数学单元测试：第一讲相似三角形的判定及有关性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第一讲测评（时间：90分钟满分:100分）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列命题中正确的是()A．有两边成比例及一个角相等的两个三角形相似B．有两边成比例的两个等腰三角形相似C．有三边分别对应平行的两个三角形相似D．有两边及一边上的高对应成比例的两个三角形相似2．如图，BD，CE是△ABC的中线，P，Q分别是BD,CE的中点，则eq\f（PQ，BC)等于（）A．eq\f（1,3）B．eq\f(1，4)C．eq\f(1，5)D．eq\f(1，6)3．如图,已知AA′∥BB′∥CC′,AB∶BC＝1∶3，那么下列等式成立的是（)A．AB＝2A′B′B．3A′B′＝B′C′C．BC＝B′C′D．AB＝A′B′4．如图,已知eq\f(AD，DB)＝eq\f（4，5)，DE∥BC，若DE＝3，则BC等于（）A．eq\f（12,5）B．eq\f(15,4)C．eq\f（9，2)D．eq\f(27,4）5．如图，A，B,C，D把OE五等分,且AA′∥BB′∥CC′∥DD′∥EE′，如果OE′＝20cm,那么B′D′等于(）A．12cmB．10cmC．6cmD．8cm6．如图，在△ABC中,AB＝AC，D在AB上,E在AC的延长线上，BD＝3CE，DE交BC于F，则DF∶FE等于(）A．5∶2B．2∶1C．3∶1D．4∶17．在△ABC中,DE∥BC,DE交AB于D，交AC于E,且S△ADE∶S梯形DECB＝1∶2，则梯形的高与△ABC的高的比为()A．1∶eq\r（2）B．1∶(eq\r(2)－1）C．1∶(eq\r（3)－1)D．（eq\r(3)－1）∶eq\r（3)8．如图，已知△ABC，eq\f(BD，DC）＝eq\f（2，3)，eq\f（AE,EC）＝eq\f(3,4），AD，BE交于F，则eq\f(AF,FD)·eq\f(BF，FE)的值为（)A．eq\f(7,3)B．eq\f(14,9)C．eq\f(35，12）D．eq\f(56,13)9．如图,在梯形ABCD中,AD＝3,BC＝9，AB＝6，CD＝4，AD∥BC,若EF∥BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，则EF的长为()A．eq\f（45,7）B．eq\f(33，5)C．eq\f(39，5）D．eq\f(15，2）10．某社区计划在一块上、下底边长分别是10米，20米的梯形空地上种植花木(如图所示），他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下,若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，还需资金()元．A．500B．1500C．1800D．2000二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）11．如图，在△ABC中，D,E三等分AB,DF∥BC，EG∥BC，分别交AC于F,G，若AC＝15cm,则FC＝________cm.12．如图,在矩形ABCD中,AB＝eq\r(3)，BC＝3,BE⊥AC，垂足为E,则ED＝__________。13．如图，已知点D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，若eq\f(BG，GA）＝3，BC＝8，则AE的长为________．14．如图，∠B＝∠D,AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝__________。15．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4,CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为__________．三、解答题（本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（6分)如图,点E是四边形ABCD的对角线上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.(1)求证：BE·AD＝CD·AE；(2)根据图形的特点,猜想eq\f（BC，DE)可能等于哪两条线段的比（只写出图中一组比即可)？并证明你的猜想．17．（6分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,CD⊥AB，E为AC的中点，ED，CB的延长线交于一点F.求证：AC·DF＝BC·CF.18．(6分)如图，在△ABC中,D是AC的中点，E是BD的中点，AE的延长线交BC于点F.（1)求eq\f（BF，FC)的值;（2）若△BEF的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2,求S1∶S2的值．19．（7分）如图，在△ABC的内部选取一点P，过P点作三条分别与△ABC的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t1，t2，t3的面积分别为S1＝4，S2＝9,S3＝49。求：（1)PD∶PE∶HG；（2)PD∶BC；(3）△ABC的面积．

参考答案一、1．C2．解析：延长QP交AB于M，连接ED。因为P,Q分别是BD,CE的中点，所以M是BE的中点．所以MQ＝eq\f(1，2)BC，MP＝eq\f（1，2）ED＝eq\f（1，4）BC.所以PQ＝MQ－MP＝eq\f(1,2）BC－eq\f(1,4）BC＝eq\f（1，4)BC,即eq\f（PQ,BC）＝eq\f（1，4).答案：B3．解析：∵AA′∥BB′∥CC′，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f（A′B′，B′C′)＝eq\f（1,3)。∴3A′B′＝B′C′.答案：B4．解析：∵eq\f（AD，DB)＝eq\f（4,5），∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(4，9)。又DE∥BC，∴eq\f（DE，BC)＝eq\f（AD,AB）＝eq\f(4，9）.∴BC＝eq\f(9，4）DE＝eq\f（9，4)×3＝eq\f(27,4）.答案：D5．解析：∵A，B，C，D把OE五等分,AA′∥BB′∥CC′∥DD′，∴OA′＝A′B′＝B′C′＝C′D′＝D′E′。又OE′＝20cm，∴OA′＝A′B′＝B′C′＝C′D′＝D′E′＝4cm。∴B′D′＝B′C′＋C′D′＝8cm。答案：D6．解析：过D作DG∥AC，交BC于G，则DG＝DB＝3CE,即CE∶DG＝1∶3.又DF∶FE＝DG∶CE，所以DF∶FE＝3∶1。答案：C7．解析：由S△ADE∶S梯形DECB＝1∶2，得S△ADE∶S△ABC＝1∶3.所以梯形的高与△ABC的高的比为（eq\r(3)－1）∶eq\r(3）.答案：D8．解析：过D作DG∥BE交AC于G，∴eq\f(DG,BE）＝eq\f(DC，BC)＝eq\f（3,5）.∴DG＝eq\f（3,5)BE。又eq\f(EG,EC）＝eq\f(BD，BC)＝eq\f(2,5)，∴EG＝eq\f（2，5）EC。∴eq\f(FE,DG)＝eq\f(AE,AG）＝eq\f（AE，AE＋\f（2,5）EC）＝eq\f（AE，AE＋\f(2,5）×\f（4,3)AE）＝eq\f(15，23)。∴FE＝eq\f（15,23）DG＝eq\f(15，23)×eq\f(3,5)BE＝eq\f（9，23）BE。∴eq\f(BF,FE）＝eq\f（14，9），eq\f（AF，FD）＝eq\f（AE,EG）＝eq\f(15,8).∴eq\f(AF,FD)·eq\f(BF,FE)＝eq\f（15，8）×eq\f（14，9)＝eq\f(35,12).答案：C9．解析:过点A作AG∥DC，交EF于点H，交BC于点G。设AE＝x，DF＝y,由AB＝BG＝6，可得AE＝EH＝x。由题意，知x∶6＝y∶4,所以2x＝3y.①又梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，所以3＋x＋3＋x＋y＝6－x＋9＋4－y＋3＋x，即x＋y＝8。②由①②，解得x＝eq\f(24，5）,所以EF＝eq\f(24，5)＋3＝eq\f（39,5).答案：C10．解析：梯形ABCD中,AD∥BC，所以△AMD∽△CMB。又AD＝10米，BC＝20米，∴eq\f（S△AMD,S△BMC)＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(10，20））)2＝eq\f（1,4).∵S△AMD＝500÷10＝50（米2），∴S△BMC＝200米2.故还需要资金200×10＝2000（元）．答案：D二、11．解析：∵DF∥BC，EG∥BC，∴DF∥EG∥BC.由已知,得AD＝DE＝EB，∴AF＝FG＝GC。又∵AC＝15cm，∴FG＝GC＝eq\f（1,3)AC＝5cm。∴FC＝FG＋GC＝10（cm)．答案：1012．解析：在Rt△ABC中,AB＝eq\r（3），BC＝3，tan∠BAC＝eq\f（BC，AB）＝eq\r（3)，则∠BAC＝60°,AE＝eq\f（1,2)AB＝eq\f（\r(3)，2）.在△AED中，∠EAD＝30°，AD＝3,ED2＝AE2＋AD2－2AE·ADcos∠EAD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r(3）,2)))2＋32－2×eq\f（\r（3),2）×3×cos30°＝eq\f(3，4）＋9－2×eq\f（\r(3）,2)×3×eq\f（\r（3),2）＝eq\f(21,4）。∴ED＝eq\f(\r（21），2).答案：eq\f(\r(21）,2)13．解析:∵D为AC边的中点，AE∥BF，∴△AED≌△CFD。∴AE＝CF.∵AE∶BF＝AG∶BG＝1∶3，∴AE∶（8＋AE）＝1∶3，∴AE＝4。答案：414．解析:∵∠B＝∠D,∠AEB＝∠ACD＝90°,∴△AEB∽△ACD。∴eq\f(BE，DC)＝eq\f（AB,AD）,∴BE＝eq\f(AB,AD)·DC＝eq\f(6，12)×eq\r(122－42）＝4eq\r（2）。答案：4eq\r（2)15．解析：在梯形ABCD中，过C作CG∥AD交AB于G，交EF于点H。则HF＝1,GB＝2。又EF∥AB，即HF∥GB，∴eq\f（HF，GB）＝eq\f(CF,CB）＝eq\f（1，2)。∴F应为CB的中点．∴EF为梯形ABCD的中位线．设梯形EFCD的高为h，则梯形ABCD的高为2h。S梯形ABCD＝eq\f（AB＋CD·2h,2)＝eq\f（4＋2·2h，2)＝6h，S梯形EFCD＝eq\f（CD＋EF·h,2）＝eq\f(2＋3h，2）＝eq\f（5h，2）。所以S梯形ABCD∶S梯形EFCD＝12∶5＝eq\f(12，5)，S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝7∶5。答案：7∶5三、16．(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠DAC。∵∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC。∴△ABE∽△ACD.∴eq\f(BE,CD)＝eq\f（AE,AD)，即BE·AD＝CD·AE.（2）解：eq\f（BC,DE）＝eq\f(AC,AD）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(AB，AE)））。证明：∵△ABE∽△ACD，∴eq\f(AB,AC）＝eq\f(AE，AD).又∵∠BAC＝∠EAD，∴△BAC∽△EAD.∴eq\f（BC,DE）＝eq\f(AC,AD)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(AB,AE)))。17．证明：如图，在△ABC与△CBD中,∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠ABC＝∠DBC，∴△ABC∽△CBD。∴eq\f（AC,CD)＝eq\f（BC，BD),即eq\f(AC,BC）＝eq\f（CD，BD）,∠A＝∠1。∵E是AC的中点,CD⊥AB，∴AE＝EC＝ED.∴∠A＝∠2.∵∠2＝∠3，∠A＝∠1，∴∠3＝∠1。在△FBD与△FDC中，∵∠F＝∠F，∠3＝∠1，∴△FBD∽△FDC，∴eq\f(BD，DC)＝eq\f（FD,FC），即eq\f（FC，FD)＝eq\f（CD，BD).∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(FC,FD).∴AC·DF＝BC·CF.18．解：(1)如图所示,取AF的中点G，连接DG，则DG∥FC，且DG＝eq\f（1,2)FC。∵E是BD的中点，∴BE＝DE.又∵∠EBF＝∠EDG,∠BEF＝∠DEG,∴△BEF≌△DEG，则BF＝DG.∴BF∶FC＝DG∶FC.又DG∶FC＝1∶2，则BF∶FC＝1∶2；即eq\f（BF，FC)＝eq\f(1,2).(2）由(1)知eq\f（BF，FC）＝eq\f（1,2），则eq\f(BF，BC）＝eq\f（1，3），设△BEF的边BF上的高为h1，△BDC的边BC上的高为h2，则eq\f（h1，h2)＝eq\f(BE,B