湖南省江西省普通高中名校联考2025届高三数学下学期信息卷压轴卷一理含解析

PAGE26-湖南省江西省一般中学名校联考2025届高三数学下学期信息卷（压轴卷一）理（含解析）考生留意：1.本试卷共150分，考试时间120分钟.2.请将答案填在答题卡上.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数的实部为3，其中为虚数单位，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据复数的乘法运算化简复数，由其实部即可求得参数.【详解】，∴.故选：A.【点睛】本题考查复数的乘法运算，实部和虚部的辨识，属基础题.2.已知集合，集合，则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合，求出，再依据交集运算可得结果.【详解】，，，.故选：C【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了补集和交集运算，属于基础题.3.已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据函数的图象求出、的范围，从而得到函数的单调性及图象特征，从而得出结论．【详解】由函数的图象可得，，故函数是定义域内的减函数，且过定点.结合所给的图像可知只有C选项符合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图象特征，属于基础题．4.设是夹角为的单位向量，则（）A.6 B. C. D.7【答案】C【解析】【分析】由，结合的夹角为，及，可求出答案.【详解】因为，所以.故选：C.【点睛】本题考查平面对量的模、向量的数量积、单位向量等学问，考查学生的计算求解实力，属于基础题.5.已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左，右焦点分别为，且，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.或【答案】B【解析】【详解】设直线与轴交点为,由题可知,,,∵,故,即且.故,.又,故,整理得,即.∴或.又,故∴渐近线方程为：.故选：B.【点睛】本题主要考查了双曲线中渐近线以及构造齐次方程求解离心率的问题.须要依据题意找到基本量之间的关系,再求得离心率的值进而求得渐近线方程.属于中档题.6.已知的三边长分别为，，，面积为，且，，则的最大值为（）A. B.2 C.3 D.【答案】B【解析】分析】先利用三角形的面积公式和余弦定理化简整理得到，再利用正弦定理得到，代入已知条件，利用两角差的正弦公式和协助角公式化简整理即可得出结果.【详解】解：因为中，，，且，所以，解得，因为，所以.因为，所以，可得，，所以，所以的最大值为2.故选：B.【点睛】本题主要考查了正余弦定理以及两角差的正弦公式和协助角公式.属于中档题.7.依据下列算法语句,当输入x为60时,输出y的值为（）A.25 B.30 C.31 D.61【答案】C【解析】试题分析：输入，推断，否，，输出故选C．考点：算法语句．8.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据题意得到总的可能的状况，再分上珠拨的是千位档或百位档和上珠拨的是个位档或十位档进行分类，得到符合要求的状况，从而得到符合要求的概率.【详解】依题意得所拨数字共有种可能．要使所拨数字大于200，则若上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字肯定大于200，有种；若上珠拨是个位档或十位档，则下珠肯定要拨千位，再从个、十、百里选一个下珠，有种，则所拨数字大于200的概率为，故选D．【点睛】本题考查排列组合的应用，求古典概型概率，涉及分类探讨的思想，属于中档题.9.在正方体中，为棱上一点且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】过点作交的延长线于点，连接，则角(或其补角)为异面直线与所成角.在三角形中用余弦定理求解.【详解】过点作交的延长线于点，连接则角(或其补角)为异面直线与所成角.设正方体的棱长为3，则,所以故选：B【点睛】本题考查求异面直线所成的角，属于中档题.10.已知函数的一个零点是，则当取最小值时，函数的一个单调递减区间是A.， B.， C.， D.，【答案】D【解析】【分析】依据函数零点关系，求出的取值，利用函数的单调性进行求解即可．【详解】解：的一个零点是，由得，得，即或，，，的最小值为，此时，由，，得，，当时，的一个单调递减函数区间为，，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，依据条件求出函数的解析式以及利用单调性是解决本题的关键.属于中档题11.已知函数关于点对称，若对随意的恒成立，则实数k的取值范围为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据为奇函数，其图象关于对称，再由关于点对称，可得，再将对随意的，恒成立，转化为，在恒成立，令，求的最大值即可.【详解】由为奇函数，可得其图象关于对称，可得的图象关于对称，函数关于点对称，可得，对随意的，恒成立，即，在恒成立，所以，在恒成立，令，由，可得，设，当时，取得最大值11，则k的取值范围是，故选：D.【点睛】本题主要考查函数的对称性和不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的实力，属于中档题.12.设椭圆的左,右顶点为是椭圆上不同于的一点,设直线的斜率分别为,则当取得最小值时,椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，利用斜率公式求得，结合在椭圆上，化简可得，令，则，利用导数求得使取最小值的，可得时，取得最小值，依据离心率定义可得结果.【详解】由椭圆方程可得，设，则,则，，，令，则，，在上递减，在上递增，可知当时，函数取得最小值，，，故选D.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质、直线的斜率公式的应用，以及椭圆的离心率，利用导数求函数的最值，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种状况：①干脆求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采纳离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上.13.已知直线与曲线在处的切线平行，则实数的值为_______.【答案】4【解析】【分析】对求导数，得出函数在处的导数，即为切线斜率．【详解】对求导数，得.当时，.故曲线在处的切线的斜率为2．而已知直线的斜率为，∴，故.故答案为：4.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题．14.已知实数x，y满意条件，则的最大值为________.【答案】8【解析】【分析】依据约束条件画出可行域，然后依据目标函数确定取得最大值的点从而得出答案.【详解】画出可行域如图所示，将目标函数变形为，可知当直线经过点A时z取得最大值.由，解得，即，所以.故答案为：.【点睛】本题考查简洁的线性规划问题，比较简洁，解答时依据约束条件精确画出可行域是关键，然后将目标函数转化为截距型求解最值.15.已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】转化问题为函数与在上有两个交点,进而求解即可.【详解】由题,因为函数在上有两个不同的零点,所以设,则函数与在上有两个交点,因为,且,则设,,所以,则当时,函数单调递增；当时,函数单调递减,当时,；当时,；当时,,所以故答案为:【点睛】本题考查由零点的个数求参数范围,考查利用三角恒等变换化简,考查转化思想和运算实力.16.集合，，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________①的值可以为2；②的值可以为；③的值可以为；【答案】②③【解析】【分析】依据对称性，只需探讨第一象限的状况，计算：，得到，，得到答案.【详解】如图所示：依据对称性，只需探讨第一象限的状况，集合：，故，即或，集合：，是平面上正八边形的顶点所构成的集合，故所在的直线的倾斜角为，，故：，解得，此时，，此时.故答案为：②③.【点睛】本题考查了依据集合的交集求参数，意在考查学生的计算实力和转化实力，利用对称性是解题的关键.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~-21题为必考题，毎个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列的前n项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和为.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将化为，得出，再利用求出；（2）先写出的通项公式，然后利用错位相减法求出的前n项和.【详解】解：（1）因为，，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，，所以.（2）由（1）知，所以，①则，②由①-②可得，所以.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法及利用错位相减法求数列的前项和，难度一般.当已知与、与或的关系式时，采纳公式法求解通项公式；已知数列，其中和分别是等差数列与等比数列时，采纳错位相减法求和.18.某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获得他们本次考试的数学成果(x)和物理成果(y)，绘制成如图散点图：依据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异样点A，B．经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参与物理考试．为了使分析结果更科学精确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：其中xi，yi分别表示这42名同学的数学成果、物理成果，i＝1，2，…，42，y与x的相关系数r＝0.82．（1）若不剔除A，B两名考生的数据，用44组数据作回来分析，设此时y与x的相关系数为r0．试推断r0与r的大小关系，并说明理由；（2）求y关于x的线性回来方程（系数精确到0.01），并估计假如B考生加了这次物理考试（已知B考生的数学成果为125分），物理成果是多少？（精确到个位）；（3）从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成果ξ听从正态分布，以剔除后的物理成果作为样本，用样本平均数作为μ的估计值，用样本方差s2作为σ2的估计值．试求该地区5000名考生中，物理成果位于区间（62.8，85.2）的人数Z的数学期望．附：①回来方程中：②若，则③11.2【答案】（1）r0＜r，理由详见解析；（2），81分；（3）3413．【解析】【分析】（1）结合散点图，可得出结论；（2）利用题中给的相关系数，最小二乘法写出回来直线方程，再令x＝125，即可算出答案；（3）算出，s2，得到ξ～N（74，125），11.2，所以P（63.8＜ξ＜85.2）＝因为，即可算出期望．【详解】（1）r0＜r．理由如下：由图可知，y与x成正相关关系，①异样点A，B会降低变量之间的线性相关程度．②44个数据点与其回来直线的总偏差更大，回来效果更差，所以相关系数更小．③42个数据点与其回来直线的总偏差更小，回来效果更好，所以相关系数更大．④42个数据点更贴近其回来直线l．⑤44个数据点与其回来直线更离散．（2）由题中数据可得：，所以，又因为，所以，，所以，将代入，得，所以估计B同学的物理成果约为81分.（3），所以ξ～N（74，125），又因为11.2所以，因为，所以，即该地区本次考试物理成果位于区间（62.8，85.2）的数学期望为3413．【点睛】本题考查回来直线方程与正态分布的综合应用，涉及到正态分布的学问，考查学生的数学运算、数据分析、数学建模的实力，是一道中档题.19.已知抛物线，过抛物线焦点的直线分别交抛物线和圆于点(自上而下)．（1）求证：为定值；（2）若、、成等差数列，求直线的方程．【答案】（1）见解析（2）．【解析】【分析】（1）探讨当直线过焦点且垂直于轴时，四点坐标可干脆求出，可求得，当直线过焦点且不垂直于轴时，设直线方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，即可得到定值；（1）由、、成等差数列，可得，从而可得，而，，列方程可求出斜率，从而可求出直线方程.【详解】（1）由题知，焦点，圆半径；①当斜率不存在时，，交点，此时；②当斜率存在时，设，联立，消去得由韦达定理得，明显恒成立由抛物线定义得，同理，所以．（2）由成等差数列，得所以弦长由（1）知明显斜率存在，由抛物线定义得故，解得，所以直线的方程为．【点睛】此题考查的是抛物线的定义和方程、性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简运算实力，属于中档题.20.如图①：在平行四边形中,,,将沿对角线折起,使,连结,得到如图②所示三棱锥.（1）证明：平面；（2）若,二面角的平面角的正切值为,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证明,从而证明平面,进而得出,即可证平面.最终证得平面.（2）若,二面角的平面角的正切值为,由（1）知平面,因为平面,所以,又,所以即为二面角的平面角,得,从而求出,,建立空间直角坐标系,求平面的法向量为,最终依据公式,即得直线与平面所成角大小.【详解】（1）证明：在平行四边形中,,则.在三棱锥中,因为,.所以平面,所以.又,,所以平面.又平面,所以.因为,,所以平面.（2）解：由（1）知平面,因为平面,所以,又,所以即为二面角的平面角,即.因为平面,平面.所以,故,又.所以.在平行四边形,,,所以与为相像三角形,则,故（）,解得,故,解得,所以,.过点作,以为坐标原点,,,的方向为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.则,,,.所以,,.设平面的法向量为,则令得.设直线与平面所成角为,即直线与平面所成角为.【点睛】本题主要考查空间线面垂直判定性质及二面角的解法,属于中档题.21.已知函数.（1）当时，求的最小值；（2）若时，，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用导数求出在上的单调性即可（2）由得，令，然后分、、、四种状况求出的单调性即可.【详解】（1），令，得；，得和所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减因为，，，所以时，.（2），即..设，，∴，，，∴，又，.①即时，，在上递减，则，不满意.②即时，当，即时，，使得且，，在内递减，，不满意当，即时，，使得，且，，，，∴在上递增，在上递减，又，，所以成立.当，即时，，在上递增，则.满意题意.综上，【点睛】本题考查的是利用导数探讨函数的单调性，最值和利用导数解决恒成立问题，属于较难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、