2024-2025学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1等式性质与不等式性质一课一练含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE6其次章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质考点1不等关系的建立1.(2024·安徽宿州十三所重点中学高一期中)完成一项装修工程,请木工共需付工资每人400元,请瓦工共需付工资每人500元,现有工人工资预算不超过20000元。设木工x人,瓦工y人,则工人满意的关系式是()。A.4x+5y≤200 B.4x+5y<200C.5x+4y≤200 D.5x+4y<200答案：A解析：由题意,可得400x+500y≤20000,化简得4x+5y≤200。故选A。2.有一家三口的年龄之和为65岁,设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x,y,z,则下列选项中能反映x,y,z关系的是()。A.x+y+z=65 B.xC.x+y+答案：C解析：由题意得x+y+z=65,x>z>0,y>z>0,x,y,z∈N*。故选C。3.△ABC的三边长分别为a,b,1,则a,b满意的不等关系是。

答案：a+解析：由三边长的关系得a+b>1,b+1>a,且a+1>b。4.有粮食和石油两种物资,可用轮船与飞机两种方式运输,每天每艘轮船和每架飞机的运输量如下表:轮船运输量/t飞机运输量/t粮食300150石油250100现在要在一天内至少运输2000t粮食和1500t石油。写出支配轮船艘数和飞机架数所满意的全部不等关系的不等式组。答案：解:设需支配x艘轮船和y架飞机,则300x+150考点2不等式的性质5.(2024·陕西西安铁一中高一下学期期中)若a,b,c为实数,则下列命题错误的是()。A.若ac2>bc2,则a>bB.若a<b<0,则a2<b2C.若a>b>0,则1a<D.若a<b<0,c>d>0,则ac<bd答案：B解析：对于A,若ac2>bc2,则a>b,故正确;对于B,依据不等式的性质,若a<b<0,则a2>b2,故错误;对于C,若a>b>0,则aab>bab,即1b>1a,故正确;对于D,若a<b<0,c>d>0,则ac<bd6.(2024·安徽安庆高一期末)已知a,b,c满意c<b<a,且ac<0,那么下列不等式肯定成立的是()。A.ab>ac B.c(b-a)<0C.cb2<ab2 D.ac(a-c)>0答案：A解析：c<b<a,且ac<0,则a>0,c<0。设a=2,b=0,c=-1,解除B,C,D。故选A。7.已知a<b<|a|,则以下不等式中恒成立的是()。A.|b|<-a B.ab>0C.ab<0 D.|a|<|b|答案：A解析：由条件a<b<|a|,知a<0。∴|a|=-a,∴a<b<-a。∴|b|<|a|=-a。故A正确。8.已知a,b,c,d∈R,则下列命题中必成立的是()。A.若a>b,c>b,则a>cB.若a>-b,则c-a<c+bC.若a>b,c<d,则ac>D.若a2>b2,则-a<-b答案：B解析：选项A,若a=4,b=2,c=5,明显不成立;选项C不满意倒数不等式的条件,若a>b>0,c<0<d时,不成立;选项D只有a>b≥0时才成立,如当a=-1,b=0时,不成立,故选B。9.(2024·山西怀仁第一中学、应县第一中学高一期末)已知a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是()。A.若a>b,则ac2>bc2B.若ac>bc,则aC.若a3>b3且ab<0,则1a>D.若a2>b2且ab>0,则1a<答案：C解析：A中,当c=0时,ac2>bc2不成立,故A错误;B中,当c<0时,a<b,故B错误;C中,若a3>b3,ab<0,则a>0>b,∴1a>1b,故CD中,当a<0,b<0时,1a<1b不成立,故考点3比较大小10.(2024·湖北宜昌第一中学高一期末)已知-1<a<0,那么-a,-a3,a2的大小关系是()。A.a2>-a3>-a B.-a>a2>-a3C.-a3>-a>a2 D.a2>-a>-a3答案：B解析：∵-1<a<0,∴1+a>0,0<-a<1,∴-a-a2=-a(1+a)>0,a2-(-a3)=a2(1+a)>0,∴-a>a2>-a3。故选B。11.已知a1,a2∈(0,1)。记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是()。A.M<N B.M>N C.M=N D.不确定答案：B解析：方法一:∵M-N=a1a2-a1-a2+1=(1-a1)(1-a2)>0,∴M>N,故选B。方法二:特别值法。取a1=a2=12∈(0,1),则M=14,N∴M>N。12.若x>1>y,则下列不等式不肯定成立的是()。A.x-1>1-y B.x-1>y-1C.x-y>1-y D.1-x>y-x答案：A解析：特别值法。令x=2,y=-1,则x-1=2-1<1-(-1)=1-y,故选A。13.(2024·天津高二期末)若a=4,b=2+7,c=3+6,则a,b,c的大小关系为()。A.c>b>a B.a>c>bC.c>a>b D.b>a>c答案：A解析：∵a,b,c均为正数,且a2=16=9+2494,b2=9+214,c2=9+218,∴c2>b2>a2,∴c>b>a。故选A14.已知a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是()。A.a2>a>-a2>-a B.-a>a2>-a2>aC.-a>a2>a>-a2 D.a2>-a>a>-a2答案：B解析：方法一:∵a2+a<0,∴0<a2<-a,∴0>-a2>a,∴a<-a2<a2<-a,故选B。方法二:可取特别值检验,∵a2+a<0,∴a∈(-1,0)。令a=-12,则a2=14,-a2=-14,-a=12,∴12>14>-14>-12,即-a>a2>-【归纳总结】作差比较中常用的变形手段有:通分、因式分解、配方等。比较含参数的量的大小时,若不能确定差的符号,可对参数进行分类探讨。考点4利用不等式的性质求取值范围15.若角α,β满意-π2<α<π2,-π2<β<π2,则2α+β的取值范围是A.(-π,0) B.(-π,π)C.-3π2,答案：D解析：∵角α,β满意-π2<α<π2,-π2<β∴-π<2α<π,∴-3π2<2α+β<3π2,故选16.已知12<a<60,15<b<36,则a-b的取值范围为,ab的取值范围为答案：(-24,45)1解析：由15<b<36得-36<-b<-15。又因为12<a<60,所以-24<a-b<45。由15<b<36得136<1b<115。又因为12<a<60,所以13<ab<4。所以a-b,考点5等式性质与不等式性质的综合问题17.某校对高一美术生划定录用分数线,专业成果x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成果z超过45分,用不等式组表示为()。A.x≥95,yC.x>95,答案：D解析：题中x不低于95,即x≥95;y高于380,即y>380;z超过45,即z>45。18.若a>b>0,则下列不等式中恒成立的是()。A.ba>b+1a+1 B.a+1C.a+1b>b+1a D.2答案：C解析：方法一:a>b>0⇒0<1a<1b⇒a+1b>b+1a方法二(特值法):令a=2,b=1,解除A,D;再令a=12,b=13,解除19.(2024·四川雅安高一期末)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数,其值通常在(0,1)之间,设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新手机,则该手机的“屏占比”和升级前比的改变是()。A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小C.“屏占比”变大 D.改变不确定答案：C解析：设升级前为ba,升级后“屏占比”为b+ma+m(a>b>0,m>0)。∵b+ma20.(2024·河南郑州八校高二下学期期中联考)若aa+bb>ab+ba,则a,b必需满意的条件是()。A.a>b>0 B.a<b<0C.a>b D.a≥0,b≥0,且a≠b答案：D解析：aa+bb-(ab+ba)=(a-b)(a-b)=(a+b)·(a-b)2。又aa+bb>ab+ba,则a,b必需满意的条件是a,b≥0,且a≠b。故选D。21.已知m=a-a-2,n=a-1-a-3,其中a≥3,则m,A.m>n B.m=nC.m<n D.大小不确定答案：C解析：m-n=(a-a-2)-(a-1-a-3)=2a+a-22.(2024·安徽六安第一中学高一期末)已知α,β满意-1≤α+β≤1,1≤α+2A.[1,7] B.[-5,13]C.[-5,7] D.[1,13]答案：A解析：设α+3β=λ(α+β)+v(α+2β)=(λ+v)α+(λ+2v)β。比较α,β的系数,得λ+v由题得-1≤-α-β≤1,2≤2α+4β≤6,两式相加,得1≤α+3β≤7。故α+3β的取值范围是[1,7]。故选A。23.(2024·重庆开州区高一期末)已知a>b>c,下列不等关系肯定成立的是()。A.ac+b2>ab+bc B.ab+bc>b2+acC.ac+bc>c2+ab D.a2+bc>b2+ab答案：B解析：对于A,若ac+b2>ab+bc,则ac-bc>ab-b2,c(a-b)>b(a-b),不成立;对于C,若ac+bc>c2+ab,则ac-c2>ab-bc,c(a-c)>b(a-c),不成立;对于D;若a2+bc>b2+ab,则a2-ab>b2-bc,a(a-b)>b(b-c),若a=4,b=3,c=1,不成立。故选B。24.设实数x,y满意0<xy<1且0<x+y<1+xy,那么x,y的取值范围是()。A.x>1且y>1 B.0<x<1且y<1C.0<x<1且0<y<1 D.x>1且0<y