第3章-中子扩散理论2014

1、1中子扩散理论中子扩散理论主讲：张竞宇主讲：张竞宇2反应堆物理的反应堆物理的核心问题核心问题之一：确定堆内中子通量密度按空之一：确定堆内中子通量密度按空间和能量的分布间和能量的分布 第二章通过求解中子慢化方程，解决了中子通量密度按能第二章通过求解中子慢化方程，解决了中子通量密度按能量的分布，量的分布， (E)(E) E E，即中子能谱，即中子能谱 本章，将研究中子通量密度按空间的分布，即本章，将研究中子通量密度按空间的分布，即(r)(r) r r3Contents引言引言（输运过程、输运理论及扩散现象）（输运过程、输运理论及扩散现象）单能中子扩散方程单能中子扩散方程非增殖介质内中子扩散方程的解

2、非增殖介质内中子扩散方程的解扩散长度、慢化长度和徙动长度扩散长度、慢化长度和徙动长度4输运过程及输运理论输运过程及输运理论中子状态的描述中子状态的描述反应堆物理与屏蔽计算的基本方法反应堆物理与屏蔽计算的基本方法51、输运过程（输运过程（TransportTransport）以及输运理论）以及输运理论u对于自然界的微观粒子(中子、光子、电子、离子和分子等)，在介质中会发生无规则碰撞，使得单个粒子的运动形式是杂乱无章的，即某一时刻、在介质中某一位置、具有某种能量与某一运动方向 的粒子，在稍晚些时候，将运动到介质中的另一位置、以另一能量和另一运动方向出现，这一现象称之为粒子输运过程粒子输运过程。u对

3、于大量粒子而言，其运动形式呈现出一定的统计规律，使得人类对粒子行为的研究成为可能。那么，用于描述粒子在介质中迁移的统计规律的数学理论，就统称为粒子输运理论粒子输运理论。6u发展简史：发展简史：最早的粒子输运理论是以Clausius(1857)、Maxwell(1860)、Boltzmann(1868)提出的“分子运动论”作为基础发展起来的；1872年，Boltzmann建立了著名的Boltzmann方程方程（又称输运方程），当时是用来描述气体从非平衡态到平衡态的过渡过程；1910年Hilbert论述了Boltzmann方程解的存在性与唯一性，奠定了粒子输运理论的数学基础；1939年发现中子后，

4、随着核反应堆和核武器的出现，中子输运理论中子输运理论得到极快发展；1943年Wick、Marshak、Mark等人提出并发展了球谐函数方法，使得高精度地解析求解Boltzmann中子输运方程成为可能；1946年Von Neumann 和 Ulam等开发了第一个用概率论方法（Monte Carlo方法）计算中子链式反应的程序；1955年Carlson等人提出了离散纵标法(即早期SN方法)；在上述方法的基础上，产生了大批应用程序软件。7l中子状态中子状态: 位置矢量位置矢量 r (x,y,z)、能量、能量E(或运或运动速度动速度v)、运动方向、运动方向 (,)、时间、时间tl ：单位矢量，模等：单

5、位矢量，模等于于1，方向表示中子的，方向表示中子的运动方向，通过极角运动方向，通过极角 和方位角和方位角 来表示来表示2、中子状态的描述、中子状态的描述844),(),(),(),(dErErdErnErn)(),(),(EvErnErl中子角密度中子角密度：在：在r处单位体积内和能量为处单位体积内和能量为E的单位能量间的单位能量间隔内，运动方向为隔内，运动方向为 的单位立体角内的中子数目。的单位立体角内的中子数目。l中子角通量密度中子角通量密度：沿沿 方向在单位时间内穿过垂直于这方向在单位时间内穿过垂直于这个方向的单位面积上的中子数目。个方向的单位面积上的中子数目。 对中子角密度和中子角通量

6、对所有立体角方向积分，可得前对中子角密度和中子角通量对所有立体角方向积分，可得前面所定义的中子密度和中子通量密度面所定义的中子密度和中子通量密度9中子输运理论的基本问题之一，就是采用中子角密度 （或中子角通量密度 ）来描述中子输运过程。为了得到中子角通量密度 ，需要建立描述中子输运过程的精确方程，即“玻尔兹曼方程玻尔兹曼方程”。它是一个含有位置r (x,y,z)、能量E(或运动速度v)、运动方向(,)、时间t七个自变量的偏微分积分方程，求解过程非常复杂，只有在极个别的简单情况下，才能求出解析解。 确定性方法确定性方法(Deterministic method) 数学模型用数学物理方程表示，然后

7、采用数值方法求解数学模型用数学物理方程表示，然后采用数值方法求解 优点：计算快速优点：计算快速 缺点：模型简化不够精确，大型多维问题需大量计算时间及存储空缺点：模型简化不够精确，大型多维问题需大量计算时间及存储空间等间等 典型方法：离散纵标法（典型方法：离散纵标法（SN） 非确定性方法非确定性方法(蒙特卡罗方法，蒙特卡罗方法，Monte Carlo method)： 基于统计理论，通过计算机的随机模拟来跟踪中子在介质中的运动基于统计理论，通过计算机的随机模拟来跟踪中子在介质中的运动 优点：计算精确，可以模拟三维复杂几何模型优点：计算精确，可以模拟三维复杂几何模型 缺点：计算耗时，特别是对于深穿

8、透问题（缺点：计算耗时，特别是对于深穿透问题（Deep-penetration） 混合方法混合方法 研究热点研究热点3、反应堆物理与屏蔽计算基本方法反应堆物理与屏蔽计算基本方法1011l中子扩散理论中子扩散理论求出介质内求出介质内中子角通量密度中子角通量密度的分布的分布, 才算对介质内中子的才算对介质内中子的分布有了全面了解分布有了全面了解.要做到这一点，需要研究中子输运理论，求解要做到这一点，需要研究中子输运理论，求解中子输运方中子输运方程程。这是一个非常复杂和困难的任务。这是一个非常复杂和困难的任务. 在本课程中，我们研在本课程中，我们研究输运理论的简化形式究输运理论的简化形式中子扩散理论

9、中子扩散理论。玻尔兹曼玻尔兹曼输运方程输运方程中子扩中子扩散方程散方程单群中子单群中子扩散方程扩散方程假设中子通量密度假设中子通量密度角分布各向同性角分布各向同性假设中子具假设中子具有单一能量有单一能量本节内容本节内容12菲克定律菲克定律菲克定律的推导菲克定律的推导菲克定律和扩散方程的使用范围菲克定律和扩散方程的使用范围单能中子扩散方程的建立单能中子扩散方程的建立扩散方程的边界条件扩散方程的边界条件13 分子扩散现象分子扩散现象 香水分子的扩散（无风状态） 墨滴在静水中的扩散 血液中的养分透过细胞膜向细胞内扩散 分子扩散是由于分子间的无规则碰撞产生的，使得分子从密度大的地方向密度小的地方扩散，

10、并且分子扩散的速率与分子密度的梯度成正比，也就是服从“菲克定律”。 同样，中子的扩散现象也服从“菲克定律”。只不过由于中子密度（1016m-3）比介质原子核密度（1028m-3）要小得多，因而中子的扩散主要是中子与介质原子核碰撞的结果，中子之间的碰撞可以忽略。1、菲克定律、菲克定律(Ficks law)14中子从通量高的地方流向通量低的地方，中子从通量高的地方流向通量低的地方，通量差别越大，中子通量差别越大，中子 “流量流量” 越大越大菲克定律菲克定律：JD l 上式中的上式中的 被称为被称为中子流密度中子流密度（简称中（简称中子流、或流。子流、或流。Current） .中子流密度是一个向量中

11、子流密度是一个向量, 其方向是通量场的负梯度方向其方向是通量场的负梯度方向. . 其数值等于其数值等于垂直于梯度方向垂直于梯度方向的单位面积上每秒的单位面积上每秒穿过的净中子数目。穿过的净中子数目。 单位：中子单位：中子/cm/cm2 2. S. S( )J r 1516l 中子流密度是向量，可以写成三个分量之和中子流密度是向量，可以写成三个分量之和l 其中三个分量分别称为该方向的分中子流密度，每其中三个分量分别称为该方向的分中子流密度，每个分量可写成两个分量只差个分量可写成两个分量只差kJjJiJJzyxzzzyyyxxxJJJJJJJJJJZ+ 是沿是沿z轴正方向每秒穿过轴正方向每秒穿过x

12、-y平面上单位面积的中子数平面上单位面积的中子数JZ- 是沿是沿z轴负方向每秒穿过轴负方向每秒穿过x-y平面上单位面积的中子数平面上单位面积的中子数17l如果某平面与中子流密度如果某平面与中子流密度 方向不垂直，方向不垂直，那么每秒通过该平面上单位面积的净中子那么每秒通过该平面上单位面积的净中子数是数是 J nn 是该平面的法线方向（单位）向量( )J r 1819中子流密度与中子通量密度的差别中子流密度与中子通量密度的差别: : 中子流密度用于描述中子的定向运动，是矢量中子流密度用于描述中子的定向运动，是矢量 中子通量密度用于计算中子通量密度用于计算核反应率核反应率，是标量，是标量 两者的量

13、纲相同两者的量纲相同 当所有中子运动方向相同时，中子通量与中子当所有中子运动方向相同时，中子通量与中子流数量（大小）相等。流数量（大小）相等。20场论知识场论知识 数量场数量场的的梯度梯度 向量场向量场 的的散度散度 哈密顿算符哈密顿算符 拉普拉斯算符拉普拉斯算符 J div JJ 2222222ijkxyzxyz grad21考虑稳态情况，同时假设：考虑稳态情况，同时假设： 介质是介质是无限无限的、的、均匀均匀的；的； 在在实验室坐标系实验室坐标系中中散射是各向同性散射是各向同性的；的； 介质的吸收截面很小，即介质的吸收截面很小，即 a s (弱吸收介质弱吸收介质)；(1) 是随空间位置是随

14、空间位置缓慢变化缓慢变化的函数。的函数。2、菲克定律的推导、菲克定律的推导22以所研究以所研究的点作为的点作为坐标原点坐标原点23考虑上半空间发生的散射使多少中子考虑上半空间发生的散射使多少中子从上到下穿过从上到下穿过 dA 首先考虑体积元首先考虑体积元 dV 中的散射中子有多少中的散射中子有多少 由于散射中子由于散射中子各向同性各向同性地飞向四面八方地飞向四面八方,飞向飞向 dA的只占一部分的只占一部分. 这一份额等于这一份额等于dA的面积与以的面积与以 r 为半径的球面积之比为半径的球面积之比,再乘以再乘以cos 此外并非所有飞向此外并非所有飞向dA的中子都能够到达的的中子都能够到达的dA

15、, 沿途的碰撞会使得部分中子沿途的碰撞会使得部分中子 “偏离航向偏离航向”，此，此外还有一部分中子会被介质吸收掉外还有一部分中子会被介质吸收掉24dA能到达上的中子数是22cos( ) 4cos( )4tsrsrsdAr dVerdAr dVer 25 把上半空间所有地方的散射中子的贡献把上半空间所有地方的散射中子的贡献统统考虑进来统统考虑进来,即对上半空间积分即对上半空间积分,就得到就得到从上而下穿过从上而下穿过dA的总中子数目。的总中子数目。这个数目就是这个数目就是沿负沿负z方向方向的的分中子流密度分中子流密度 乘以乘以dAzJ26dAz沿负 方向每秒穿过的中子数是22/20001( )c

16、os4( )cossin4ssrszVrsdAJ dAr edVrdAr edrd d 00)(614zJsz”表示原点下标“0同理00)(614zJsz由于已经假设中子通量密度是随空间位置缓慢变化的中子通量密度是随空间位置缓慢变化的，将(r) 在原点处按泰勒级数展开，取1阶项，代入积分可得27 2sinsindVrdrddrrdrd d 2800)(614zJsz推导过程推导过程0000( )( , , )()()()rx y zxyzxyzsincosxrsinsinyr由于cos和sin从0到2的积分为0，所以含有x，y项的积分将等于0，则可以得到2/2000( )cossin4srsz

17、dAJ dAr edrd d 2/200000()cos sincos4srszJerdrd dz 2/22/2200000000sincos()sincos44ssrrssedrd derdrd dz /2/22000000sincos()sincos22ssrrssedrderdrdz/2/22000000sincos()sincos22ssrrssdedrderdrz coszr29/2/2200000011sin2(2 )()()cos(co4(2)21sssrssrsssdedrzredd/2/2000000013()()22()111coscos2 34ssssrrszsrsedr

18、eer分步积分000lim11() ()46srrsszrere000lim lim11() ()46()ssrrrrersze洛必达法则00011() (0)46srsze001()46sz30zxy单位时间沿着 方向穿过平面上单位面积的净中子数为0001()31()31()3zzzsxsysJJJzJxJy 同理有33ssxyzJJ iJ jJ kgrad 31 令令 ，便完成了，便完成了菲克定律菲克定律之推导，得到之推导，得到 斐克定律斐克定律：中子流密度 正比于负的中子通量密度的梯度，其比例常数为扩散系数D3sDJDD 称为扩散系数32u介质是无限的、均匀的、散射各向同性；介质是无限的

19、、均匀的、散射各向同性； 有限介质内，在距离表面几个自由程之外的内部区域，有限介质内，在距离表面几个自由程之外的内部区域，斐克定律是近似成立的；斐克定律是近似成立的； 在距真空边界两三个自由程以内的区域，不适用。在距真空边界两三个自由程以内的区域，不适用。u介质的吸收截面很小，即介质的吸收截面很小，即 a 0时，(3-52)解为(3-53)由边界条件(1)可得(3-54)因此根据边界条件(2)可以求出1/)1 (2LaeDSLA(3-55)中子通量密度为中子通量密度为LaLxaLxeeeDSLx/ )(/12)(3-56)53(3-57)考虑系统对称性系统对称性，用|x|代替上式中的x，可得对

20、所有x均适用的表达式LaLxaLxeeeDSLx/|)|(/ |12)(对于无限厚度平面源无限厚度平面源，a，有LxeDSLx/ |2)(3-61)54当a/L=3（介质厚度为中子扩散长度3倍时）时，除在边界附近外，中子通量密度的分布与无限介质内的分布相差不多。薄板泄露较大，边界处中子通量密度下降很快；厚板（大于三个扩散长度），大部分中子在到达边界以前被散射回来，泄露很小=反应堆没有必要采用过厚的反应堆没有必要采用过厚的反射层反射层553. 包含两种不同介质的情况包含两种不同介质的情况P7656anaagT29320 ,)1 (31)1 ( 33002sasatraaDL 扩散长度扩散长度(d

21、iffusion length)(diffusion length)(3-75)大多数元素的散射截面与能量无关，当热中子能谱按麦克斯韦大多数元素的散射截面与能量无关，当热中子能谱按麦克斯韦谱分布时，热中子吸收截面等于谱分布时，热中子吸收截面等于(3-76)将上式代入将上式代入(3-75)式可得式可得)()293(293202naanTggTLL (3-77)57考虑无限介质内有一热中子点源的情况， drrrdVra)(被吸收的中子数为内吸收中子的几率为：处在drr 在 的球壳内，LrLraaeLrdrSdrrDrSeSdVrdrrp/22/1/44/)()(3322/2000( )r Lr L

22、rrrr p r dredrdeLL332/000033/r Lr Lr Lrrrr LedededrLLLreL 2/2/2000032/33 3r Lr Lr Lrr Ledrr deed rLr e/2/00000/3666 6r Lr Lr Lr Lr Led rerdrLrdeLedrLre/2/20002/666 6r Lr Lr LLedrL deLL e58扩散长度的物理意义：扩散长度的物理意义：热中子扩散长度的平方热中子扩散长度的平方, 等于无限大介质中的等于无限大介质中的点源放出的热中子从产生地点到被吸收地点的点源放出的热中子从产生地点到被吸收地点的直线距离的均方值的六分之

23、一直线距离的均方值的六分之一.2261rL 59几种慢化剂在几种慢化剂在293K时热中子扩散参数时热中子扩散参数室温下热中子在石墨中室温下热中子在石墨中( s=0.385cm-1),求解：求解：(1)散射平均自由程（散射平均自由程（2）吸收前的碰撞次数（）吸收前的碰撞次数（3）产生到被吸收的直线）产生到被吸收的直线距离（距离（4）中子吸收前走过的路程（吸收平均自由程）中子吸收前走过的路程（吸收平均自由程）602. 慢化长度慢化长度0),()(1EEthdEErr/ )/ln(0thsEEN thsEE0111ln1以下的中子数速到处每秒每单位体积内减在th1Er)(r 源中子能量为E0，热中子能量为Eth。将E0到Eth的中子称为快群中子快群中子。将Eth以下的中子称为热群中子热群中子，同时定义一个移出（减速）截面移出（减速）截面 1使快群转移到热群的中子转移率快群转移到热群的中子转移率源中子慢化到热中子的平均碰撞次数源中子慢化到热中子的平均碰撞次数:因而移出（减速）截面移出（减速）截面 为thsEE01ln(3-82)61EdEEEDEEEs0)()()(01112DH2OD2OCBe轻水堆轻水堆沸水堆高温气冷堆高温气冷堆th/(10-4m2)27.5123352904050300写出无限介质点