建平中学自招真题解析

1、建平中学自招真题1. 进制是人们规定的一种进位方法计算机中常用十六进制是逢16 进 1 的计数制，而十五进制是 15为基数进位的计数制，该数制很少使用，但在度量衡中，我国的就面积单位却与国际公制面积单位存在着十五进制关系，现采用数字09和字母 AE共 15个计数符号，这些符号与十进制的数对应关系如下表：15进制0123456789ABCDE10 进制01234567891011121314例如，用十五进制表示：5 9E，3 D11， ED1C，则 AC【答案】80 【解析】在十进制下，A10, C12，故 AC10 12120将 120 从十进制转换为15进制可得结果为80 2. 如果 x 1

2、x 4x 的值是1 成立，那么满足它的所有整数【答案】 2,4 【解析】若 x 1x 41 1或 x 40且 x1 0 因此 x2 或 x 4 1，则 x3. 设实数 x 、 y 分别满足 99x22019 x 1 0 、 y22019 y99 0 ，并且 xy1 ，则xy10 x 1y【答案】200999【解析】 由题意得 y0，所以12019990 ，于是 x, 1都是方程 99t22019t 1 0yy2y的根 因为 xy1，所以 x1，即 x, 1 为该方程两个不同的实根yy因此， xy10 x1x110 x1，由韦达定理 x12019， x11，yyyy99y99所以 x110 x1

3、2019102009yy999999142621394.计算：14262139【答案】 26523713232332265 【解析】原式2323713建平中学社团活动丰富多彩，有JTV 社（金苹果电视台） 、04 辩论社、智能机器人社、健美操社，在一次社团文化节上，中国象棋社开展了社员PK 活动，每个选手和其他选手比赛一局，每局赢者得2 分，输者得 0 分，平各记 1 分，现有四位同学统计了比赛中全部选手得分总数，总分分别是1054 、 1056、 1060、 1066，经核实，上述四位同学只有一位同学统计正确，则这次比赛中有名选手参加比赛【答案】 33 x x1【解析】设中国象棋社有x 名选

4、手参赛，则共开展了场比赛2由于每场比赛不论胜负或平局，两个参赛选手的得分总和均增加2 ，x x1所以最后的得分总数为2 x x1 2因此， x x 11054,1056,1060,1066中的一个验证可知只有x x 11056 有整数解 x33，因此共有33 名选手参赛6.二次函数 yx22axa 在 0 x 3 上有最小值2 ，则 a 的值为【答案】2或 2【解析】二次函数yx22axa 在 0 x 3上的最小值在 x0 或 x3 或 xa 时取到，分别对应 a 0, a3, 0a3的情况若 x0时取最小值，则a2符合条件；若 x3时取最小值，则a2.2不符合条件 ；若 xa 时取最小值，则

5、aa22 ，解得 a2,1，其中 a2符合条件因此a2或 27.已知实数 x 满足 x1x47 ，则 x 的值是【答案】2或 5【解析】根据原式中绝对值函数的分段点进行分情况讨论若 x1，则1x4x7x2 ，符合条件；若 1x4 ，则x14x7，无解；若 x4 ，则 x1x47x5，符合条件；因此 x2 或58. 已知ABC 中，满足115， AB10 ，则 ACBCtan Atan Btan C222【答案】 14 【解析】设ABC 三边分别为 a, b, c ，且内切圆半径为r ，则 tan Abra， 于是 bcaa cb5 a bc，2c2r2r2r2化简得7c5 ab 因为 c10

6、，所以 ab14 9. 有一张矩形纸片ABCD ，其中 AD6 ，上面有一个以AD 为直径的半圆， 正好与对边 BC相切，如图（甲） ，将它沿着 DE 折叠，使 A 点落在 BC 上，如图（乙） ，这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是ADDEBCBAC甲乙【答案】 1293【解析】由题意AD2AB12 因为 AD12, CD6 ，故DAC30 ，因此阴影部分弓形的圆心角为2CDA120 于是这个弓形的面积为S扇形S三角形62120166 sin1201293 360210.如图边长为5 的圆内接正方形ABCD 中，P 为 CD 的中点，连接 AP 并延长交圆与点E ，则 DE 的长为

7、【答案】10 AD【解析】设正方形中心为O ，则OAB 为等腰直角三角形，且正方形外接圆半径为OA252PAB22根据弦长公式DE2R sinDAE ，又5BCDPDP5 ，sinDAE2APAD 2DP 2522552所以 DE252510 2511.如图，在梯型ABCD 中， AB / CD ， AC 、 BD 相交于点 O ，若 AC6， BD8 ，中位线长为 5，AOB 的面积为 S1，COD 的面积为 S2，则S1S2【答案】 26 AB【解析】因为AB/CD，S1O所以 AOCOAC3S2OBODBD4因为中位线长为 5 ，所以 ABCD25 10，D于是 AO:BO:AB CO:

8、 DO:CDAC:BD: ABCD6:8:10，从而 AO2BO 2AB 2AOBO 设AOx, OC1x ，则 S1AO OB24x2 , S2CO DOACxAC24 1，所以222S1S224x224 1x226 12. 如图，梯形 ABCD 的面积为 43cm2， AEBF ， CE 与 DF 相交于 O ， COD 的面积为16cm2 ，则阴影部分面积是AD【答案】 11cm2 【解析】由题意S AEDS ADFS BCES BCFEOAEAFBEBFFS ABDS ABDS BCDSBCDABABABABBECC因为AEBF，所以上式SABDS BCDSABCD 另一方面，S AE

9、DSADFS BCESBCF2S ADE2S BCF2S OEFS EODS FOC2SABCD2S CODS EODS FOC，所以代入数据得432432 16S阴影 ，故 S阴影433211 （ cm2 ）每年“五一节”前三天，建平中学组织高一年级学生开展“南京社会实践考查”活动，其中在第二天生存体验活动中， 有三个班级购买“野生生存训练营”的门票门票规定如下，个人票：每人 20 元；团体票（满 30 人）：每人 18 元，另每 30人优惠 1 人免票（不足 30 人的余数不优惠） 若高一（ 1）（ 2）合起来作为一个团体购票，应购门票 1476元，若高一（ 2）（ 3）班合起来作为一个团

10、体购票，应购门票 1566 元，若高一 （ 1）（ 3）合起来作为一个团体购票，应购门票1494 元，求三个班级各有多少人？【答案】 30,34,35 【解析】由于 1476,1566,1494 都不是 20 的倍数，所以三种情况都买了团体票，即每人18 元147662 张票，可知高一 （ 1）（ 2）班总人数超过60 且不到 90 ，高一（ 1）（ 2）班共买了18所以免了两张票，于是高一（1）（ 2）共 64人同理可得高一（ 2）（ 2）共 69 人，高一（ 1）（ 3）共 65人xy64x30因此设高一（ 1），（2），（ 3）班各有 x, y, z 人可列方程组 yz69 ，解得y34

11、 zx65z35因此高一（ 1），（ 2），（ 3）班各有 30,34,35人14.如图，在平面直角坐标系中，点 A 4,0 ，以 OA 为直径在第一象限作半圆 C ，点 B 是该半圆周上一动点， 连结 OB 、yAB ，并延长 AB 至点 D ，使 DB AB ，过点 D 作 x 轴垂D线，分别交 x 轴、直线 OB 于点 E 、 F ，点 E 为垂足，连B结CF F（ 1）当 AOB 40 时，求弧 AB 的长度；（ 2）当 DE 3 时，求线段 EF 的长；OCEAx（ 3）在点 B 运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与AOB 相似，若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在

12、，请说明理由【答案】（ 1） 8；（ 2）4 77 ；（3） 117,0或 117,0 或4,0 或1,093223【解析】（ 1）由于AOB 是圆周角，所以AB 所对的圆周角为2AOB80因此弧长为 AB2 r8083609AB 所以 B 的纵坐标为 3 （2）若 DE3，则 D 的纵坐标为3 因为 BD2由于 B 在半圆上，所以B 27 , 3，而 D7,3 于是E7,022直线 OB 的解析式为 y47 x ，而直线 DE 为 x7 ，3所以 F 是两直线的交点，坐标为7,477，即 EF47733（3）设 B 22cos,2sin, D4cos,4sin，则 E4cos,0 ，直线 O

13、B 解析式为 ytan x 所以F4cos,4costan22由于FCE ,OAB 都是直角三角形，所以E, B 是对应点若两个三角形相似则CEEFtanEFtan 或2CE2当60 ， E 在C右侧，所以 CE4cos2， EF4costan2易见 EF CE tan无解，而 CEEF tan利用 cos1tan22 可得221tan22tan2517，其中 060 ，24所以只可能 tan 22517，而 E 的坐标为441tan2171,04cos,02,01tan222当 6090时， E 在 C 左侧， F 在 x 轴上方，故EF4costan, CE24cos 若EFCE tan则 4cos24cos ，122即 cos， E1,0 ，经检