2024-2025学年湖北省孝感市新高考联考协作体高二（上）起点数学试卷+答案解析

2024-2025学年湖北省孝感市新高考联考协作体高二（上）起点数学试

卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.孝感市某高中有学生1200人，其中高一年级有学生400人，高二年级有学生600人，现采用分层随机抽

样的方法抽取120人进行问卷调查，则被抽到的高二年级学生人数比高一年级学生人数多（）

A.20B.30C.40D.50

2.已知复数z满足：（1+21”=3-44,则复数£的虚部为（）

A.2ZB.-2C.2D.-2i

3.已知N=（2,0）,了=（2,2）,则方在了上的投影向量为（）

A.(A/2,1)B.(1,1)C.(2,1)D.(2,2)

7T

4.已知圆锥的侧面积为2江，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为a的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（）

5.掷两枚质地均匀的骰子，设4="第一枚出现小于4的点'；B="第二枚出现大于3的点”,则N与

2的关系为（）

A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等

6.若三棱锥P-43。的三个侧面与底面/3C所成角都相等,则顶点尸在底面的射影为△48。的（）

A.外心B.重心C.内心D.垂心

7.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱4BCD-AiBjCiA，底面ABC。BiX,

则向量/5二二一生〃

是正方形，CCi=3,CD=3,且NGCB=NGCD=60°,

的模长为（）

A.v/29

B.34

CD

C.52

D.3^5

8.已知单位向量定,可满足0—币+2盗过.万=0，则他讶+27|（力WR）的最小值为（）

A.逛B.\/3C.D.遛

332

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.关于向量方，了，下列命题中正确的是（）

A.若同=|阴，则戈=了B.若丁=—了，则鬲/了

C.若同>\~b\，则方〉了D.若/=了,了=工，则才=苒

10.如图，正方体48。0-小昌。1。1的棱长为1,点尸在线段。1。1上运动,

则下列选项中正确的是（）

A.4P的最小值为核

B.平面BBiPL平面小耳。山1

C.若尸是的中点，则二面角P-B.B-G的余弦值为壁

5

D.若。F=1则直线31P与所成角的余弦值为选

45

11.在一种数字通讯中，信号是由数字0和1的序列组成的.在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.

发送0时，收到1的概率为a（0<«<1）,收到0的概率为1—a；发送1时，收到0的概率为0（0</?<1）,

收到1的概率为1-。.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次

传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码;

三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,1,0,则译码为1）,下列说法正

确的是（）

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为（1-a）（l-。）2

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为步（1—⑶

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为0（1—0）2+（1—0）3

D.当0<a<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概

率

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知a为实数，若复数z=—3a—4）+（a—4），为纯虚数，则复数a—就在复平面内对应的点位于第

______象限.

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13.三棱锥。—48。中，平面A8C,AB1BC>DA=AB=BC=V2,则该三棱锥的外接

球体积等于.

7T

14.在△AB。中，A=-,就.豆？=3。［.屈，则△ABC中最小角的余弦值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

如图，在直三棱柱48。—中，AB=AC=5,BB\=BC=6,D,£分别是44i和31c的中点.

(1)求证:平面BOGS；

(2)求三棱锥E-BCD的体积.

16.(本小题15分)

已知同=2,E=4,I才+引=27^.

(1)若(2方—心了)胃+2了)，求实数后的值；

⑵求才与3力+6~b的夹角的余弦值.

17.(本小题15分)

在△43。中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=a(l+2cosB).

,、7T

(1)若8=可，求角C的大小；

o

(2)若△AB。为锐角三角形，求。的取值范围.

a

18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P—4BCD中，平面/BCD,E为尸。的中点，AD//BC,ABAD=90°，

PA=AB=BC=1,AD=2.

(1)求证：CE〃平面P/b

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(2)求证：平面p4cL平面尸DC；

⑶求直线EC与平面尸/C所成角的正弦值.

19.(本小题17分)

/校和8校是孝感市两所著名的高中，为了相互学习和交流，现随机抽取2000名/校学生和2000名8校

学生参加一场知识问答竞赛，得到的竞赛成绩全部位于区间性0,100)中，现分别对两校学生的成绩作统计

分析：对N校学生的成绩经分析后发现，可将其分成组距为10,组数为6,作频率分布直方图，且频率分

布直方图中的y(y=票)满足函数关系y=晨:鼠⑺为组数序号，说孙关于B

频率

校学生成绩的频率分布直方图如图所示(纵轴为假定每组组内数据都是均匀分布的.

W1

(1)求左的值;

(2)若3校准备给前100名的学生奖励，应该奖励多少分以上的学生？

(3)现在设置一个标准f来判定某一学生是属于/校还是2校，将成绩小于f的学生判为2校，大于f的学

生判为/校，将/校学生误判为2校学生的概率称为误判率N,将8校学生误判为4校学生的概率称为误

判率3,误判率/与误判率8之和称作总误判率，记为/(块若力e[50,70),求总误判率/㈤的最小值，以及

此时t的值.

口得分

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：用分层随机抽样的方法抽取120人进行问卷调查，

19A19f)

则被抽到的高二年级学生人数为600x急=60,被抽到的高一年级学生人数为40x炭=40,

JLNUUJ_ZUU

故被抽到的高二年级学生人数比高一年级学生人数多20.

故选：A.

根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解.

本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：由(1+21”=3—44,

3-4z(3-4z)(l-2z)-5-10i

行z=-----=------------7=------=—1—2l.

l+2i(1+2x)(1-22)1—4弹

.-.2=-l+2i>则复数£的虚部为2.

故选：C.

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

3.【答案】B

【解析】解：因为才=(2,0),了=(2,2)，所以才.了=2x2+0x2=4，|T|=\/22+22=2\/2>

所以才在了上的投影向量为•了=：x⑵2)=(1,1).

故选：B.

根据题意利用投影向量的公式加以计算，可得答案.

本题主要考查平面向量数量积及其坐标运算、向量的模的公式、投影向量的概念等知识，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：依题意，设圆锥的底面半径为厂，则其侧面展开图的扇形弧长为27TT,

/_27rr_«

则侧面展开图的扇形半径为I-F，

3

侧面积为-x2仃xI=6仃2=27r,解得r=V3

23

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故选：A.

由题意，先求出圆锥侧面展开图扇形的半径，再由侧面积公式列方程计算即得.

本题主要考查圆锥的结构特征，圆锥的侧面积的求法，考查运算求解能力，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：根据题意，A="第一枚出现小于4的点”,B=“第二枚出现大于3的点”，

则P(n)=O=LP(B)=-=

')62''62''6x64

则有尸(4B)=尸(⑷尸/)，事件/、3相互独立.

故选：C.

根据题意，求出P(A)、P(B)和P(4B),由相互独立事件的定义分析可得答案.

本题考查事件之间的关系，涉及相互独立事件的定义，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：设尸在底面N3C的射影为O,过。向△AB。的三边作垂线OD,太

OE,OF,/

连结PE,PF,/lp\\\

•.•POL平面48C,4BU平面4BC,/尸'[\\

：,POA.AB,又ODLAB,ODQOP=O,A\\.\\/

.•.ABI平面。PD，」.AgrPO，D\\/

.•./POO为侧面尸与平面48c的二面角，B

同理NPE。，NPF。为其余两侧面与底面48c的二面角，

APDO=NPEO=ZPFO,

又POLOD,POLOE,POLOF,尸。为公共边，

RtAFOD^RtAPO^^RtAFOF,

,,.OD=OE=OF,

,0是△ABC的内心.

故选C

作出三个二面角，利用三角形全等得出。到△ABC的三边距离相等，得出结论.

本题考查了棱锥的结构特征，线面垂直的判定，二面角的做法，属于中档题.

7.【答案】D

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【解析】解：设而=才，区=了，语=/，

则布=/+知+虎=—（才+了+工），

\A^\=|/+7+可=J（N+3+工）2=（^2+那2+工2+27•号+2刀.工+2号.工

/11

—y9+94-9+2x3x3x—+2x3x3x—+0

=3\/5.

故选：D.

由已知结合向量的线性运算及向量数量积的性质即可求解.

本题主要考查了向量的线性运算及向量数量积的性质的应用，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：由河―用+2通/.了=0，可得口—用=一2通方.了，

两边平方,得才一2下.了+铲=12（才•了产，即12（方•了『+2方•万—2=0，

整理得（2下.了+1）（3才.了—1）=0,解得记•了=_：或才•了=:,

因为何―了|=—2通才.了20，所以T.RWO，所以记•号=—g,

所以+2引=y/\t~ct+2~b\2=\/i2+4+4t~ct-~b=y/t2-2t+4=y（i-l）2+3》通，

当且仅当t=1时等号成立，则|力才+27|的最小值为V3.

故选：B.

由|力—7|+2通力•了=0,可求得/•了=—会再利用模长公式及二次函数的性质求得答案.

本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题.

9.【答案】BD

【解析】解：对于/,两个向量的模相等，但是方向不确定，所以不一定相等，故/项错误；

对于8,若才=—了，则向量方与工的方向相反且模相等，因此正〃下，故8项正确；

对于C,两个向量不能比较大小，故。项错误；

对于D,若才=了，了=工，则根据向量相等的定义，可知才=苒，故。项正确.

故选：BD.

根据平面向量的定义与基本概念，结合两个向量平行的含义对各项逐一检验，即可得到本题的答案.

本题主要考查平面向量的定义、向量的模、平面向量共线等知识，属于基础题.

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10.【答案】ABC

【解析】解：选项/,由勾股定理知，4P=^AD^+PDl》

当且仅当P0I=O,即点尸与Oi重合时，等号成立，

所以/尸的最小值为即选项/正确；

选项3,由正方体的性质知，平面4_BQi_Di，

因为8区U平面881P,所以平面BSP，平面4耳。1。1，即选项8

正确；

选项c,因为平面4B1GA，且B1P,B1GU平面4氏。1。1，

所以BBJBiCi，

所以NPBiG即为二面角P—BiB—Ci的平面角，

又尸是的中点，所以耳P=.12+(；『=',

/PRC_B©_1_2y/5

所以COSN右.5—B]P—通一5,即选项c正确；

~T

选项。，取4场的四等分点。，连接PQ,BQ,则MQ=；,

因为。iP=；,所以。1。=3(2，

而。1P〃场Q,所以四边形。iPRiQ是平行四边形，所以8iP〃OiQ,

所以NRDiQ或其补角即为所求,

在△BDiQ中，7?iQ=j].2+4『=:,BQ=q+(J=,BQ=网,

2517

I?©+BD：-BQ216+-16

由余弦定理知,cosZ.BDiQ=

2_Z?iQ,BD]2x-xV3~15

4

所以直线BiP与BDi所成角的余弦值为1X2,即选项D错误.

15

故选：ABC.

选项，，根据勾股定理可得当点尸与。1重合时，NP取得最小值；

选项3,结合正方体的性质和面面垂直的判定定理，即可作出判断；

选项C,先证BBilBiCi，由二面角的定义知NPBiG即为所求，再由三角函数的知识，求

解即可；

选项。，取4所的四等分点。，连接0iQ,BQ,先证四边形01PR1Q是平行四边形，可得BF//D1Q,

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从而知/BOiQ或其补角即为所求，再结合勾股定理与余弦定理，求解即可.

本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握异面直线所成角、二面角的求法，面面垂直的判定定理等是解题

的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

11.【答案】AD

【解析】解：对于4依次发送1,0,1,则依次收到/,0,1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送

1接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为(1—0)(l—a)(l—0)=(1—a)(l—0)2,N正确；

对于8,三次传输，发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到/,0,1的事件，

是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为(1—0)•伙(1-0)=0(1-OR5错误；

对于C,三次传输，发送1,则译码为1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件

和，

它们互斥，由选项8知,所以所求的概率为。初(1—3)2+(1—口)3=(1—02(1+20),c错误;

对于，由选项C知，三次传输，发送0,则译码为0的概率P=(l—a)2(l+2a),

单次传输发送0,则译码为0的概率P=l—a,而0<a<0.5,

因此P—P'=(1—a)?。+2a)-(1一a)=a(l-a)(l—2a)〉0,即P〉P'，。正确.

故选：AD.

根据相互独立事件以及互斥事件概率计算相关知识可逐一判断.

本题考查相互独立事件以及互斥事件概率计算相关知识，属于基础题.

12.【答案】二

【解析】解：•.•复数2=(a?—3a—4)+(a—4)，为纯虚数，

"二,；4=°，解得a=—1,

1a-4^0

a—ai——1+i,

复数-1+，在复平面内对应的点(-1,1)位于第二象限.

故答案为：二.

根据已知条件，结合纯虚数的概念和复数的几何含义，即可求解.

本题考查了纯虚数的概念和复数的几何含义，属于基础题.

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13.【答案】这7r

3

【解析】解：•「三棱锥。—48。中，平面/8C,ABLBC，DA=AB=^3'BC=五，

,该三棱锥的外接球的直径为长，宽，高分别为通，圆通的长方体的体对角线,

设该球的半径为R,则（2况）2=（通）2+（松）2+（通）2=8,,7?=2，

该三棱锥的外接球体积为.兄3=3x7TX（V^）3=九27r.

故答案为：羽27r.

3

根据分割补形法，即可求解.

本题考查三棱锥的外接球问题，分割补形法的应用，属基础题.

14.【答案】Y3

2

7T

【解析】解：因为A=5,

所以瓦.皿=\B1\\B^\COSB=BA2,cl-c^=\cl\\a§\cosc=c^,

又因为初・瓦？=3。不屈，

所以氏42=3。/,即84=遮。4，因此3最小，

「BAV3CA%/3

所以cosB=皮===—.

8cAi+（通04）2，

故答案为：息.

2

根据数量积的定义化简已知式后求解.

本题考查平面向量数量积的定义和几何意义，属于基础题.

15.【答案】解：（1）证明：取8C中点G,连接/G,EG,

因为E是场。的中点，

所以EG//BB1，且EG=；BBi，

由直棱柱知，AAJ/BBx,而。是441的中点，

所以石6〃40且石仁=04，

所以四边形EGAD是平行四边形，

所以EO〃4G,

又4B=4。，G为8C中点，

所以4G_LBC，

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又三棱柱ABC-4氏。1为直三棱柱，

所以BiBl平面ABC,AGC平面ABC,

所以又BiBCBC=B,BXB,BCBCC^,

所以AG1平面BOGS，

故。EL平面8CC1B1.

⑵因为VE-BCD=VD-BEC，

由（1）知，OEL平面BCGBi，ED//AG,

所以VD-BEC=VA-BEC=VE-ABC=VD-ABC，

且VD-ABC=-x—BC-EG-AG=—x—x6x3x4=12.

3232

【解析】（1）取BC中点G,连接/G,EG,先证4G，平面BCG81，结合EDHAG,即可得出。EL平

面3。。1场；

⑵通过等积变换可得VE-BCD=VD.ABC,求匕3TBe即可.

本题考查线面垂直的判定，以及等体积法的应用，属于中档题.

16.【答案】解：⑴由|团=2,|b|=4,+b\=2A/3，

可得|才+了|=2\/3=7飞2+2N.了+%2=/4+2。7+16，

解得力•了=—4，

若（22-kt）_L（k笈+27），则有（2a*-彘〉（kN+21）=0,

2

即2k飞2_2彘，+（4-记.T=8fc-32fc-16+4A:=0,

化简得R一6卜一4=0，解得上=3±，*；

（2）由题意，甘.（3甘+6不）=3才2+6下.了=12-24=-12,

|3才+6•=3,记2+4区.7+472=3xx/4-16+4x16=6履'

设3与3才+6号的夹角为0，

.才•（3记+6万）-12V13

则cos0=_————=------产=--—,

同|3胃+66|2x6g13

故区与3m+6号的夹角的余弦值为—①.

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【解析】（1）根据向量垂直的性质，得两向量数量积为零，再根据数量积运算即可求得左值;

（2）根据向量夹角公式即可求解.

本题考查向量垂直的性质及平面向量数量积运算，属中档题.

17.【答案】解：(1)因为c=Q(1+2cos5),由正弦定理得：sinC=sinA*(l+2cosB),

又4+_B+C=7T,所以sinC=sin(A+B),

所以sin(A+B)-2sinAcosB=smAf得cosAsinB-sinAcosB=sinA,

所以sin(B-A)=sinA,则6—4=4或5-A+A=々(舍)，

：,B=2A,

7T_7F_7T

B——,A——,C——；

362

(2)由题意及(1)得，在△AB。中，B=2A,

,bsinBsin24八，

由正弦定理得，-—-=——--2cosA,

asmAsmA

・「△46。为锐角三角形，

0<A<|

.J0<2A<7-T,解得：7-T<A<7T­,

2o4

7T

0<TT-A-2A<-

、2

/.\Fl<2cosA<石，

二，的取值范围为(，2A/3).

【解析】(1)根据正弦定理，把c=a(l+2cos8)化成sinC=sinA(l+2cosB),结合三角形内角和定理,

消去角C,可得角/,8的关系，结合3=a，可求角C；

O

（2）根据（1）中角/,8的关系，利用正弦定理，可得9=坐,再根据△ABC为锐角三角形，可求角/

asmA

的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得9的取值范围.

a

本题考查了正弦定理和三角函数的性质，属于中档题.

18.【答案】解（1）证明：取尸区的中点连接ME,

为尸。的中点，

ME//AD且ME=^AD,

-：BC//ADS.BC=^AD,

BC

：,ME11BC豆ME=BC，

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二四边形MEBC为平行四边形，

BM//CE,又,：CEC面PAB,BMPAB,

，CE〃平面PAB.

⑵证明：平面48cD,OCc平面48cD，/.PALDC，

过C作。交AD于。，则cc，=i，CD=1，

：,CD=\/2>又AC=®，

.•.4。2+。。2=2+2=4。2,.DCVAC，又4。0尸4=4,

QC_L平面P/C,又0CU平面PAC，

平面PACl^PDC.

(3)取尸C中点尸，连接跖，则EF〃DC,

由⑵知平面PAC,则£凡L平面PAC,

：,NECF为直线E