考点09 二次函数应用（解析版）

考点九二次函数应用一、二次函数的综合1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．3、二次函数的实际应用在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．考向一函数应用典例引领1．某体验馆建造了一幢“森林”主题场馆，如图是馆内抛物线形模拟洞穴的横截面，现需要在洞穴内壁架设平行于地面的钢架，两端分别在洞穴最高点两侧．在钢架正下方隔离出一片矩形区域，且在水平地面上．如图，以O为坐标原点、水平地面为x轴建立平面直角坐标系，抛物线与x轴相交于O、E，经测量长8米．(1)若在抛物线上，求该抛物线表达式．(2)在（1）的条件下，若隔离区矩形区域的高米，则隔离区的面积为多少？【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：（1）根据题意得：点E的坐标为，设抛物线的解析式为，把点，代入，即可求解；（2）令，可求出，从而得到，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：点E的坐标为，设抛物线的解析式为，把点，代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：当时，，解得：，∴，∴，∴隔离区的面积为．2．如图，中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为．(1)若两点的距离为时，求的值？(2)当为何值时，的面积最大？并求出最大面积．【答案】(1)或2(2)当为时，的面积最大，最大面积为【分析】本题主要考查了勾股定理，二次函数的实际应用，一元二次方程的应用：（1）分别用t的代数式表示出线段的长度，利用勾股定理列出方程即可求解；（2）设的面积为，利用（1）中的方法，利用三角形的面积公式列出函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解．【详解】（1）解：依题意得：，∴，∵，∴，∵两点的距离为，∴，解得：或2；（2）解：设的面积为，根据题意得：，∴当时，S取得最大值，最大值为9，即当为时，的面积最大，最大面积为．3．学校体育器材室有一扇长2米，宽1米的矩形窗户，现需设计一个不锈钢的护栏．数学兴趣小组的同学提出的设计方案如下：如图，底部设计一条抛物线，抛物线的顶点到底部距离为0.5米，为牢固起见，抛物线上方按相等间距加设三根不锈钢管立柱．请你根据兴趣小组同学的设计，求出所需三根不锈钢管立柱的总长度．【答案】米【分析】本题考查二次函数的实际应用，以中点O为原点建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线解析式，根据解析式求出和，进而求出和，即可求解．【详解】解：如图，以中点O为原点建立平面直角坐标系，由题意知，，，，，，，设抛物线解析式为，将，代入，得，解得，抛物线解析式为，当时，，，，，即所需三根不锈钢管立柱的总长度为米．4．希希开了一家网店，计划销售甲、乙两种商品．若甲商品每件利润25元，乙商品每件利润30元，则每周能卖出甲商品200件，乙商品80件，经调查，甲商品零售单价每降价1元，每周可多销售10件；乙商品零售单价每降价1元，每周可多销售5件，为了提高销售量，小明决定把甲、乙两种商品的零售单价都降价x（x为整数）元．(1)直接写出甲、乙两种商品每周的销售量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式：_______，_______．(2)求出希希每周销售甲、乙两种商品获得的总利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系式；(3)如果每周两种商品的销售总量不超过380件，希希每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大是多少？【答案】(1)(2)(3)7640元．【分析】本题考查二次函数的应用：（1）根据题意得出函数关系式即可；（2）将甲乙获得的利润相加，再化简即可得出答案；（3）先将二次函数整理成顶点式，再求出，且为整数，进而可得出答案．【详解】（1）解：，；（2）（3），由，，且为整数，则当时，的值最大，最大为7640元．5．乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．甲乙两人训练打乒乓球，让乒乓球沿若球台的中轴线运动，图为从侧面看乒乓球台的视图，为球台，为球网，点为中点，，，甲从正上方的处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的处再弹起到另一侧的处，从处再次弹起到，乙再接球．以所在直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，表示球与的水平距离，表示球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线且形状不变，段抛物线的解析式为，段抛物线的解析式为．

(1)当球在球网左侧距球网时到达最高点，求：①的解析式；②球过球网时球与的距离；(2)若球第二次的落点在球网右侧处，球再次弹起最高为，乙的球拍（看作线段）在的正上方处，，若将球拍向前水平推出可接住球，求出的取值范围．【答案】(1)①；②球过球网时与距离为．(2)【分析】本题考查了二次函数的性质及应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键．（1）①根据题意，得到球在时到达最高点，由，得到其对称轴为，由此求出，进而得到答案．②当时，代入求出，再求出球过球网时与距离，由此得到答案．（2）根据题意确定出，最高点为，得到，当时，，得到，当时，求出，，由，确定出．【详解】（1）解：①根据题意得：，球在时到达最高点，，，解得：，．②当时，，，球过球网时与距离为．（2）由题意得：点在球网右侧处，，最高点为，当时，，解得：或（舍），，当时，，得，，又，，，．6．如图1，某喷泉公司生产的可升降式喷头，喷出的水柱形状呈抛物线，如图2，以圆形水池中心O为原点，水平方向为轴，坚直方向为轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头的坐标为．(1)当水柱满足到水池中心水平距离为3米时，即时，水柱达到最大高度5米，求第一象限内水柱的函数表达式；(2)若圆形水池的半径为7米，在（1）的条件下喷出的水柱是否会落在水池外（不考虑水柱落到水面后造成的迸溅），请通过计算说明．【答案】(1)；(2)喷出的水柱不会落在水池外，计算见解析．【分析】本题考查二次函数的实际应用以及二次函数的性质，理解题意，利用数形结合思想解题是关键，（1）由题意得抛物线的顶点坐标为，点，设抛物线的解析式为，待定系数法求出解析式即可；（2）令，解方程求出的值与7比较即可．【详解】（1）解：由题意，设第一象限内水柱的函数表达式为，把点的坐标代入函数表达式，得，解得，，即，（2）解：由题意，令解方程得：，（不合题意，舍去），．∵，∴，．∴喷出的水柱不会落在水池外．7．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元．(1)求与的关系式；(2)当时，求今年的总产值为多少万元？【答案】(1)(2)当时，今年的总产值为万元．【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式；（2）代入，求出y值即可得出结论．【详解】（1）依题意得：；（2）当时，，答：当时，今年的总产值为万元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有．8．综合与实践【问题背景】以函数的角度来看待和解决问题．（1）通过观察以下一位数的积：，，…，，．其中每个式子中的两数之和为10，推测在这些式子中，乘积最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出结果）（2）通过观察以下两位数的积：，，…，，．其中每个式子中的两数之和为30，推测在这些式子中，乘积最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出结果）【初步探讨】以问题（2）为例，设第一个数为x，写出你对问题（2）的猜想（包括条件和结论）．尝试用二次函数的知识证明你对问题（2）的猜想；【实践应用】（3）物理电路理论知识中有以下几个结论：串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．在如图1所示的电路中，Ω，Ω，滑动变阻器的最大电阻Ω，其等效电路图如图2所示，其中，在滑片从a端滑到b端的过程中，设Ω，请你结合电路知识以及函数知识来说明，当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，并求出电流表示数的最小值．【答案】（1）；（2）；【初步探讨】猜想：若两数和为30，当这两数相等时，它们的乘积最大．证明见解析；（3）2A【分析】本题考查了二次函数的性质和分式的加法运算．（1）分别计算即可发现规律；（2）分别计算即可发现规律；由题意，建立数学模型，利用二次函数知识解答即可；（3）设Ω，利用物理知识和分式加减知识，求出总电流为I，与x的函数关系式，再利用二次函数知识求最值即可．【详解】解：（1）由，，…，，可知，当的值最大，故答案为：；（2）由，，，，，…，，，可知，当的值最大，故答案为：；【初步探讨】猜想：若两数和为30，当这两数相等时，它们的乘积最大．证明：设第一个数为x，则另一个数为，它们的积为y，则有．∵，则抛物线开口向下，∴当时，y取最大值，为225，此时这两数分别为15及，两数相等，∴当这两数相等时，它们的乘积最大．（3）设Ω，则Ω，，设总电流为I，则．由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小．设．∵，则抛物线W开口向下，且，∴当时，W取最大值为25，此时I取最小值为（A），两支路电阻分别为（Ω）和（Ω），两支路电阻相等，∴当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为2A．变式拓展9．湖南农业大区零陵区土地资源丰富，近年来，该区利用农业特色资源优势，大力发展特色种植，带动农民门口致富，尤其是各种水果的种植驰名省内外．下面是一家果农所遇到的问题，请你阅读下面材料帮忙解决果农所遇到的问题.信息及素材素材一在专业种植技术人员的正确指导下，果农对纽荷尔脐橙的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年纽荷尔脐橙平均每株产量是50千克，2022年达到了72千克，每年的增长率是相同的．素材二一般采用的是长方体包装盒．(1)任务1：求纽荷尔脐橙产量的年平均增长率；(2)任务2：为了放下适当数量的纽荷尔脐橙，现有边长为的正方形纸板，将四角各裁掉一个正方形，折成无盖长方体纸盒．折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出此时剪掉的正方形边长．【答案】(1)纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为(2)有，被裁掉的正方形边长为20厘米时，无盖长方体纸盒的侧面积最大【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用；掌握二次函数的性质是解题关键．（1）设纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为x，则年的产量为50千克，2022年的产量为千克，由2022年的产量72千克列方程即可；（2）由可得裁掉正方形的边长即为正方体盒子的高，设裁掉正方形的边长为，根据正方体纸盒的侧面积列出解析式配方即可．【详解】（1）解：设纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为，由题意得：解得：，（不符合题意舍去）纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为（2）设裁掉正方形的边长为，由题意得：∴当时，有最大值∴被裁掉的正方形边长为厘米时，无盖长方体纸盒的侧面积最大．10．如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是．(1)t为何值时，？(2)t为何值时，的长度为？(3)设五边形的面积为，当t为何值时，五边形的面积最小？最小面积为多少？【答案】(1)当时，．(2)当或时，的长度为．(3)当秒时，五边形的面积最小，最小面积为．【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，动点问题，三角形的面积二次函数的性质等，解题的关键是根据题意列函数关系式．（1）根据题意得，，则，当时，点在的中垂线上，进而列方程求解即可；（2）根据矩形的性质可得，根据勾股定理得出，，求解即可得出答案；（3）根据题意可得当五边形的面积为时，，再利用函数的性质即可得出答案．【详解】（1）解：∵从点开始沿向终点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，∴，，则，当时，故，解得：，故当时，．（2）∵四边形是矩形，∴，在中，，且，，，即，解得：，．∴当或时，的长度为．（3）∵五边形的面积四边形的面积，故当五边形的面积为时；∴，∵，有最小值，∴当，最小值为：，∴当秒时，五边形的面积最小，最小面积为．11．如图1是汝南北城古桥，斑驳的桥面上书写着历史的痕迹．古桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．

(1)按如图2所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式（无需写出取值范围）；(2)一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．【答案】(1)；(2)工人不会碰到头，理由见解析【分析】本题考查二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键．（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点，先设抛物线的顶点式，再根据图象过原点，求出的值即可；（2）先求出工人距原点的距离，再把距离代入函数解析式求出的值，然后和1.68比较即可．【详解】（1）解：如图②，由题意得：水面宽是，桥拱顶点到水面的距离是，结合函数图象可知，顶点，点，设二次函数的表达式为，将点代入函数表达式，解得：，二次函数的表达式为，即；（2）解：工人不会碰到头，理由如下：小船距点，小船宽，工人直立在小船中间，由题意得：工人距点距离为，将代入，解得：，此时工人不会碰到头．12．某公司共有个生产车间，分别生产与两种不同的产品，其中个生产车间生产产品（其中为正整数，且），剩余的生产车间生产产品．今年每个生产产品的生产车间的平均收入（单位：万元）与车间数量（个）之间的关系如图所示．(1)求当时，关于的函数解析式；(2)若已知今年公司产品的年总收入（单位：万元）与车间数量（个）的关系为：（x为正整数且），设公司年总收入为（单位：万元），求关于的函数解析式．（注：公司年总收入=产品的年总收入产品的年总收入）(3)请问公司今年的总收入能超过万元吗？说明理由．【答案】(1)(2)(3)公司一年的总收入不能超过万元【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，分类讨论是解答本题的关键．（1）分当时和当时两种情况求解即可；（2）设为A产品的年收入，先表示出，再根据求解即可；（3）根据一次函数和二次函数的性质，结合（2）的结论求解即可．【详解】（1）由图可知，当时，函数；

当时，令一次函数，过点，，解得，故当时，函数解析式为，函数；（2）设为A产品的年收入，，∵，；（3）不能．理由：当时，，，∴当时，，当时，，，且图象开口向下，当时，．综上所述：公司一年的总收入不能超过万元．13．某数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖正方体箱子放在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，正方形为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线（单位长度为）的一部分，已知抛物线经过点，，．

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线形状相同的拋物线运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为(2)弹珠能弹出箱子，理由见解析【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：（1）把点和，代入，再把抛物线解析式化为顶点式，可得顶点坐标，即可求解；（2）先求出抛物线L与x轴的两个交点，再根据题意可设抛物线M的解析式为，然后把代入，求出抛物线M的解析式，再求出当时，y的值即可求解．【详解】（1）解：把点和代入得：，解得，抛物线的解析式为，，顶点坐标为；（2）解：弹珠能弹出箱子，理由如下：，，；当时，解得：，，根据题意可设抛物线的解析式为，把点代入，得：，解得：或，抛物线的对称轴在直线的左侧，，抛物线的解析式为，当时，，弹珠能弹出箱子．14．某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端A处安装一个喷头向外喷水．柱子在水面以上部分的高度为3m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最大高度为4m，如图所示．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求在第一象限部分的抛物线解析式（不必写出自变量取值范围）；(2)张师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为处，通过计算说明身高的张师傅是否被淋湿？(3)如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的直径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？【答案】(1)；(2)；(3)6米．【分析】本题考查了二次函数实际问题的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是本的解题关键．（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为：，再利用待定系数法求解解析式即可；（2）把代入函数解析式求解的值，再与比较即可得到答案；（3）把令，得，，再解方程，结合题意可得答案．【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线的解析式为：，将代入得，，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）当时，所以，张师傅站在与池中心水平距离为处，能被淋湿．（3）令，得，，解得，（舍）

，∴，答：水池的直径至少要6米，才能使喷出的水流都落在水池内．15．2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元．(1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率；(2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值