五年级上册数学培优奥数讲义-第15讲 余数定理

第15讲余数定理知识与方法余数在计算时有三个主要性质，也被称为三个定理，余数问题中非常重要的同余问题以及中国剩余定理，其实就是根据这三个性质来解决问题的，所以这三个性质非常重要。余数主要有以下三个性质：（1）可加性：a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和。（2）可减性：a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之差。（3）可乘性：a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。初级挑战1（1）23÷5＝4……（）（2）108÷4＝2716÷5＝3……（）214÷4＝53……（）39÷5＝7……（）322÷4＝80……（）（3）155÷3＝51……（）230÷3＝76……（）385÷3＝128……（）观察以上每组算式中的被除数和余数，你发现了什么？思维点拨：余数定理一：a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之（）。如果余数之和大于除数，那么可以继续除以这个除数得到余数。答案：（1）3、1、4；（2）2、2；（3）2、2、1发现：三个数除以一个相同的数，如果一个数是其它两个数的和，那么所得的余数也是其它两个数除得的余数的和。能力探索11、快速计算：（234＋123＋732）÷3的余数。2、甲数除以9，商12余3；乙数除以9，商28余6；丙数除以9，商31余5。（甲数＋乙数＋丙数）÷9的余数是多少？答案：1、02、（3＋6＋5）÷9＝1……5，所以余数是5。初级挑战2（1）129÷7＝18……3（2）237÷5＝47……（）71÷7＝10……1200÷5＝4058÷7＝8……237÷5＝7……（）（3）93÷4＝23……（）30÷4＝7……（）63÷4＝15……（）观察以上每组算式中的被除数和余数，你发现了什么？思维点拨：余数定理二：a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之（）。当不够减时，可先加上除数再减。答案：（2）2、2；（3）1、2、3发现：三个数除以一个相同的数，如果一个数是其它两个数的差，那么所得的余数也是其它两个数除得的余数的差。能力探索21、快速计算：（1583－634）÷9的余数。答案：42、甲数除以19的余数是7，乙数除以19的余数是13，那么甲数减去乙数的差再除以19的余数是多少？答案：13中级挑战1（1）已知：17÷5＝3……212÷5＝2……2计算：（17×12）÷5的余数。（2）已知：125÷7＝17……6345÷7＝49……2计算：（125×345）÷7的余数。思维点拨：余数定理三：a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之（）。如果余数之积大于除数，继续除以除数得到余数。答案：（1）2×2＝4；（2）（6×2）÷7＝1……5能力探索31、已知512÷11＝46……6346÷11＝31……5计算：（512×346）÷11的余数。答案：（6×5）÷11＝2……8，所以余数是8。2、计算：17×354×409×672除以3所得的余数。答案：03、求（53×53×53×53）÷5的余数。答案：1中级挑战2计算：（785×259－1824＋73）÷7的余数。思维点拨：根据余数定理一、二、三，分别算出每个数除以7的余数，再将余数按照运算符号进行计算求得结果。答案：6能力探索4计算：（64×567＋25－234）÷6的余数。答案：1聪明泉婚礼五岁的女儿第一次参加婚礼，看到新娘穿着白色的礼服，她好奇地问我：“新娘穿白色的衣服代表着什么？”我告诉她：“白色代表幸福和快乐，今天是她一生中最幸福的日子。”女儿沉思了片刻，不解的问道：“那么新郎穿着黑色的衣服又代表了什么呢？”拓展挑战÷5的余数是多少？思路引领：表示2013个18相乘，要求除以5的余数，因为18÷5的余数是3，根据余数定理三，本题实际上可转化为求÷5的余数。因为：÷5余3÷5余4÷5余2÷5余1÷5余3÷5余4÷5余2÷5余1……所以这些被除数除以5后，余数是3、4、2、1循环，每4个数循环一次，2013÷4＝503……1所以÷5的余数是3，那么÷5的余数为3。能力探索5÷6的余数是多少？答案：÷6的余数为2，那么÷6的余数与÷6的余数相等。又因为：余2，余4，余2，余4……由规律可知这些被除数除以6后，余数是2、4，每2个数循环一次，50÷2＝25，所以÷6的余数是4，即÷6的余数是4。课堂小测1、已知203、109除以5的余数分别是3和4，那么203＋109除以5的余数是多少？答案：22、（34578－124）÷3的余数是多少？答案：23、甲数除以11的余数为9，乙数除以11的余数为7，丙数除以11的余数为6，那么：

①（甲数＋乙数＋丙数）÷11的余数为_________；

②（甲数＋乙数－丙数）÷11的余数为_________；

③（甲数×乙数×丙数）÷11的余数为_________；

④（甲数－乙数＋丙数）÷11的余数为_________。答案：①0；②10；③4；④84、计算：（533298×12345＋287－101）÷9的余数。答案：65、1991被7除，余数是多少？答案：1991÷7＝284……3，那么1991÷7的余数与3÷7的余数相同。3÷7余