激发学生兴趣。设计小组讨论活动，让学生合作探究函数极值的应用。使用多媒体展示函数图像，增强直观理解。通过问题驱动的教学策略，引导学生主动发现问题和解决问题。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台发布预习资料，包括本节课相关的函数图像示例和导数的基本概念。

-设计预习问题：设计问题如“观察图像，你能找到函数的最大值和最小值吗？如何用数学语言描述这些点？”

-监控预习进度：通过在线平台的预习反馈功能，跟踪学生的预习情况。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生阅读资料，尝试理解函数极值的基本概念。

-思考预习问题：学生思考预习问题，记录下自己的理解和疑问。

-提交预习成果：学生将预习笔记和问题提交至在线平台。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主探索，培养独立思考能力。

-信息技术手段：使用在线平台，方便资源共享和进度监控。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过展示函数在实际问题中的应用案例，如最优化问题，激发学生兴趣。

-讲解知识点：详细讲解函数最大值和最小值的定义，以及如何利用导数求解。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生探讨不同函数类型的极值求解方法。

-解答疑问：对学生提出的疑问进行解答，帮助学生理解重难点。

学生活动：

-听讲并思考：学生听讲并思考老师提出的问题，积极参与课堂讨论。

-参与课堂活动：学生分组讨论，尝试解决老师提出的案例问题。

-提问与讨论：学生在小组内提问，与组员讨论，共同寻找答案。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：讲解函数极值的理论基础。

-实践活动法：通过案例分析和小组讨论，实践求解函数极值的方法。

-合作学习法：促进学生之间的交流和合作。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：布置求具体函数最大值和最小值的作业，巩固课堂学习内容。

-提供拓展资源：提供相关的在线资源和数学论文，供学生深入学习。

-反馈作业情况：批改作业并提供反馈，指导学生改进。

学生活动：

-完成作业：学生独立完成作业，加深对函数极值求解方法的理解。

-拓展学习：学生利用提供的资源，进一步探索函数极值的实际应用。

-反思总结：学生总结自己在课堂和作业中的表现，提出提升学习效果的方法。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：指导学生对自己的学习过程进行反思，促进学习能力的提升。教学资源拓展拓展资源：

1.拓展阅读材料：《微积分学导论》中关于导数和函数极值的章节，深入理解导数在求解函数最大值和最小值中的作用。

2.数学软件应用：介绍如何使用Mathematica或MATLAB等数学软件，通过编程实践求解函数极值。

3.实际案例分析：收集和分析经济学、物理学、工程学等领域中的最优化问题，展示函数极值在实际应用中的重要性。

4.数学历史背景：介绍微积分的发展历史，特别是关于极值问题的研究进展，以及著名数学家的贡献。

5.相关数学竞赛题目：提供一些涉及函数极值的数学竞赛题目，供学有余力的学生挑战。

拓展建议：

1.鼓励学生阅读拓展阅读材料，以加深对导数和函数极值概念的理解。建议学生在阅读时，重点关注导数与函数图像变化之间的关系，以及如何利用导数判断函数的极值点。

2.引导学生利用数学软件进行实践操作。建议学生首先学习软件的基本使用方法，然后尝试编程实现求解函数极值的过程。通过实际操作，学生可以更直观地理解函数极值的求解方法。

3.组织学生进行实际案例分析的讨论。教师可以提前准备一些涉及函数极值的实际案例，如成本优化、利润最大化等，让学生分组讨论如何应用函数极值的知识解决实际问题。

4.结合数学历史背景，向学生介绍微积分的发展过程，以及极值问题的研究历程。这有助于学生了解数学知识的来源，激发他们对数学的兴趣。

5.针对学有余力的学生，提供一些涉及函数极值的数学竞赛题目。这些题目往往具有挑战性，能够帮助学生提高解决问题的能力，并拓展他们的数学视野。

1.拓展阅读材料：

-《微积分学导论》中关于导数和函数极值的章节，详细介绍了导数的定义、计算方法以及导数与函数图像的关系。特别是费马定理和罗尔定理，为求解函数极值提供了理论基础。

-通过阅读这些材料，学生可以了解到导数在求解函数最大值和最小值中的重要作用，以及如何利用导数判断函数的极值点。

2.数学软件应用：

-Mathematica和MATLAB是两款广泛使用的数学软件，它们提供了丰富的数学函数和工具，可以用来求解函数极值。

-学生可以通过编写简单的程序，实现求解函数极值的过程。例如，在Mathematica中，可以使用`FindMaximum`和`FindMinimum`函数直接求解函数的最大值和最小值。

3.实际案例分析：

-在经济学中，企业常常需要求解成本最小化或利润最大化问题，这些问题可以通过求解函数极值来解决。

-教师可以提供一些具体的案例，如生产成本优化、广告费用分配等，让学生分析如何应用函数极值的知识解决这些问题。

4.数学历史背景：

-微积分的发展历史是数学史上的重要篇章，其中涉及到极值问题的研究进展。

-教师可以介绍一些著名数学家，如牛顿、莱布尼茨等，在极值问题研究上的贡献，以及他们的研究如何推动了微积分的发展。

5.相关数学竞赛题目：

-数学竞赛题目往往具有一定的挑战性，可以用来检验学生的数学知识和解题能力。

-教师可以提供一些涉及函数极值的竞赛题目，如求解特定函数的最大值或最小值，或者利用函数极值解决实际问题。这些题目能够帮助学生提高解决问题的能力，并拓展他们的数学视野。板书设计①函数极值的定义与性质

-重点知识点：极大值、极小值、极值点

-重点词：极大、极小、极值、点

②导数与函数极值的关系

-重点知识点：费马定理、导数为零的点、导数的正负变化

-重点词：导数、费马定理、零点、正负变化

③求解函数极值的方法

-重点知识点：利用导数求解极值、一阶导数检验法、二阶导数检验法

-重点词：导数求解、一阶导数、二阶导数、检验法

-重点句：若f'(x)=0且f''(x)>0，则f(x)在x处有极小值。重点题型整理题型一：求函数的极值点

题目：求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1的极值点。

解答：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+9。令f'(x)=0，解得x=1和x=3。进一步求二阶导数f''(x)=6x-12，得到f''(1)=-6<0，f''(3)=6>0。因此，x=1是函数的极大值点，x=3是函数的极小值点。

题型二：判断函数的单调性

题目：判断函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5在区间(-∞,2)和(2,+∞)上的单调性。

解答：求导数f'(x)=6x^2-6x-12。因为f'(x)的判别式Δ=(-6)^2-4*6*(-12)=36+288=324>0，所以f'(x)有两个实数根。解得x=-1和x=2。在区间(-∞,-1)和(2,+∞)上，f'(x)>0，函数单调递增；在区间(-1,2)上，f'(x)<0，函数单调递减。

题型三：求函数的最大值和最小值

题目：求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[0,3]上的最大值和最小值。

解答：求导数f'(x)=2x-4。令f'(x)=0，解得x=2。计算f(0)=3，f(2)=-1，f(3)=0。因此，函数在x=2处取得最小值-1，在x=0处取得最大值3。

题型四：应用题

题目：某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=3x^2+2x+5，其中x是生产的产品数量。求工厂生产多少产品时，平均成本最小。

解答：平均成本函数为AC(x)=C(x)/x=3x+2+5/x。求导数AC'(x)=3-5/x^2。令AC'(x)=0，解得x=√5/3。由于AC''(x)=10/x^3>0，x=√5/3是AC(x)的最小值点。因此，工厂生产√5/3个产品时，平均成本最小。

题型五：证明题

题目：证明：若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间(a,b)内单调递增。

解答：设x1,x2∈(a,b)，且x1<x2。根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(x1,x2)使得f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)。因为f'(x)>0，所以f'(ξ)>0。又因为x2-x1>0，所以f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)。因此，f(x)在区间(a,b)内单调递增。教学反思与改进1.教学效果评估：

在教学过程中，我观察到学生在理解和应用函数极值的概念时，表现出不同的学习水平和理解程度。一些学生能够迅速掌握导数与函数极值的关系，并能熟练运用相关方法解决问题；而另一些学生则在理解和应用方面存在困难，需要更多的指导和练习。

2.学生学习态度：

大部分学生对函数极值的应用表现出浓厚的兴趣，能够积极参与课堂讨论和实践活动。然而，也有一些学生对数学抽象概念的学习持消极态度，需要更多的激励和引导。

3.教学方法和策略：

在教学方法上，我采用了讲授法、讨论法和实践活动法相结合的方式，以激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度和理解力。同时，我也利用了多媒体教学手段，通过图像和动画展示函数极值的特点，帮助学生更好地理解抽象概念。

4.教学改进措施：

为了进一步提高教学效果，我计划在未来的