高考数学一轮复习：导数的概念与运算（讲义）（原卷版+解析）

第01讲导数的概念与运算

目录

目录在点P处切线

过点P的切线

公切线

已知切线求参数问题

切线的条数问题

切线平行、垂直、重合问题

最值问题

牛顿迭代法

考点要求考题统计考情分析

(1)了解导数的概念、掌握高考对集合的考查相对稳定，考查内

基本初等函数的导数.容、频率、题型、难度均变化不大.重

(2)通过函数图象，理解导点考查导数的计算、四则运算法则的应

2022年/卷第15题，5分

数的几何意义.用和求切线方程为主.

2021年甲卷第13题，5分

(3)能够用导数公式和导数

2021年/卷第7题，5分

的运算法则求简单函数的导

数，能求简单的复合函数的导

数.

・夯基•必备基础知识梳理

知识点一：导数的概念和几何性质

1、概念

函数f(x)在X=X。处瞬时变化率是lim^=蚂"%+受—2,我们称它为函数y="X)在X=X。

处的导数，记作/'(%)或.

知识点诠释：

①增量Ax可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0.Axf0的意义：Ax与0之间距离要多近有

多近，即|Ax-0|可以小于给定的任意小的正数；

②当Axf0时，Ay在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

竺=/(X。+Ar)一/(Xo)无限接近；

AxAx

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时

刻的瞬间变化率，即/U)=5包=—"+.

-。Ax以一。Ax

2、几何意义

函数y=/(x)在彳=/处的导数尸(不)的几何意义即为函数y=/(x)在点尸(七,%)处的切线的斜率.

3、物理意义

函数s=s(f)在点务处的导数s&)是物体在%时刻的瞬时速度v,即v=s'(t0)；v=v(Z)在点tQ的导数

M4)是物体在t0时刻的瞬时加速度a,即a=M4).

知识点二：导数的运算

1、求导的基本公式

基本初等函数导函数

f(x)=c(c为常数)JV)=o

f(x)=(aeQ)r（x）=办j

/(x)=ax(a>0,aw1)fr(x)=axina

f(x)=log。x(a>0,aw1)

fW-.

xlna

/(尤)=e*尸(x)=e*

/(x)=lnx

f'M=-

X

f(x)=sinxfr(x)=cosx

f(x)=cosxfr(x)=-sinx

2、导数的四则运算法则

（1）函数和差求导法则："（X）±g（x）］'=f\x）+g\x）;

（2）函数积的求导法则："（x）g（x）］=/，（x）g（x）+/（尤）g，（无）；

（3）函数商的求导法则：g（x）wO,则［3］=/（x）gS）.

g（x）g（无）

3、复合函数求导数

复合函数丁=/1g（尤）］的导数和函数y=y（"）,〃=g（x）的导数间关系为=y,'u'：

【解题方法总结】

1、在点的切线方程

切线方程y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）的计算：函数y=/（.x）在点A5,/（%））处的切线方程为

%=/(%)

y-f（x）=f'（x）（x-x）,抓住关键

000k=1国)

2、过点的切线方程

设切点为P（x。，%）,则斜率左=（（尤0）,过切点的切线方程为：＞-%=（（龙0）（尤-尤0）,

又因为切线方程过点〃），所以〃-%=/'（无。）（根-尤0）然后解出/的值.（%有几个值，就有几条

切线）

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.

.提升•必考题型归纳

题型一：导数的定义

【例1】（2023峻国•高三专题练习）已知函数y=/（x）的图象如图所示，函数y=/（x）的导数为y=/'（x）,

则（）

A.f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B./,(3)</\2)</(3)-/(2)

C.r(2)</(3)-/(2)<r(3)D.r(3)</(3)-/(2)<r(2)

【对点训练1】（2023•云南楚雄•高三统考期末）已知某容器的高度为20cm,现在向容器内注入液体，且

容器内液体的高度人（单位：cm）与时间单位：s）的函数关系式为/7=g「+/，当/=%时，液体上升高

度的瞬时变化率为3cm/s,则当”/Q+1时，液体上升高度的瞬时变化率为（）

A.5cm/sB.6cm/sC.8cm/sD.lOcm/s

【对点训练21（2023河北衡水•高三衡水市第二中学期末）已知函数〃尤）的导函数是尸⑺，若r（x0）=2,

mH/（与+1心）-/（%）（）

川lim---------Z-----------------=1）

-Ax

A.1B.1C.2D.4

Ax

【对点训练3】（2023•全国•高三专题练习）若函数“X）在与处可导，且1而”“。+2则

Ar->02Ax

/'（%）=（）

A.1B.-1C.2D.；

【对点训练4】（2023•高三课时练习）若〃x）在％处可导，则/'（不）可以等于（）.

xA

A.lim/（o）-/（o-MB］汕了1+盘）一/。。一盘）

-->oAx-Ax

「/（x+2M_/（xo-Mn/（x+M_/（%o-2M

*•milo•rmilo

AxfOAxAx

【解题方法总结】

对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出.

题型二：求函数的导数

【例2】(2023•全国•高三专题练习)求下列函数的导数.

(l)/(x)=(-2x+l)2；

⑵〃x)=ln(4x-l)；

(3)/(X)=23«2

(4)〃x)=J5x+4；

【对点训练5】(2023•高三课时练习)求下列函数的导数:

(1)y=(3x?+2x+l)cosx；

,一、3x2+x>Jx-5y/x+l

(2)y=----------『----------；

(3)y=xiS+sinx-lnx；

X

(4)y=2cosx-3xlog3x；

(5)y=ysinx-3log3x；

(6)y=excosx+tanx.

【对点训练6】(2023•海南•统考模拟预测)在等比数列｛〃“｝中，%=2,函数

"x)=g_r(x-aJ(x-a2)L(x-%)，则/'(。)=.

【对点训练7】(2023•辽宁大连•育明高中校考一模)已知可导函数〃x),g(x)定义域均为R,对任意x

满足〃x)+2x2gCd=x-l,且"1)=1,求尸⑴+g'&，.

【对点训练8】(2023•河南•高三校联考阶段练习)已知函数“X)的导函数为尸⑺，且='⑴+x+2,

贝Ur(i)=.

【对点训练9】（2023•全国•高三专题练习）已知函数J（x）=r（0）e2,-已，，则/（0）=.

【解题方法总结】

对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题.

题型三：导数的几何意义

方向1,在点尸处切线

【例3】（2023•广东广州•统考模拟预测）曲线y=（2x-以在点（1,1）处的切线方程为.

【对点训练10X2023•全国•高三专题练习）曲线/（x）=ln（尤+2）+；在点（0,〃0））处的切线方程为

【对点训练11］（2023•全国•高三专题练习）已知函数“xxgV+bxZ+cos停xj,-（x）为“尤）的导函

数.若尸⑴的图象关于直线x=l对称，则曲线y=〃x）在点（2,/（2））处的切线方程为

【对点训练12］（2023•湖南•校联考模拟预测）若函数/（"=〃3+（2-2）*（X€2是奇函数，则曲线

、=/（“在点（4〃几））处的切线方程为.

方向2、过点尸的切线

【对点训练13］（2023•江西•校联考模拟预测）己知过原点的直线与曲线y=相切，则该直线的方程是

【对点训练14］（2023•浙江金华•统考模拟预测）已知函数/（x）=V-依+1,过点P（2,0）存在3条直线

与曲线y=/（x）相切，则实数。的取值范围是.

【对点训练15】（2023•浙江绍兴•统考模拟预测）过点，jo］作曲线y=d的切线，写出一条切线方程：

【对点训练16】（2023•海南海口•校联考模拟预测）过x轴上一点尸&0）作曲线C：y=（x+3）e，的切线,

若这样的切线不存在，则整数r的一个可能值为.

【对点训练171（2023•全国•模拟预测）过坐标原点作曲线y=（x+2）e”的切线，则切点的横坐标为

【对点训练18］（2023•广西南宁•南宁三中校考模拟预测）若过点尸（1M）（Q£R）有〃条直线与函数

〃%）=（X-2）^的图象相切，则当〃取最大值时，〃的取值范围为.

【对点训练19］（2023•全国•模拟预测）已知函数/⑺=；/+/，⑴/+1,其导函数为尸⑺，则曲线了⑴

过点尸（3,1）的切线方程为.

方向3、公切线

【对点训练20】（2023•云南保山•统考二模）若函数〃x）=41nx+l与函数8（同=：/一2.。>0）的图象

存在公切线，则实数。的取值范围为（）

1

A.B.—,+00

°43

C.D.11

353

【对点训练21］（2023•宁夏银川•银川一中校考二模）若直线丫=匕（尤+1）-1与曲线y=e，相切,直线

y=&（尤+1）-1与曲线y=Inx相切，则左网的值为.

【对点训练22］（2023•河北邯郸•统考三模）若曲线y=e，与圆（x-a>+y2=2有三条公切线，则。的取值

范围是•

【对点训练23］（2023•湖南长沙•湖南师大附中校考模拟预测）若曲线G"（x）=f+a和曲线

G：g（x）=21nx恰好存在两条公切线，则实数。的取值范围为.

【对点训练24］（2023•江苏南京•南京师大附中校考模拟预测）已知曲线C1：/（x）=/与曲线

x+1

C2:g（x）=«e（fl>0）有且只有一条公切线，则。.

【对点训练25］（2023•福建南平•统考模拟预测）已知曲线y=〃lnx和曲线y=f有唯一公共点，且这两

条曲线在该公共点处有相同的切线I,贝心的方程为.

方向4、已知切线求参数问题

【对点训练26】（2023•江苏•校联考模拟预测）若曲线y=有两条过（e,°）的切线，则。的范围是.

【对点训练27】（2023•山东聊城•统考三模）若直线丁=1+匕与曲线y=e"-依相切，贝”的最大值为

（）

A.0B.1C.2D.e

【对点训练28】（2023•重庆•统考三模）已知直线〃与曲线y=%+0相切，则实数〃=（）

x

143

A.0B.3C.-D.-

252

【对点训练29】（2023•海南•校联考模拟预测）已知偶函数/（%）=（〃-l）f—3桁+c-d-1在点处

的切线方程为无+y+i=o,则一=（）

c-d

A.-1B.0C.1D.2

【对点训练30]（2023•全国•高三专题练习）已知”是曲线丫=缶》+；/+6上的任一点，若曲线在〃点

处的切线的倾斜角均是不小于7T;的锐角，则实数。的取值范围是（）

4

A.[2,-H»）B.C.（-co,2]D.（-oo,-l]

【对点训练3。（2023•全国•高三专题练习）已知相>0,n>0,直线y根+1与曲线y=lnx-〃+2

e

相切，则工+工的最小值是（）

mn

A.16B.12C.8D.4

方向5、切线的条数问题

【对点训练321（2023•河北•高三校联考阶段练习）若过点（九⑶可以作曲线>=log2龙的两条切线，则（）

A.m>log2nB.n>log2mC.<log2nD.n<log2m

【对点训练33】（2023•全国•高三专题练习）若过点（久切可以作曲线y=lnx的两条切线，则（）

A.a<lnbB.b<lnaC.lnZ?<aD.}na<b

【对点训练34]（2023•湖南•校联考二模）若经过点（。力）可以且仅可以作曲线，=1皿的一条切线，则下

列选项正确的是（）

A.a<0B.b=lnaC.a=lnbD.aVO或8=Ina

方向6、切线平行、垂直、重合问题

【对点训练35］（2023•全国•高三专题练习）若函数f（x）=lnx+x与g（x）=H；的图象有一条公共切

无一1

线，且该公共切线与直线y=2x+i平行，则实数加=（）

【对点训练36】（2023•全国•高三专题练习）已知直线》-9广8=0与曲线C:y=/-p/+3丈相交于A,'

且曲线C在A,8处的切线平行，则实数P的值为（）

A.4B.4或-3C.-3或-1D.-3

【对点训练37］（2023•江西抚州•高三金溪一中校考开学考试）已知曲线〃尤）=卜'-1|（尤>-1）在点

4&,/（耳））,3（%"（9»优<々）处的切线44互相垂直，且切线4,4与V轴分别交于点。,石，记点E的纵

坐标与点。的纵坐标之差为乙则（）

2

A.—2<Z<0B.2—2e</<0

e

2

C.t<—2D.Z>2e—2

e

【对点训练38】（2023•全国•高三专题练习）若函数/（x）=«x+sin龙的图象上存在两条相互垂直的切线,

则实数。的值是（）

A.2B.1C.0D.-1

【对点训练39］（2023•上海闵行•高三上海市七宝中学校考期末）若函数y=/（x）的图像上存在两个不同

的点P,。，使得在这两点处的切线重合，则称/（x）为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的

为（）

A.y=x4-x2+1B.y=sinx

C.y=x+cosxD.y=x2+sinx

【对点训练40】（2023•全国•高三专题练习）已知A,8是函数〃x）=图象上不同的两

Ixmx-a,x>0

点，若函数y=〃x）在点A、8处的切线重合，则实数。的取值范围是（）

A.卜°°,不]B.--,+oojC.(0,+oo)D.-,+℃j

方向7、最值问题

【对点训练41】(2023•全国•高三专题练习)设点P在曲线y=ez上，点。在曲线y=-l+lnx上，贝

最小值为()

A.72B.20

C.A/2(1+Z«2)D.JI(1一例2)

【对点训练42](2023•全国•高三专题练习)设点尸在曲线y=e2,上，点。在曲线y=；lnx上，则|尸。|的

最小值为()

A.争1一ln2)B.72(1-In2)

C.72(1+In2)D.^-(1+ln2)

【对点训练43】(2023•全国•高三专题练习)设点尸在曲线y=2e£上，点。在曲线y=lnx-ln2上，则|PQ|

的最小值为()

A.l-ln2B.72(1-In2)

C.2(1+In2)D,V2(l+ln2)

【对点训练44](2023•全国•高三专题练习)已知实数。，b,C,〃满足|ln(a-l)-b|+|c-d+2|=0,则

(a-c)2+(6-d)2的最小值为()

A.272B.8C.4D.16

【对点训练45】(2023•全国•高三专题练习)设函数/(x)=a-a)2+4(lnx-a)2,其中x>0,aeR.若存在

正数与，使得八％工[成立，则实数〃的值是()

A.-B.—C.-D.1

552

【对点训练46](2023•宁夏银川•银川二中校考一模)已知实数彳4满足2/-51nx-y=0,meR,则

y/x1+y2—2mx+2my+2m2的最小值为()

9B.还V2

A.rD.

2222-

【对点训练47】（2023•四川成都•川大附中校考二模）若点。是曲线y=lnx-/上任意一点，则点尸到直

线/：无+y_4=0距离的最小值为（）

A.丰B.&C.2夜D.4A/2

方向8、牛顿迭代法

【对点训练481（2023•湖北咸宁•校考模拟预测）英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方

法一Newton-Raphsonmethod译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设厂是/（尤）=。的根，选取％作为r的初始近似

值，过点（%,/（%））做曲线y=的切线/：y-八％）=八%）（%7。），贝卜与九轴交点的横坐标为

士=%-需斗（尸（%）*°），称%是「的一次近似值；重复以上过程，得『的近似值序列，其中

J）

称％是『的”+1次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点

大小，则函数〃x）=hx+x-3的零点一次近似值为（）（精确到小数点后3位，参考数据：ln2=0.693）

A.2.207B.2.208C.2.205D.2.204

【对点训练49】（多选题）（2023•安徽芜湖•统考模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数

方程根的一种解法.具体步骤如下：设『是函数＞=/（"的一个零点，任意选取』作为「的初始近似值，过点

&/（%））作曲线y=“X）的切线4，设4与X轴交点的横坐标为耳，并称不为『的1次近似值;过点（X"（不））

作曲线y=/（x）的切线4,设4与X轴交点的横坐标为巧，称演为『的2次近似值.一般地，过点卜工心））

（〃eN*）作曲线y=/（x）的切线/向，记心与X轴交点的横坐标为尤用，并称X用为『的”+1次近似值.对于

方程彳3_尤+1=0,记方程的根为乙取初始近似值为%=-1,下列说法正确的是（）

A.re（-2,-1）B.切线4：23x-4y+31=0

【对点训练50】（多选题）（2023•全国•模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一

种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点飞,如图，在x=x°处作/•（“图象的切线，切线与x轴的交点

横坐标记作4：用占替代为重复上面的过程可得演；一直继续下去，可得到一系列的数%,占，巧，…，

…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当三一x"（〃eN*）近似值相等时，该值即作为函数/（X）的一

个零点『.若要求正的近似值r（精确到0.1）,我们可以先构造函数〃力=丁-6,再用“牛顿法”求得零点的

近似值乙即为正的近似值，则下列说法正确的是（）

22

B.若Xo^Q，且毛。。，则对任意〃cN*,Xn=~Xn-\+~r~

JXn-\

C.当X。=2时，需要作2条切线即可确定『的值

D.无论与在（2,3）上取任何有理数都有r=1.8

【对点训练511（2023•全国•高三专题练习）牛顿迭代法（NewtoHsmethod）又称牛顿-拉夫逊方法（Newton—

Raphsonmethod）,是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设厂是〃力二0的根，选取与作

为「初始近似值，过点（X。,/（%））作曲线y=f（x）的切线/,/与X轴的交点的横坐标％=X。-点^

（尸（无。片0）,称王是厂的一次近似值，过点（外,〃M））作曲线产/＞（X）的切线，则该切线与x轴的交点的横

坐标为马，称％是『的二次近似值.重复以上过程，直到「的近似值足够小，即把当作为f（x）=O的近似解.设

天，/，X3,L,%构成数列｛七｝.对于下列结论：

X

=n-\/(Vi)(M>2)；

"%)〃x,).

/'(%)/'(工2)/'(%)'

Xn=x/(元2)

®'~4^\(n>2).

J㈤/'(%)

其中正确结论的序号为

【解题方法总结】

函数y=/（X）在点/处的导数，就是曲线>=/（无）在点尸（%,/（%））处的切线的斜率.这里要注意曲线

在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.（1）已知/（无）在点（/"（无。））处的切线方程为

丁-%=/'（%0）（%-X0）•（2）若求曲线y=/（%）过点（〃,。）的切线方程，应先设切点坐标为（/JO。）），由

丁-%=/'（%0）（%-％0）过点（〃力），求得与的值，从而求得切线方程•另外，要注意切点既在曲线上又在切线

上.

1.（2021.全国.统考高考真题）若过点（。力）可以作曲线y=e、的两条切线，则（）

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

2.（2020•全国•统考高考真题）若直线/与曲线y=&和尤2+y=g都相切，贝心的方程为（）

A.y=2x+lB.y=2x+^-C.y=gx+lD.y=^-x+—

3.（2020.全国.统考高考真题）函数/（%）=/_2/的图像在点（1,/⑴）处的切线方程为（）

A.y=-2x-lB.y=-2x+l

C.y=2x-3D.y=2x+l

第01讲导数的概念与运算

目录

一导数的概念和几何性质

夯基•必备基础知识梳理

-导数的运算

题型一：导数的定义

题型二：求函数的导数

目录在点P处切线

提升•必考题型突破

过点P的切线

公切线

已知切线求参数问题

题型三：导数的几何意义

切线的条数问题

切线平行、垂直、重合问题

最值问题

牛顿迭代法

真题感悟

考点要求考题统计考情分析

(1)了解导数的概念、高考对集合的考查相对稳定，考

掌握基本初等函数的导查内容、频率、题型、难度均变

数.化不大.重点考查导数的计算、

(2)通过函数图象，理2022年/卷第15题，5分四则运算法则的应用和求切线方

解导数的几何意义.2021年甲卷第13题，5分程为主.

(3)能够用导数公式和2021年/卷第7题，5分

导数的运算法则求简单

函数的导数，能求简单的

复合函数的导数.

・夯基•必备基础知识梳理

知识点一：导数的概念和几何性质

1、概念

x

函数/(尤)在x=处瞬时变化率是lim=lim/(o+Ar)-f(xo),我们称它为函数

小AxAx

y=/(x)在尤=不处的导数，记作了'(尤0)或.

知识点诠释：

①增量Ax可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0.Axf0的意义：Ax与0之间

距离要多近有

多近，即|Ax-0|可以小于给定的任意小的正数；

②当AxfO时，Ay在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在

一个常数与

电=/(Xo+Ax)-。5)无限接近；

AxAx

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是

位移在这一时

/(Xo+Ar)/(o)

刻的瞬间变化率，即f'(.x0)=lim"=lim-^.

"、U/A“sA一一AvSA一一

2、几何意义

函数y=/(x)在尤=不处的导数((%)的几何意义即为函数y=/(x)在点P(%,%)处

的切线的斜率.

3、物理意义

函数s=s(f)在点t0处的导数S&)是物体在4时刻的瞬时速度V，即v=s'(t0)；V=v(t)在

点九的导数丫'(幻是物体在/(,时刻的瞬时加速度。，即a=v'(r0).

知识点二：导数的运算

1、求导的基本公式

基本初等函数导函数

f(x)=c(c为常数)f'(x)=O

f(x)=xa(aeQ)/'(x)=axa~x

/(x)=a"(a>0,aw1)/'(x)=axIna

/(x)=logax(a>0,aw1)尸(无)=--

xlna

f(x)=ex广(x)=，

/(x)=lnx

/(w=-

f(x)=sinxfr(x)=cosx

f(x)=cosX/\x)=-sinx

2、导数的四则运算法则

(1)函数和差求导法则：[/(X)±g(x)]'=f'(x)+g'(x);

(2)函数积的求导法则："(x)g(x)]'=广(x)g(x)+/(x)g，(x)；

(3)函数商的求导法则：g(x)wO,则[幺砂]=­(x)g(x)-/(x)g'(x).

g(x)g(尤)

3、复合函数求导数

复合函数y=/[g(x)]的导数和函数>=/(〃)，〃=g(x)的导数间关系为y*=y„ux：

【解题方法总结】

1、在点的切线方程

切线方程的计算：函数y=/(x)在点A5,/(%))处的切线方

程为了-/(>0)=/'(>0)食-龙0)，抓住关键.

[k=f(x0)

2、过点的切线方程

z

设切点为尸（不，为）,则斜率左=/'（%o）,过切点的切线方程为：y-y0=/（x0）（x-x0）,

又因为切线方程过点ri）,所以〃-%=/（%0）（根-%0）然后解出冗o的值.（/有几

个值，就有几条切线）

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.

一提升•必考题型归纳

题型一：导数的定义

【例1】（2023•全国•高三专题练习）已知函数y=/（x）的图象如图所示，函数y=/（x）的

导数为y=/'"）,则（）

B.r(3)<r(2)</(3)-/(2)

C./,(2)</(3)-/(2)</,(3^D.r(3)</(3)-/(2)<r(2)

【答案】D

【解析】由图象可知/（3）＜*3）一/（2）＜以2）,

2—1

即/（3）＜/（3）7（2）＜”2）.

故选：D

【对点训练1】（2023•云南楚雄-高三统考期末）已知某容器的高度为20cm,现在向容器

内注入液体,且容器内液体的高度双单位:cm）与时间/（单位:s）的函数关系式为h=：/+/,

当公。时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s,则当方=%+1时，液体上升高度的瞬时变

化率为（）

A.5cm/sB.6cm/sC.8cm/sD.lOcm/s

【答案】C

【解析】由介=gp+/，求导得：万，=产+2l

当f=/（）时，h'=+2/0=3,解得fo=la（）=-3舍去）.

故当f=%+1=2时，液体上升高度的瞬时变化率为22+2x2=8cm/s.

故选：C

【对点训练2】(2023•河北衡水•高三衡水市第二中学期末)已知函数/(X)的导函数是((%),

若/(%)=2,则/(Xo+；Ax)-/(%)_()

11m—

—一°Ax

A.1B.1C.2D.4

【答案】B

【解析】因为/'(x0)=2

/(x0+^-Ax)-/(x0)[/(x0+^Ax)-f(x0).

所以lim-------------------------=—lim------2----------=-尸(无。)=1

以一°Ax2摄一°

—Ax

2

故选：B

【对点训练3】(2023•全国•高三专题练习)若函数在与处可导，且

i.mf(x0+2Ar)-f(x0)=b则/，(%)=()

2Axv7

A.1B.-1C.2D.1

【答案】A

【解析】由导数定义可得lim“％+23-〃％)=/,(),

D2Axv7

所以/'(x°)=l.

故选：A.

【对点训练4】(2023•高三课时练习)若“X)在不处可导，则/'(%)可以等于().

x

A.lim/(o)-/U-MB1汕/伉+醺)一/(/一小)

心-°Ax-°Ax

CUM“XO+ZAXAAXO-AX)口lim〃Xo+Ax)-〃Xo-2Ax)

Ar->0Axkf。Ax

【答案】A

由导数定义r(.)=业外/+弋-J*。),

【解析】

小户/"-…),人满足；

对于A,

Ax-ox0-(x0-Ax)—。Ax

〃Xo+Ax)-Ar)〃—+―)-/伉—一)

对于

B,/(一…。(x0+Ax)-(x0-Ax)-。。2Ar，

r(x0)=-lim小。+")一/伍3),B不满足；

''"2』。Ax

7•(■Xo+2Ar)-/(Xo-Ax)

对于C,尸小）=蚂弋;黑二“40=蚂

3Ax

r（x。）.蚂△&+2旬〃&"C不满足;

Ax

/(尤0+")-〃/-2〃)二./(尤0+")一/($-2&)

对于D,/，(^o)=lim

'/Ax-»O

(x0+Ar)-(x0-2z\x)LO3Ax

;伉）三蚂)(.%+-)-/伍-2心),D不满足.

Ax

故选：A.

【解题方法总结】

对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接

写出.

题型二：求函数的导数

【例2】（2023•全国•高三专题练习）求下列函数的导数.

（D/（x）=（-2x+l）2；

⑵f(x)=ln(4x—l)；

(3)/(X)=23-2

(4)〃x)=J5X+4；

【解析】(1)因为〃尤)=(一2x+iy=4f-4x+l,所以尸(x)=8x—4.

(2)因为/(x)=ln(4x—1),所以广(无)=了*.

(3)因为〃x)=23A2,所以广(x)=3x23，+21n2

(4)因为/(司=后*,所以/'(X)=L=£M

【对点训练5】(2023•高三课时练习)求下列函数的导数：

(1)y+2x+l)cosx；

2

小、3x+%Vx—5A/X+1

(2)尸--------7=----------；

7x

(3)y=工18+sin%-In%；

x

(4)y=2cosx-3xlog3x；

(5)y=ysinx-3log3x；

(6)y=excosx+tan%.

【解析】(1)yr=(3x2+2x+1)cosx+(3—+2%+1).(cosx)'

=(6x+2)cosx-(3x2+2x+l