2025年高考数学一轮复习：立体几何中的动点及其轨迹问题-专项训练【含答案】

2025年高考数学一轮复习-立体几何中的动点及其轨迹问题-专项训练

一、基本技能练

1.如图，在正方体ABC。一ALBCLDI中，P是侧面331cle内一动点，若P到直线

3c与到直线GDi的距离相等，则动点P的轨迹为（）

A.直线B.圆

C.双曲线D.抛物线

2.如图，正方体A3CD—AbBiCD］中，P为底面A3CD上的动点.PELAC于E,

且必=PE,则点尸的轨迹是（）

A.线段B.圆弧

C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分

3.如图，圆锥的底面直径AB=2,母线刑=3,点C在母线V3上，且VC=1,

有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到达点C,则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）

4.如图所示，已知正方体ABC。一AiBCbDi的棱长为2,长为2的线段的一个

端点“在棱DDi上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN中点轨迹

的面积为（）

c,

AB

A.471B.2TI

71

.兀ID

5.已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱

长分别是1,1,^2,则成f•丽的取值范围为（）

「1cl「3二

A.—0B.一70

「1J「3」

C.-2,1D.一71

6.点P为棱长是2小的正方体ABCD-AiBiCiDi的内切球0球面上的动点，点M

为BC1的中点，若满足则动点P的轨迹的长度为（）

A.7iB.2兀

C.47TD.2小兀

7.已知正三棱锥产一ABC的六条棱长均为6,S是△ABC及其内部的点构成的集合.

设集合T={Q©S|PQW5},则T表示的区域的面积为（）

3兀

A4.WB.7T

C.2TID.3TI

8.如图，三角形PAB所在的平面a和四边形ABCD所在的平面0垂直,且AD±a,

BCLa,AD=4,BC=8,AB=6,ZAPD=ZCPB,则点P在平面a内的轨迹是

()

A.圆的一部分B.椭圆的一部分

C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分

9.已知正方体A5CD—的棱长为1,点M,N分别为线段AQ,AC上的动

点，点T在平面3CC®内，则MT+NT的最小值是（）

A.^2B.平

A/6

C.^-D.l

10.如图，长方体A3CD—中，AB=BC=^2,AA，=小,上底面

的中心为0',当点E在线段CC上从C移动到C时，点＜7在平面BDE上的射影

11.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，以，底面ABCD,且底面各边都相等，M

是PC上的一动点，当点“满足时，平面M3。，平面PCD（只要填写一

个你认为是正确的条件即可）.

12.如图，尸是棱长为1的正方体ABC。一ALBCLDI表面上的动点，且AP=g,

则动点P的轨迹的长度为.

二、创新拓展练

13.在棱长为3的正方体ABCD-AiBiCiDy中，E是A4i的中点，P是底面ABCD

所在平面内一动点，设PDi,PE与底面A3CD所成的角分别为仇，仇（仇,仇均

不为0）,若。1=%，则三棱锥P—331C1体积的最小值是（）

A.|

B2

C.|

D-4

14.（多选）如图，设正方体ABC。一ALBICLDI的棱长为2,E为ALDI的中点，F为

CC上的一个动点，设由点A,E,R构成的平面为a,则（）

A.平面a截正方体的截面可能是三角形

B.当点R与点G重合时，平面a截正方体的截面面积为2#

C.当点D到平面a的距离的最大值为呼

D.当R为CG的中点时，平面a截正方体的截面为五边形

15.已知面积为2小的菱形A3CD如图①所示，其中AC=2,E是线段AD的中点.

现沿AC折起,使得点D到达点S的位置,此时二面角S-AC-B的大小为120°,

连接SB,得到三棱锥S-ABC如图②所示,则三棱锥S-ABC的体积为；

若点尸在三棱锥的表面运动，且始终保持EF±AC,则点F的轨迹长度为.

D

图①

16.如图，三棱锥S—ABC的所有棱长均为1,底面A3C,点M,N在直线阳

,V2

上，且若动点P在底面ABC内，且△2阿的面积为则动点P的

MN=3，12,

轨迹长度为

参考答案与解析

一、基本技能练

1.答案D

解析点P到直线GDi的距离即为点P到点Ci的距离，

所以在平面331cle中，点尸到定点Ci的距离与到定直线3c的距离相等,

由抛物线的定义可知，动点P的轨迹为抛物线，故选D.

2.答案A

解析由题意知，△AMP法△AiEP,

则点P为在线段AE的中垂面上运动，

从而与底面A3CD的交线为线段.

3.答案B

解析在圆锥侧面的展开图中，AA'=2n,

2

所以卒，

NAW=r/^l=D

1兀

所以AAVB=^ZAVA'=y

由余弦定理得AC2=Wl2+VC2-2Wl-VC-cosZAVB=32+12-2X3X1x|=7,

所以AC=S.

所以这只蚂蚁爬行的最短距离是巾，故选B.

4.答案D

解析易知平面ABCD,ZMDN=90°,取线段MN的中点P,则DP=^MN

，/117E

=1,所以点尸的轨迹是以。为球心，1为半径的工球面，故S=WX4TTX12=亍

ooZ

5.答案B

解析根据题意，以。为坐标原点，所为x轴正方向，比为y轴正方向，访1为

z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.

设长方体外接球球心为0,

则DB1为外接球的一条直径，

设。为的中点，不妨设〃与。重合，N与Bi重合.

则外接球的直径长为、产+12+（羊）2=2,

所以半径/•=：1,

所以曲屈=（历+丽•（由+而=（历+加.（舒一雨=|舒/一|励2二|向产

—1,

由尸在长方体表面上运动，

所以|西e1,1,即|两2©1,

所以|由2—1©［一不Oj,

一「3一

即成/.丽e［一不0.

6.答案C

解析根据题意知，该正方体的内切球半径为厂=小,

如图，取331的中点N,连接CN,

则CN1BM,

在正方体

ABCD-AiBiCiDi中，

CN为DP在平面BxCxCB中的射影，

•••点尸的轨迹为过。，C,N的平面与内切球的交线,

,正方体A3CD—ALBCIDI的棱长为2小，

，。到过。，C,N的平面的距离为1,

/.截面圆的半径为由（小）2—1=2,

二点尸的轨迹的长度为27iX2=47i.

7.答案B

解析设顶点尸在底面上的投影为。，连接3。,

则0为△ABC的中心，

且BO=|x6X-^=2"\/3,

故PO=q36-12=24.

因为PQ=5,故OQ=1,

故。的轨迹为以。为圆心，1为半径的圆，

2X*X36_

而△ABC内切圆的圆心为0,半径为一——=小＞1,

3Xb

故Q的轨迹圆在AABC内部,

故其面积为71.

8.答案A

解析由条件易得AD〃3C,且NAPD=NCP3,AD=4,BC=8,

可得tanZAPD=:^=^=tanZCPB,

1211LJ

理与

PA~AD~2

在平面必3内以A3所在的直线为x轴，A3的中点。为坐标原点，建立直角坐

标系(图略)，

则A(—3,0),3(3,0),

„,PB/(x-3)2+y2

设尸(x,y),则}有丽=y(x+3)2+/=2'

整理可得x2+y2+10x+9=0(x^0).

由于点P不在直线AB上，

故此轨迹为圆的一部分，故答案选A.

9.答案B

解析A点关于BC的对称点为E,M关于39的对称点为M',记d为直线EB1

与AC之间的距离，

则MT+NT=M'T+NT^M'N^d,

由B'E//D'C,d为E到平面AC。的距离，因为VD'-ACE=^X1XSMCE=]X1X1

1

-

3

而VD'—ACE=VE—ACD'=lxdX^X(y[^)2=^d=J,

34\v，b3

,，,2^1

故d——^~.

10.答案B

解析如图，以CA,CC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，则有C(0,

0),0(1,0),0(1,小)，

设G(x,y),

由O'GLOG,

可得士1,

1X—1

3

整理可得+(x—1)2=不

所以点O在平面3DE上的射影G的轨迹是以《1,坐]为圆心，半径为坐的（5G.

oc

因为tanGOF—QQ,—3,

所以0，G=OOsin/GOF=g,

所以△OG/是等边三角形，

即NG=泉

所以圆弧OG的长/=亨乂坐=亭.

11.答案DM±PC（或BM±PC）

解析连接AC,BD,则ACLBD,因为出，底面ABC。，BDu平面A3CD,所

以又必AAC=A,

所以3D，平面以C,PCu平面mC,

所以3D，PC,

所以当DMLPC（或BMLPC）时，有PC,平面MBD,PCu平面PCD,

所以平面MB。，平面PCD.

371

12.答案y

解析由已知AC=ABi=ADi=y[2,

在平面BCi,平面A1C1中，

BP=AiP=DP=l,所以动点尸的轨迹是在平面BG,平面A1C1,平面DC内分

别以3,D,4为圆心，1为半径的三段圆弧，且长度相等，

故轨迹长度和为3=^.

二,创新拓展练

13.答案C

解析以。为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,

因为正方体的棱长为3,

则43,0,|),Di(0,0,3),

设P(x,y,0)(%三0,y^O),

则独=(3—x,-j,I),PDi=(-x,—y,3).

因为a=%，平面ABCD的一个法向量z=(0,0,1),

所以遮

\PE\-\z\\PDi\-\z\

3

用________2________________3

r(3T-2+”F+9,

整理得f+y2—8x+12=0,

即(X—4)2+y2=4(0WyW2),

则动点p的轨迹为圆的一部分，

所以点P到平面的最小距离为1,

113

所以三棱锥尸一331。体积的最小值是wX]X3X3Xl=1

14.答案BCD

解析如图，建立空间直角坐标系，延长AE与z轴交于点P,

连接PF并延长与y轴交于点M,

则平面a由平面AEF扩展为平面APM.

由此模型可知A错误.

当点口与点Ci重合时，截面是一个边长为小的菱形，该菱形的两条对角线长度

分别从。1=产百百=2小和肝”=2啦,则此时截面的面积为3x24

X272=2^6.

当R为CQ的中点时，平面a截正方体的截面为五边形，B,D正确.

D(0,0,0),A(2,0,0),P(0,0,4),设点M的坐标为(0,t,0)g2,4]),

DA=(2,0,0),AA/=(-2,t,0),戌=(2,0,-4),

则可知点P到直线AM的距离为

SAB4D=^X2X4=4,

设点。到平面a的距离为九

利用等体积法VD-APM=VM-PAD,

1_1

即*iS*/\APM*h3/\PA.D't,

4t4

可得/z——7=3==,则h=I,

4

由」=i一正在上单调递增,

产g[2,4]

所以当Z=4时，取到最大值为24.

故选BCD.

15.答案坐小十|

13

解析依题意，&ACBD=BD=2小，点、S到平面AB