2025届河南省部分校高三数学上学期开学摸底考试卷（附答案解析）

2025届河南省部分校高三数学上学期开学摸底考试卷

考试时间：120分钟试卷满分：150分

主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

已知集合4={-1，°，1}6{般—41＜。},则AB=1

1)

A.0B.{0}C.{0,1}D.{-1,0,1}

若二一-=-i,则2=()

2.

z

11.

A.iB.2ic.-+-iD.1+i

22

3.已知向量］=（0,1）,若（a+2b）j_b,则无=（）

A.-1B.1C.2D.0

4.已知sin2a-cos2i=l,且cos。。。，则tana=()

A.0B.1C.；D.A/2

5.将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，且每个盒子最多只能装3个球，则不同的放法有（)

A60种B.64种C.78种D.81种

6.已知2"=42"=3,log86=c,则()

A.b+l=acB.3b+a=cC.ac+a=2bD.b=ac

7.已知函数/(X)=Asin(Gx+o)(A>0,G>0,0<°V7i)部分图象如图所示，将/(x)的图象向左

平移:个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x0)=l，则,(%)|=()

1

A.1B.2C.2百D.幅

2

8.已知E是双曲线C:V—2L=1左焦点，过点E的直线与。交于A3两点（点A,3在C的同一支

3

上）,&\BF\=2\AF\,则|AB|=（）

1327

A.6B.8C.—D.—

24

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.为了解某新品种玉米的亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种玉米的亩产量

的样本均值元=500,样本方差$2=400.己知原品种玉米的亩产量X服从正态分布N（430,202）,假

设新品种玉米的亩产量F服从正态分布N（元,$2）,则（）（若随机变量z服从正态分布N（〃,b2）,

则P（Z<"一a0.1587）

A.P(X>480)<0.2B,P(X<480)>0.8C.P(r<480)<0.2D.P(r>520)>0.2

io.已知函数了⑴的定义域为R/（◎）=wa）+?（y）,则（）

A./(O)=OB./(-l)=0C.y(x)是偶函数D.

11.如图，球。被一个距离球心d（d>0）的平面截成了两个部分，这两个部分都叫作球缺，截面叫作球

缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直径被截后所得的线段叫作球缺的高.球冠的面积公

式为S=2成球缺的体积公式为V=g?i（3R-"）”2,其中R为球的半径，”为球缺的高，记两

个球缺的球冠面积分别为S],S2（S]<S2）,两个球缺的体积分别为乂，匕则下列结论正确的

是（）

13

A.若d=—R,则两个球缺的底面面积均为一兀A9?

216

2

s.1y5

B.若另一§,则呢一句

RS.1

C.若则不《弓

3，

R匕、7

D.若公才则由今

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.

12.已知等比数列｛%｝的前〃项乘积为北，若则"=

X

13.已知厂为椭圆。：一=1的右焦点，0为坐标原点，P为。上一点，若△OEP为等边三角形,

a

则C的离心率为.

14.已知函数〃x)=4'+(a—2)x2—2女2有4个不同的零点，则4的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.ABC内角A8,C的对边分别为a,瓦c,已知b+Lc=3Ea,A=”.

273

⑴求cos。；

(2)若c=2,。为3C边上一点，且ADLAC,求.ACD的面积.

16.如图，在三棱锥P—A5C中，0为AC的中点，平面P05,平面ABC,△ABC是等腰直角三角形,

(1)证明：PA=PC；

(2)求二面角C—B4—5的正弦值.

3

17.在抛物线=2py（p〉0）上有一系列点6（石,%）,6（%2，%），♦，%（X〃，%），“GN+，以点月

为圆心的圆匕与x轴都相切，且圆匕与圆月+i彼此外切.已知占=1,点4到c的焦点的距离为

（2）求数列｛4｝的通项公式;

2

（3）设2=袈，求数列｛%｝的前〃项和S”.

18.设函数7（%）的定义域为。，若存在正实数。，使得对于任意尤e。，有x+ae£>,且

/（%+«）>/（%）,则称"％）是。上的距增函数”.

⑴己知函数/（x）=x+sinx,证明：对于任意正实数a,“X）是R上的距增函数”；

（2）若/（无）=炉—%是R上的“a距增函数”，求。的取值范围；

/、fx+l,x<0,

（3）已知/（九）=《，,八是定义在R上的“2距增函数”，求力的取值范围.

yx\nx+bx,x>（）

19.甲、乙两人各有六张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1』,3,3,5,5,乙的卡

片上分别标有数字2,2,4,4,6,6,两人进行六轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随

机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮

所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.

（1）求甲的总得分为0的概率；

（2）求甲的总得分为1的概率；

（3）若X,为随机变量，则E'fx/=fE（Xj.记甲的总得分为丫，求£”）

[i=\yz=i

4

【答案】

1.C

【分析】解一元二次不等式得集合2,再进行交集运算即可.

【详解】B=[x\4x—1<。},:.5={用2-75<X<2+75}

A5={0,1}.

故选：C.

2.D

【分析】利用复数运算求出z即可.

2-z22

【详解】依题意，——=——l=-i,则一=1—i,

ZZZ

22(1+i)2+2i

所以z===l+i.

2

故选：D

3.A

【分析】由向量的数量积的运算性质结合向量的数量积的坐标运算公式可得答案.

【详解】由a=(l,l)力=(0,1),则。必=1，

因为(a+4b)j_b,所以「“+无;2=o，即1+2=0，解得4=-1.

故选：A

4.B

【分析】利用二倍角公式公式推导出sino=cosa,即可求出tana.

【详解】因为sin2cr—cos2a=1,所以2sin℃osa-2cos20+1=1，

sina

即sinocosa=cos2。，因为cosaw。，贝！Jsin。=cosa,所以tana=----=1.

cosa

故选：B

5.C

【分析】利用间接法，4个不同的小球放入3个不同的盒子中的放法减去将4个球放入同一个盒子中的

放法即得.

【详解】不考虑每个盒子最多只能装3个球，有34种放法.

5

若将4个球放入同一个盒子中，有3种放法.

故不同的放法有34-3=78种.

故选：C.

6.A

【分析】根据指对数互化、对数的运算性质和换底公式计算找到关系式;

【详解】因为2“=b,2"=3,所以a=log246=log23,,

ac=log,/?•logft6=log26=log23+1,故Z?+l=ac

故选：A.

7.D

【分析】由图象找到周期求出根据图象中已知点代入求出口A,得到函数解析式，再利用函数的图

象变换规律得出g@),计算得出结果.

OO2兀

【详解】由图可知一7—二=——，则7=%=兀，解得闷=2.

4884囱11

因为。＞0,所以0=2.

因为/(%)的图象经过点1个,0),所以/7兀

Asin^+J=0,

所以7+0=E(kwZ),解得夕=左兀一与■(左wZ)

JT

因为0＜夕＜兀，所以夕=

4

因为“X)的图象经过点(0,2后)，所以/⑼二Asin：=2拒，解得A=4.

故/(%)=4sin[2x+：1g(x)=4sin27171=4cosf2x+：

XH--+—

44

£

因为g(%)=4cos1,所以COS

4

故选：D.

8.D

6

【分析】首先由双曲线方程求出点尸的坐标，并设出过点E的直线方程为=冲-2（切>0）,然后借助

直线与双曲线联立，得到M，%和与积的关系，再由忸司=2\AF\,得至U%,出的等量关系，从而解出m,%

的值，最后根据弦长公式求出|A3|得长.

由C:5=1可得F（-2,0）.根据对称性，不妨设过点F的直线为x=my-2（〃/>0）,

x=my-2,

联立<2y1可得(3加之一1),2一]2仍；+9=0.

x—1,

I3

设人(%,%),8(%2，%),则加+%=7^4，"%•①

//3m-13m-1

由忸同=2|AF],则3尸=2E4，又BF=(-2-％2，-％)，取=(无1+2，x)所以-%=2%.②

12m24m12m24m9

由①②可得％=—，所以——7—x——

3川-1'%-3疗—13m2-13m25-13m2-1

解得m=痘或m=一正5(舍)，y=hHl,

3535-18

所以|AB|=J1+疗J%-y\=—^xSlyJ=—=—.

111121底1"73584

故选：D.

9.ABC

【分析】根据正态分布的性质及3o■原则，以及条件一一判断即可.

【详解】依题可知，r-7V(5OO,2O2)

P(r<480)=P(Y<500-20)=P(Y>500+20)«0.1587<0.2,故C正确，D错误.

因为X~N(430,202),所以P(X>450)=P(X>430+20)=P(X<430-20)«0.1587,

7

P(X>480)<P(X>450)<0.2,A正确.

因为P(X<450)=1-P(X>450)。1—0.1587=0.8413,所以尸(X<480)>P(X<450)>0,8,B

正确.故选：ABC

10.ABD

【分析】A.令x=y=0求解判断；B.分别令x=y=l,x=y=-l求解判断；c.令y=—l利用函数奇

偶性定义判断；口.令工=^,〉=2求解判断.

【详解】令x=y=0,得/(0)=0,A正确.

令x=y=l,得/。)=/(1)+/(1),所以/(1)=0.

令x=y=-1，得=所以/(—1)=0,B正确.

令y=-L得/■(—*)=—y(x),所以"％)是奇函数，c错误.

令x=g,y=2,得/(l)=2/[g[+g/(2)=0,所以

L—12

-2)…出，出卜(2)7屋]<0,D正确.

故选：ABD

11.BCD

【分析】根据勾股定理结合圆的面积公式计算判断A错误；根据截面的面积和球的体积公式根据不同条

件计算进行判断BCD.

【详解】对于A,设这两个球缺的底面圆半径为人则/+/=尺2,

133

因为严+[2=尺2,d=~R,解得，=—氏2,该圆的面积为一兀R2,A错误.

244

对于B,设两个球缺的高分别为4,用(％<4)，则"+色=2心

S112兀H/i11R3

由丁二工，得cEH=Z，则4=3%,所以4+3%=2R,解得％=—,/z2=-H.

1

S232兀尺色322

匕=!兀(3尺—4)4=，兀(3R—=变1,同理得匕=画1,所以J=正确.

13V।312)(2)2428匕27

8

RR

S[_2兀H4_\_R-d_d

对于c,.设——xf由一<d<R,得lvx<3,则

S22nRh2bR+d«+]d3

d

S_2

xC正确.

S2x+1x+1

g（3R一%调2

对于D,1(2R+d)(R-1产_(2x+l)(x-l)2X3-3X2+1

(2R-d)(R+d¥-(2X-1，(X+1)2

；兀（3尺_均）状2X3+3X2-1

12x2(x2-l)

2X3-3X2+1

由得x23.设函数〃x）=,贝J(x)=

322

2X3+3X2-1(2X+3X-1)

/'（可＞0在［3,+8）上恒成立，即〃龙）在［3,w）上单调递增,

7V7

所以〃x”〃3）=方即片而D正确.

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：关于球的截面问题常用勾股定理求解截面半径和球的半径;

12.1

【分析】依题意可得。3%=1，再由下标和性质计算可得.

【详解】因为(=£，即«1«2=3a4，显然4/0，所以a3a4=1,

贝！]a3a4=aYa6-a2a5=1，故"=a。％-4=1.

故答案为：1

13.73-1##-1+^

【分析】由条件可知△片为直角三角形，结合椭圆定义确定。，c关系，由此可求离心率.

【详解】取椭圆C的左焦点£,连结PF1,

由△OEP为等边三角形，则10H=|。司=|。耳|,

7T

可知△公尸尸为直角三角形，且/母片=4，

设归£|=2c,贝ij|PF|=c,归用=氐，

2

可得2a=|P^|+|PF|=（V3+I）C,则；|=^7i=Gi,

所以椭圆。的离心率是e=f=6—1.

a

故答案为：V3-1,

14.（-op,-2）＜J（-2,-eln2）

【分析】由方程（2'+6）（2*-2%）=0有4个不同的根，且方程2，-2尤=0有1，2两个根，则方程

2，+双=0有2个不同的根，且aw—2,进而转化为函数y=2*与函数丁=一⑪的图象有两个交点求

解.

【详解】解：由题意可得方程（2工+汨（2＜2x）=0有4个不同的根，

方程2*—2x=0的2个根为占=1,々=2,

则方程2"+ax=0有2个不同的根，且aw—2,

即函数y=2、与函数丁=一⑪的图象有两个交点.

当直线丁=一⑪与函数y=2,的图象相切时，

设切点为（后，2'°），因为y'=21n2,所以＜:“一

—CIXQ_/,

解得%~~~-loge,a=-eln2.

In22

要使函数y=2"与函数丁=一依的图象有两个交点，

只需直线y=-ax的斜率大于eln2,

故〃的取值范围为（—8,—2）D（—2,—eln2）.

故答案为：（—8,-2）D（―2,—eln2）

10

15.（1）cosC=毡-（2）B

74

【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，sinB+-sinC=—,再由三角形内角和可得

27

sinB=^-cosC--sinC>即可求解；

22

（2）先应用正弦定理和余弦定理求边长。力，再结合面积公式即可求解.

【小问1详解】

因为b+=c=^-a，所以sin3+LsinC=^^sinA=^^sin^=@.

2727737

因为sinB=sin（A+C）=乎cosC-gsinC，

所以^^cosC-LsinC+'sinC=,解得cosC=■

22277

【小问2详解】

・「一叵

sinC—-----

7

由正弦定理一J=解得a=J7.

sinAsmC

由余弦定理a?=b2+/-2）OCOSA，得/+26—3=0，解得Z?=1（/?=—3舍去）.

在RtzXAC。中，S==立，

cosC2

所以s,=-CA-CDsinC=—.

-ACrDa24

16.（1）证明见解析（2）B

3

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得AC，08,结合面面垂直的性质可得AC，平面尸03,

然后根据等腰三角形的性质结合条件可得.

（2）作PD_L8O,垂足为D,连接DA,。。，由面面垂直的性质可得PD_L平面A3CD，再由三角

11

形全等，得出m，。。，从而建立空间坐标系利用空间向量解决问题.

【小问1详解】

证明：因为A5C是等腰直角三角形，A5L5C,。为AC中点，

所以ACLOB,ACu平面A3C,

又因为平面P05L平面A3C,平面P08】平面ABC=O5,

所以AC,平面P08

因为POu平面尸03,所以ACLPO,又。为AC的中点，

所以△B4C是等腰三角形，故B4=PC.

【小问2详解】

在平面「03上，作PD上BO,垂足为。，连接

平面平面ABC,平面尸05平面ABC=05,

又PDu平面尸05,所以？D_L平面ABCZ）.

由（1）PA=PC,又AC=PA=®，则△Z4C为等边三角形.

所以。必=Ja/2一4。2=逅,。5=生=受，

222

所以cosZBOP=。匕+0B--8匕=—立，所以cosNDOP=—，

2OPOB33

DO=P0yosNDOP=%,DP=>JOP2-DO2=1-

所以AD=DC=JAP?—DP?=1,在等腰直角三角形-ABC中,AB=BC=1,

所以ABC与△QAC全等，故NADC=NA5C=90°，即ZMLDC,

以。为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,1),A。,0,0),5(1,1,0)((0,1,0).

12

PA=(1,0,-1),AB=(0,1,0),AC=(-1,1,0).

设平面PAB的法向量为〃=(菁,％,4),

n-PA-0,Xy~Zy=0,

则即｛二取石=1,可得〃=(1,0,1).

n-AB-0,

设平面PAC的法向量为加=(X2，》2，Z2)，

m-PA=0,x2-z2=0,

则《即《取必二L可得沅=(1,1,1).

m-AC=0,-%2+%=°，

设二面角c—以―3的大小为e,

回i=逅sin£=也

贝|]cos6)=|cosn,77z|=

14H-33

故二面角C—K4—3的正弦值为且

3

17.(1)p=l(2)a“=n(3)S=6-，；+477+6

nn2八

【分析】⑴先计算片1,—,结合设抛物线定义可得归川=丁+4=1,解得夕的值.

I2p2

(2)因为圆匕与圆RM彼此外切，得一X用『+(%—%+)=%+%+]，结合抛物线方程化简得

11,11〕

-----------=1,从而数列〈一卜是以1为首项，1为公差的等差数列，进而4.

Xn+1Xn[%.

222

(3)由(2)得么=L*,S„=1上+2—+3'++n—,利用错位相减进而求得答案;

"2"22223V

【小问1详解】

耳1,—,设抛物线。焦点、为F,根据题意可知归川=丁+£=1,解得P=L

(2p)2p2

【小问2详解】

因为圆巴与圆匕M彼此外切，所以=%+y1M，

贝乂七一x“+i『=(yn+%+1『一(％—y”+i『=4%%+1=看看+1.

13

11,

即--------=1

因为0<xn+l<xn,所以％—x〃+i=xnxn+x,

x“+ixn

1,11

因为一=i,所以数列4一卜是以1为首项,1为公差的等差数列，即一="

Xn

故a“=〃.

【小问3详解】

,_H2_12232+"s〃12232n2

b-^^C--+-+----1-----1-----1-H-----,

n+2223242"+i

两式相减得gs“=g+宇+万1x75+芟1x7-+lx（2n-l）n2

2"

“13571352n—l

+中+了+梦+，则----1-----1-----FH-----：-

2"3=2223242用

1112n-l

两式相减得5北=—+2

+了+梦++吩2向

11

1-

1c?2'T2n—l32n+3

=—+2x——

22"+i22"+I

所以7；=3-誓

所以'”=3-2n+3n2n2+4”+6n2+4〃+6

=3-即S,,=6-

2〃2八+i2n+12"

18.(1)证明见解析(2)(2,+8)(3)(0,+。)

【分析】(1)根据函数导数判断函数单调性，结合增函数得/(尤+。)>/(%)证明了(%)是R上的“。距

增函数”；

(2)根据“。距增函数”的定义，可得(x+a)3—解不等式求得。的取值范围;

(3)根据"％)是定义在R上的“2距增函数"，有〃x+2)>/(x),对x分类讨论结合函数的单调性

求得〃的取值范围;

【小问1详解】

14

证明：因为/(x)=x+sinx,所以/''(xNl+co&x之0,所以在R上单调递增.

对于任意正实数a，x+a>无，所以/(x+a)>/(%),

所以〃龙)是R上的距增函数”.

【小问2详解】

因为=是R上的“。距增函数”，所以/(x+a)>/(x),

即(x+a)'—(x+a)>/一x,化简得3犬+2)ax+tz2-1>0>

所以#+3御+/-1=0无解,即A=9a2-12(a2—i)<0,

解得a>2(a<—2舍去).所以a的取值范围为(2,+8).

【小问3详解】

因为〃龙)是定义在R上的“2距增函数"，所以/(x+2)>/(x).

①若xe(-oo,-2],则x+2e(-oo,0].

因为"％)在(—8,0]上单调递增，所以/(x+2)>/(£)恒成立.

②若2,0],则x+2e(O,2].

因为/(x+2)>/(x),所以(％+2)111(1+2)+》(1+2)>彳+1.

令f=x+2e(0,2],贝！Jdn/+初>/-1,即b>lTnt—

令函数g«)=1_1皿_；/€(0,2],则g'("=_；+5=^^.

当此(0,1)时，/(。>0；当时，g'⑺<0.

所以g⑺在(0,1)上单调递增，在(1,2]上单调递减，

所以g⑺max=g(l)=°，所以》>0.

③若X£(0,+oo),则X+2G(2,+a?),ln(x+2)>0.

由(2)可得，要使得/(力是定义在R上的“2距增函数”，则必须满足匕>0.

15

当6>0时，/(x+2)=(x+2)ln(x+2)+》(x+2)>xln(x+2)+Zzx>xlnx+Z?x=/(%).

综上，〃的取值范围为(0,+。).

19.(1)—(2)-(3)2

909

【分析】(1)根据对称性，不妨固定乙六轮选卡的数字依次为(2,2,4,4,6,6),由甲的总得分为0,得

到甲六轮选卡的数字依次为(1,1,3,3,5,5),再由甲六轮选卡的数字有C；Cj=