专题05数形结合之一次函数与反比例函数综合-2021-2022学年八年级数学下册专题训练

编者小k君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做58题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。专题05数形结合之一次函数与反比例函数综合（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．（2019·上海市西南模范中学八年级月考）已知，则函数，的图象大致是下图中的（）A． B． C． D．【标准答案】C【思路指引】根据正比例函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．【详解详析】∵k＞0，∴k＜0，∴函数y=kx的图象过原点、第二、四象限，y=的图象在第二、四象限，四个选项中只有C符合．故选C．【名师指路】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．2．（2020·上海市金山区教育局八年级期末）已知正比例函(k是常数,)中y随x的增大而增大,那么它和函数(k是常数,k≠0)在同一平面直角坐标系内的大致图像可能是()A． B． C． D．【标准答案】D【思路指引】根据正比例函(k是常数,)的图象y随x的增大而增大，可以得到k的正负，从而可以判断反比例函数（k是常数，k≠0）的图象所在的象限，从而可以解答本题．【详解详析】∵正比例函(k是常数,)的图象y随x的增大而增大，∴k＞0，∴反比例函数（k是常数，k≠0）的图象分布在第一、三象限，故选D．【名师指路】本题考查反比例函数的图象、正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质和反比例函数的性质解答．3．（2020·上海普华教育信息咨询八年级期中）如果点和点是直线上两点，当时，，那么直线和函数在同一直角坐标系内的大致图像可能是（）A． B． C． D．【标准答案】A【思路指引】根据一次函数的增减性判断出k的符号，再根据反比例函数的性质解答即可．【详解详析】∵点和点是直线上两点，当时，，

∴，直线经过一、三象限，

∴函数图象在一、三象限，只有A选项符合题意，

故选：A．【名师指路】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．4．（2021·上海市第四中学八年级期中）关于x的函数y＝k(x＋1)和y＝(k≠0)在同一坐标系中的图象大致是()A． B．C． D．【标准答案】D【详解详析】试题分析：当k＞0时，函数y=的图像在一三象限，函数y=k（x+1）=kx+k的图像经过一二三象限，所以选项A、C错误；当k＜0时，函数y=的图像在二四象限，函数y=k（x+1）=kx+k的图像经过二三四象限，所以选项B错误，选项D正确，故选D.考点：1.一次函数图像；2.反比例函数的图像.二、填空题5．如果正比例函数y=(k2)x的函数值y随x的增大而减小，且它的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，那么k的取值范围是______．【标准答案】【思路指引】先根据正比例函数y=（k2）x的函数值y随x的增大而减小，可知k2＜0；再根据它的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，说明反比例函数y=的图象经过一、三象限，k＞0，从而可以求出k的取值范围．【详解详析】∵y=（k2）x的函数值y随x的增大而减小，

∴k2＜0

∴k＜2

而y=（k2）x的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，

∴k＞0

综合以上可知：0＜k＜2．

故答案为0＜k＜2．【名师指路】本题考查的是一次函数与反比例函数的相关性质，清楚掌握函数中的k的意义是解决本题的关键．6．已知如图，一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，不等式ax+b＞的解集为_____．【标准答案】x＞1或﹣3＜x＜0．【思路指引】观察函数图象即可求解．【详解详析】解：观察函数图象，当x＞1或﹣3＜x＜0时，ax+b＞，故答案为x＞1或﹣3＜x＜0．【名师指路】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质．7．如图，一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，点C是第二象限内一点，连接交x轴于点，且，点E是的中点，若E到坐标原点的距离为2，则的值为____________．【标准答案】【思路指引】利用三角形中位线定理求得，推出BD=DO=3，过B作，设，则，，在Rt△BDF中利用勾股定理可求得的值，即可求解．【详解详析】∵E到坐标原点的距离为2，∴OE=2∵一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，∴OA=OB，∵E是的中点，∴，∴，∵CD=1，∴BD=CBCD=41=3，∴BD=DO，过B作，设，则，，∵，∴，∴或0(舍去)，∴，∵点B在反比例函数的图像上，∴．【名师指路】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形中位线定理，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．8．如图，反比例函数y1＝和一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（﹣1，2），B（2，﹣1）两点，则当﹣2＜y1＜y2＜时，x的取值范围为_____．【标准答案】1＜x＜2【思路指引】根据函数的图象即可求得．【详解详析】解：∵反比例函数y1＝和一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（﹣1，2），B（2，﹣1）两点，∴k＝﹣1×2＝﹣2，∴反比例函数为y＝﹣，把y＝﹣2代入求得x＝1；∴由图可得，当﹣2＜y1＜y2＜时，x的取值范围是1＜x＜2，故答案为1＜x＜2．【名师指路】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，从函数的角度看，就是寻求使一次函数值大于（或小于）反比例函数值的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在双曲线上方（或下方）部分所有的点的横坐标所构成的集合．9．如图，直线与坐标轴交于两点，矩形的对称中心为M，双曲线正好经过两点，则直线的解析式为_______．【标准答案】．【思路指引】先确定A、B的坐标，用反比例函数解析式表示点C的坐标，用中点坐标表示M，借助点M也在反比例函数上，从而确定C的坐标，用待定系数法计算即可．【详解详析】直线与坐标轴交于两点，

令，得，的坐标令，得，的坐标．是矩形的对称中心，是的中点，在反比例函数上，设，的坐标是，，在反比例函数，，，经检验a=2是原方程的根，，∵OA2+OB2=AB2，∴，，又，设的解析式为，将代入得，，的解析式为：．故答案为：．【名师指路】本题考查了矩形的性质，反比例函数的解析式，中点坐标公式，垂直的函数意义，待定系数法，熟练掌握性质，灵活表示坐标是解题的关键．10．（2021·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点E（6，﹣2）都在反比例函数的图象上，如果∠AOE＝45°，那么直线OA的表达式是_____．【标准答案】【思路指引】将OE顺时针旋转90°，得到OD，连接DE，交OA于F，即可求得D的坐标，进而求得F的坐标，先求得反比例函数的解析式，然后求得直线DE的解析式，进而求得直线OA的解析式．【详解详析】解：如图，将OE顺时针旋转90°，得到OD，连接DE，交OA于F，作DM⊥y轴于M，作EN⊥x轴于N，由旋转可知，∠DOE=∠MON，OD=OE，∴∠DOM=∠EON，∴△DOM≌△EON，∴OM=ON，DM=EN，∵点E（6，﹣2），∴D（﹣2，﹣6），∵∠AOE＝45°，∴∠AOD＝45°，∵OD＝OE，∴OA⊥DE，DF＝EF，∴F（2，﹣4），设直线OA的解析式为y＝mx，把F的坐标代入得，﹣4＝2m，解得m＝﹣2，∴直线OA的解析式为y＝﹣2x，故答案为y＝﹣2x．【名师指路】本题考查了反比例函数，全等三角形的判定与性质，待定系数法求解析式，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形求点的坐标．三、解答题11．（2021·上海奉贤·八年级期中）在平面直角坐标系中（如图），已知函数的图像和反比例函数的在第一象限交于A点，其中点A的横坐标是1．（1）求反比例函数的解析式；（2）把直线平移后与轴相交于点B，且，求平移后直线的解析式．【标准答案】（1）；（2）【思路指引】（1）将点A的横坐标代入y=2x中，得到点A的纵坐标，设反比例函数解析式为，再将点A的坐标代入解答；（2）过点A作AC⊥y轴于C，则AC=1，OC=2，根据AB=OB，得到直线y=2x向上平移，设平移后的直线解析式为+b，则OB=b，根据勾股定理得到，求出，即可得到函数解析式.【详解详析】（1）将点A的横坐标1代入y=2x中，得y=2，∴点A的坐标为（1,2），设反比例函数解析式为，将点A的坐标代入，得到k=2，∴反比例函数解析式为；（2）过点A作AC⊥y轴于C，则AC=1，OC=2，∵AB=OB，∴直线y=2x向上平移，设平移后的直线解析式为+b，则OB=b，∵，∴，解得，∴平移后的解析式为：.【名师指路】此题考查一次函数的性质，点坐标与直线解析式，直线平移的性质.12．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴的正半轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC，点C的纵坐标为4．（1）求直线AB的表达式；（2）过点B作BD∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，求线段CD的长度．【标准答案】（1）y＝x+2；（2）2【思路指引】（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，如图，利用平行线分线段成比例得到＝＝1，则OH＝OA＝2，则点C的坐标为（2，4），然后利用待定系数法求直线AB的解析式；（2）把C点坐标代入y＝中求出m＝8，再利用直线解析式确定点B的坐标为（0，2），接着利用BD∥x轴得到点D纵坐标为2，根据反比例解析式确定点D坐标，然后根据两点间的距离公式计算CD的长．【详解详析】解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，如图，∴＝＝1，∵A（﹣2，0），∴AO＝2，∴OH＝OA＝2，∵点C的纵坐标为4，∴点C的坐标为（2，4），设直线AB的表达式y＝kx+b（k≠0），把A（﹣2，0），C（2，4）代入得，解得，∴直线AB的表达式y＝x+2；（2）∵反比例函数y＝的图象过点C（2，4），∴m＝2×4＝8，∵直线y＝x+2与y轴的正半轴交于点B，∴点B的坐标为（0，2），∵BD∥x轴，∴点D纵坐标为2，当y＝2时，＝2，解得x＝4，∴点D坐标为（4，2），∴CD＝＝2．【名师指路】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型,掌握利用待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式和平面直角坐标系中任意两点间的距离公式是解决此题的关键．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3与x，y轴分别交于点A、B，与双曲线y＝交于点C(a，6)，已知△AOB的面积为3，求直线与双曲线的表达式．【标准答案】y＝﹣x+3，y＝﹣【思路指引】先利用一次函数解析式确定B点坐标，再利用三角形面积公式求出OA得到A点坐标为（2，0），接着把A点坐标代入y＝kx+3中求出k得到一次函数解析式为y＝﹣x+3，然后利用一次函数解析式确定C点坐标，最后利用待定系数法求反比例函数解析式．【详解详析】当x＝0时，y＝kx+3＝3，则B（0，3），∵△AOB的面积为3，∴×3×OA＝3，解得OA＝2，∴A点坐标为（2，0），把A（2，0）代入y＝kx+3得2k+3＝0，解得k＝﹣，∴一次函数解析式为y＝﹣x+3，把C（a，6）代入得﹣a+3＝6，解得a＝﹣2，∴C点坐标为（﹣2，6），把C（﹣2，6）代入y＝得m＝﹣2×6＝﹣12，∴反比例函数解析式为y＝﹣．【名师指路】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．14．如图，在平面直角坐标系内xOy中，某一次函数的图象与反比例函数的y＝的图象交于A（1，m）、B（n，﹣1）两点，与y轴交于C点．（1）求该一次函数的解析式；（2）求的值．【标准答案】（1）y＝x+2；（2）．【思路指引】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），将A、B两点坐标代入反比例函数解析式可求出m、n的值，再将A、B坐标代入一次函数解析式，即可求出一次函数解析式．（2）已知A、B两点坐标，过点A、B分别作y轴垂线，垂足为分别D、E，利用平行线分线段成比例定理即可求解．【详解详析】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），又∵A(1,m)、B(n,﹣1)在反比例函数y=的图象上∴m=，1=，∴m＝3，n＝﹣3，∴A(1,3)、B(﹣3,﹣1)，一次函数y＝kx+b的图象过A(1,3)、B(﹣3,﹣1)，∴，∴，∴所求一次函数的解析式是y＝x+2；故答案为：y＝x+2（2）过点A、B分别作y轴垂线，垂足为分别D、E，过点B作BF垂直于AD的延长线于点F，BF交y轴于点G∵y＝x+2令x=0得y=2∴OC=2则AF∥BE，∴，∴故答案为：【名师指路】本题考查了反比例函数图象的性质，图象上的点的坐标满足函数解析式，利用待定系数法可求得一次函数解析式，本题还考查了平行线分线段成比例定理的应用．15．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出的x的取值范围；（3）求的面积．【标准答案】（1）；（2）当或时，；（3）8【思路指引】（1）把A，B两点的坐标分别代入中，求得m，n的值，即可确定A，B两点的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）将不等式转化为，找出图象中一次函数图象低于反比例函数图象部分对应的x的取值范围；（3）设一次函数图象分别与x轴和y轴交于点D、C，C、D的坐标都可以求得，则，求解即可．【详解详析】解：（1）分别把代入得，解得，所以A点坐标为，B点坐标为，分别把代入得，解得，所以一次函数解析式为；（2），即，即要找一次函数图象低于反比例函数图象的部分对应的x的取值范围，所以当或时，；（3）一次函数图象分别与x轴和y轴交于点D、C，如图，当时，，则C点坐标为，当时，，解得，则D点坐标为，所以．【名师指路】本题主要考查一次函数和反比例函数交点的问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、割补法求三角形的面积是解题的关键．16．如图，反比例函数图象在第一象限的分支上有一点，过点C的直线（，b为常数）与x轴交于点．（1）求反比例函数的解析式；（2）当直线与反比例函数的图象在第一象限内的另一交点的横坐标为3时，求的面积．【标准答案】（1）；（2）6【思路指引】（1）将点C代到反比例函数解析式中，可求得结果；（2）求出直线解析式，即可得解；【详解详析】（1）∵点在反比例函数图象在第一象限的分支上，∴，∴反比例函数的解析式为；（2）当时，，∴交点坐标为，∵和在直线上，∴，解得，∴，∵在直线上，∴令，则，∴，∴S．【名师指路】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，准确分析计算是解题的关键．17．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴的正半轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC，点C的纵坐标为4．（1）求直线AB的表达式；（2）过点B作BD//x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，求线段CD的长度．【标准答案】（1）y＝x+2；（2）2．【思路指引】（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，得出，求出点C坐标，用待定系数法即可求解析式；（2）求出反比例函数解析式和D点坐标，用勾股定理求CD长即可．【详解详析】解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，如图，∴＝1，∵A（﹣2，0），∴AO＝2，∴OH＝OA＝2，∵点C的纵坐标为4，∴点C的坐标为（2，4），设直线AB的表达式y＝kx+b（k≠0），把A（﹣2，0），C（2，4）代入得，解得，∴直线AB的表达式y＝x+2；（2）∵反比例函数y＝的图象过点C（2，4），∴m＝2×4＝8，∵直线y＝x+2与y轴的正半轴交于点B，∴点B的坐标为（0，2），∵BD//x轴，∴点D纵坐标为2，当y＝2时，＝2，解得x＝4，∴点D坐标为（4，2），∴CD＝．【名师指路】本题考查了一次函数与反比例函数的综合和勾股定理以及比例式，解题关键是熟练运用一次函数和反比例函数的性质求点的坐标，应用坐标解决问题．18．（2021·上海金山·八年级期末）在平面直角坐标系平面中，直线经过点，反比例函数的图像经过点和点．（1）求反比例函数的解析式；（2）在轴上找一点，当时，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，求的面积．【标准答案】（1）；（2）C(，0)；（3）【思路指引】（1）先把代入求出m，再把代入求出k即可；（2）先求出点B的坐标，设C(x，0)，根据两点间的距离公式求出x即可；（3）连接AC，BC，作AE⊥x轴于E，作BF⊥x轴于F，根据S△ABC=S梯形ABFES△ACES△BCF求解即可；【详解详析】解：（1）把代入，得，∴m=4，把代入，得，∴k=8，∴；（2）把代入，得，∴，设C(x，0)，∵，∴，∴，经检验是原方程的根，∴C(，0)；（3）连接AC，BC，作AE⊥x轴于E，作BF⊥x轴于F，∵，，C(，0)，∴AE=2，BF=1，EF=84=4，CE=4=，CF=8=，∴S△ABC=S梯形ABFES△ACES△BCF==．【名师指路】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，坐标与图形的性质，两点间的距离公式，以及割补法求图形的面积等知识，求出反比例函数解析式是解答本题的关键．19．在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于横坐标为的点．（1）求这个一次函数的解析式；（2）如图，已知点在这个一次函数图像上，点在反比例函数的图像上，直线轴，且在点上方，并与轴相交于点．如果点恰好是的中点，求点的坐标．【标准答案】（1）；（2）【思路指引】（1）先将点A的坐标求出来，然后代入一次函数表达式求解即可；（2）根据题意设出C、B两点的坐标，将B点坐标代入一次函数中即可求出最终结果．【详解详析】解：（1）点在反比例函数图像上且横坐标为，则，由题意得，，一次函数解析式；（2）设，，又点在一次函数图像上，，解得或（舍去）．．【名师指路】本题考查一次函数与反比例函数综合题，难度一般，熟练掌握一次函数与反比例函数综合题的处理方法，能够设出点通过未知数求解是解决本题的关键．20．（2021·上海·奉教院附中八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图像上，点B在射线上，轴，垂足为C，与反比例函数的图像相交于点D，连接，．（1）当点B的横坐标为6时，求线段的长；（2）若，求点的坐标．【标准答案】（1）；（2）（18，12）或【思路指引】（1）利用待定系数法求得反比例函数和射线OA的解析式，然后结合函数图像上点的坐标特点求得B点和D点坐标，然后结合勾股定理求得AD的长；（2）设B点坐标为（x，），D点坐标为（x，），结合三角形面积公式列方程求解【详解详析】解：（1）将点代入反比例函数中，∴反比例函数解析式为：设射线OA的解析式为：将点代入中，，解得：∴射线OA的解析式为：在中，当x=6时，y=4∴B点坐标为（6，4）在中，当x=6时，y=1∴D点坐标为（6，1）过点A作AE⊥BC∵，B（6，4），D（6，1）∴AE=3，DE=1在Rt△ADE中，（2）设B点坐标为（x，），∴D点坐标为（x，）∴解得：；∴B点坐标为（18，12）或【名师指路】本题考查了正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法．21．（2021·上海宝山·九年级期中）已知直线经过点，且与轴交于点，（1）求点的坐标：（2）如果一个反比例函数的图像与线段的延长线交于点，且，求这个反比例函数的解析式．【标准答案】（1）（﹣1，0）；（2）y＝．【思路指引】（1）根据直线y＝x+m经过点A（2，3），可得m的值，进而根据直线与x轴交于点B．可得点B的坐标；（2）过点A，D作x轴的垂线，垂足分别为点G，H，根据题意可知：AG＝2，BG＝3，根据BA：AD＝3：2，即可求出点D坐标，进而可得反比例函数的解析式．【详解详析】解：（1）∵直线y＝x+m经过点A（2，3），∴2+m＝3，解得m＝1，∵直线y＝x+1与x轴交于点B．∴x＝﹣1，∴点B的坐标为（﹣1，0）；（2）过点A，D作x轴的垂线，垂足分别为点G，H，∴AG∥DH，根据题意可知：AG＝2，BG＝3，∵BA：AD＝3：2，∴GH＝2，DH＝5，∴D（4，5），∴反比例函数的解析式为y＝．【名师指路】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解决本题的关键是掌握一次函数与反比例函数的性质．22．（2021·上海黄浦·八年级期末）已知：如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形，且，点在轴正半轴上，点在轴上（点在点的左侧)，点在第一象限，，梯形的高为．双曲线经过点，直线经过两点．（1）求双曲线和直线的解析式；（2）点在双曲线上，点在轴上，如果四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．【标准答案】（1），；（2）【思路指引】（1）首先过点作轴于点，由，，易得四边形是矩形，证得，又由，，梯形的高为2，求出各点坐标，由双曲线过点，直线过点，，直接利用待定系数法求解即可求得答案；（2）由四边形是平行四边形，可得点的横坐标为，继而求得点的坐标，又由，求得答案．【详解详析】解：（1）如图1，过点作轴于点．，，四边形是等腰梯形，轴，四边形是矩形，，，，在和中，，．，梯形的高为2，．，，，．，，，，双曲线经过点，．双曲线的解析式为：，直线经过、两点，得：，解得：．直线的解析式为：；（2）如图2，四边形是平行四边形．且．点在轴上，过点作轴的垂线与双曲线的交点即为点．点的坐标为，．，，点的坐标为．【名师指路】此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形的性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．23．（2021·上海静安·八年级期末）如图，在直角坐标平面中，点A（2，m）和点B（6，2）同在一个反比例函数的图像上．（1）求直线AB的表达式；（2）求△AOB的面积及点A到OB的距离AH．【标准答案】（1）；（2）【思路指引】（1）根据得到即可算出点的坐标，把、两点的坐标代入一次函数表达式中，解方程组即可得出答案；（2）设直线与轴的交点为，求得的坐标，根据三角形面积公式，利用求得的面积，然后根据求得．【详解详析】解：（1）设反比例函数为，点和点在的图象上解得，，点的坐标为，设直线的表达式为，把和代入得，解得，直线的表达式为；（2）设直线与轴的交点为，在直线为中，令，则，，，，，，．【名师指路】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解决本题的关键．24．（2021·上海杨浦·八年级期中）如图，正比例函数y＝x的图像与反比例函数y＝（k≠0）的图像交于A（a，﹣2）、B两点．（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标．（2）点P为第一象限内反比例函数图像上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，如果△POC的面积为3，求点P的坐标．

【标准答案】（1）；B（4，2）；（2）P（，）或（2，4）．【思路指引】（1）把A（a，2）代入y=，可得A（4，2），把A（4，2）代入y=，可得反比例函数的表达式为y=，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；（2）过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，先设P（m，），则C（m，m），根据△POC的面积为3，可得方程m×|m|=3，求得m的值，即可得到点P的坐标；【详解详析】解：（1）把A（a，2）代入，可得a=4，∴A（4，2），把A（4，2）代入，可得k=8，∴反比例函数的表达式为，∵点B与点A关于原点对称，∴B（4，2）；（2）如图所示，过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，设P（m，），则C（m，），∵△POC的面积为3，∴m×|m|=3，，解得m=或2，∴P（，）或（2，4）．【名师指路】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．25．（2021·上海·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，一次函数与轴相交于点，与轴相交于点．（1）求和的值；（2）点在轴正半轴上，且的面积为1，求点坐标；（3）在（2）的条件下，点是一次函数上一点，点是反比例函数图像上一点，且点、都在轴上方．如果以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点、的坐标．【标准答案】（1）1，1；（2）；（3），或，．【思路指引】（1）将B与C坐标代入一次函数解析式即可求出k与b的值；（2）先求出点A的坐标，设点M的坐标为，再根据的面积为1列出方程求出m的值进而得解；（3）由题意可得PQ∥BM且PQ＝BM＝2，设点P（a＋2，a＋1），则可表示点Q的坐标，利用点Q在反比例函数图像上列出方程求解即可．【详解详析】解：（1）把点，，代入函数得，由题意得解得（2）由题意得，点在一次函数和反比例函数上，则，化简得，，解得，，因为点在第一象限所以所以点坐标为设：点坐标为则，解得，．点坐标为（3）由（2）得，点M为又∵∴BM＝2，∵以、、、为顶点的四边形为平行四边形，且点、都在轴上方，∴PQ∥BM且PQ＝BM＝2，设点P（a，a＋1），当点Q在点P右侧时，则点Q为（a＋2，a＋1）将（a＋2，a＋1）代入得(a＋2)(a＋1)＝2解得，a＝0或a＝－3（舍去）∴，当点Q在点P左侧时，则点Q为（a－2，a＋1）将（a－2，a＋1）代入得(a－2)(a＋1)＝2解得，a＝或a＝（舍去）∴，．∴，或，．【名师指路】此题属于反比例函数与一次函数的综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，求两函数图像的交点坐标，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．26．如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝的图象交于点B（2，m），点P（a，0）在x轴上，a＜2，已知．（1）m＝______，k＝______；（2）求出点P的坐标；（3）将△ABP向下平移2t个单位，再向左平移t个单位（t＞0），得到△A'B'P'，边BP的对应边B'P'与反比例函数y＝的图象交于点E．当点E为B'P'的中点时，求出实数t的值．【标准答案】（1）3；；（2）点P坐标为（，0）；（3）．【思路指引】（1）用待定系数法，即可求解；（2），则9AB2＝4PB2，即可求解；（3）设BP的中点F（a，b），由a﹣＝2﹣a，b﹣0＝3﹣b，解得：a＝，b＝，则平移后的点E坐标为（，），故，即可求解．【详解详析】解：（1）将点B的坐标代入反比例函数表达式并解得：m＝3，故点B（2，3），将点B的坐标代入y＝kx+2并解得：k＝，故答案为：3，；（2）∵，∴9AB2＝4PB2，即：9×（4+1）＝4×[（a﹣2）2+9]，解得：（舍去），∴点P坐标为（，0）；（3）设BP的中点F（a，b），由a﹣＝2﹣a，b﹣0＝3﹣b，解得：a＝，b＝，∴点F坐标为（，），平移后的点E坐标为（，），∴，解得：（舍去）．【名师指路】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．27．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数的图象交于点A（1，n）．（1）求反比例函数的表达式；（2）点P（m，0）在x轴上一点，点M是反比例函数图象上任意一点，过点M作MN⊥y轴，求出△MNP的面积；（3）在（2）的条件下，当点P从左往右运动时，判断△MNP的面积如何变化？并说明理由．【标准答案】（1）y＝；（2）1；（3）△MNP的面积是不变的常数1，理由见解析．【思路指引】（1）将点A的坐标代入y＝x+1得：n＝1+1＝2，故点A（1，2），进而求解；（2）MN⊥y轴，故MN∥x轴，则△MNP的面积S＝S△OMN＝k＝1；（3）由（2）知△MNP的面积为1，为常数，即可求解．【详解详析】解：（1）将点A的坐标代入y＝x+1得：n＝1+1＝2，故点A（1，2），设反比例函数的表达式为：y＝，将点A的坐标代入上式得：2＝，解得：k＝2，故反比例函数表达式为：y＝；（2）∵MN⊥y轴，故MN∥x轴，则△MNP的面积S＝S△OMN＝k＝1；（3）由（2）知△MNP的面积为1，为常数，故△MNP的面积是不变的常数1．【名师指路】此题主要考查一次函数、反比例函数和几何综合，熟练掌握函数图象和性质是解题关键．28．已知：如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，点的纵坐标为4，反比例函数的图像也经过点，第一象限内的点在这个反比例函数的图像上，过点作轴，交轴于点，且．求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线的表达式．【标准答案】（1）；（2）【思路指引】（1）先根据点在正比例函数图像上求出点的坐标，再根据点在反比例函数图像上，代入求得反比例函数解析式；（2）根据点在反比例函数图像上，设点坐标，再根据轴，得点坐标；结合，通过列方程并求解，即可得点坐标；再利用待定系数法，通过求解二元一次方程组，从而求出直线的解析式．【详解详析】（1）根据题意，设∵经过点∴∴∴∵经过点∴∴∴反比例函数的解析式为；（2）如下图，过点作轴，交轴于点，连接、根据题意，设，则∴，∵∴解得：，（舍去）∴设直线解析式为，根据题意得：解得：∴直线解析式为．【名师指路】本题考查了一次函数、反比例函数、勾股定理、一元二次方程、平行线、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、一次函数、勾股定理的性质，从而完成求解．29．（2021·上海徐汇·八年级期末）已知，如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，将△ABC绕着顶点B旋转后，点C的对应点C’落在y轴上，点A的对应点A’恰好落在反比例函数的图像上．（1）求的面积；（2）如果的值为6(即反比例函数为)，求