人教版九年级数学上册专项复习：点和圆的位置关系

24.2.1点和圆的位置关系

一、课前预习（5分钟训练）

1.已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm,判定

点P与圆的位置关系，并说明理由.

2.点A在以O为圆心，3cm为半径的0O内，则点A到圆心O的距离d的范围是.

3.若。A的半径为5,点A的坐标为（3,4）,点P的坐标为（5,8）,则点P的位置为（）

A.在。A内B.在。A上C.在。A外D.不确定

4.两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为n和功，且ijVOAC",那么点人在（）

A.甲圆内B.乙圆外C.甲圆外，乙圆内D.甲圆内，乙圆外

二、课中强化（10分钟训练）

25

1.已知。O的半径为3.6cm,线段OA=—cm,则点A与。O的位置关系是（）

7

A.A点在圆外B.A点在。O上C.A点在OO内D.不能确定

2.00的半径为5,圆心O的坐标为（0,0）,点P的坐标为（4,2）,则点P与。O的位置关

系是（）

A.点P在。O内B.点P在。O上C.点P在0O外D.点P在。O上或。O外

3.在AABC中，ZC=90°,AC=BC=4cm,D是AB边的中点，以C为圆心，4cm长为半径

作圆，则A、B、C、D四点中在圆内的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.如图24-2-1-1,在AABC中.，ZACB=90°,AC=2cm,BC=4cm,CM为中线,以C为圆

心，V5cm为半径作圆，则A、B、C、M四点.在圆外的有，在圆上的有

力

在圆内的有.

图24-2-1-1

三、课后巩固（30分钟训练）

1.己知a、b、c是AABC的三边长，外接圆的圆心在AABC一条边上的是（）

A.a=15,b=12,c=lB.a=5,b=12,c=12

C.a=5,b=12,c=13D.a=5,b=12,c=14

2.在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=6cm,BC=8cm,则它的外心与顶点「口等其女)

A.5cm,B.6cmC.7cm/\

3.如图24-2-1-2,点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，•别送

水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并前理武/

A

4.阅读下面材料：对于平面图形A,如果存在一个圆，使图形A上的任比(勺距离

都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖.

如图24-2-1-3(1)中的三角形被一个圆所覆盖，图24-2-1-3(2)中的四边形被两个圆所覆盖.

回答下列问题：⑴⑵

(1)边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm;

(2)边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm;

(3)边长为2cm,1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是.cm,

这两个圆的圆心距是cm.

5.已知RtAABC的两直角边为a和b,且a、b是方程x2-3x+l=0的两根，求RtAABC的

外接圆面积.

6.有一个未知圆心的圆形工件(如图24-2-1-4).现只允许用一块直角三角板(注：不允许用三角

板上的刻度)画出该工件表面上的一根直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画

法.

图24-2-1-4

7.某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树.现决

定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树

位于圆周上或平行四边形的顶点上.以下设计过程中画图工具不限.

(1)按圆形设计，利用图24-2-1-5(1)画出你所设计的圆形花坛示意图；

(2)按平行四边形设计，利用图24-2-1-5(2)画出你所设计的平行四边形花坛示意图；

(3)若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？.请说明理由.

8.电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制片芳---%J---------

叫“晶圆片”.现在为了生产某种CPU芯片，需要长、‘售都是1cm的止方形小硅片鲁.如果

晶圆片的直径为10.05cm,问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明

你的方法和理由.(不计切割损耗)

A

B

图24-2-1-6

参考答案

一、课前预习(5分钟训练)

1.已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4cm；(2)5cm；(3)6cm,判定

点P与圆的位置关系，并说明理由.

思路分析：利用点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与半径的大小比较..

解：(1)当d=4cm时，Vd<r,.•.点P在圆内；

(2)当d=-5cm时，Vd=r,...点P在圆上；

(3)当d=6cm时，Vd>r,.,.点P在圆外.

2.点A在以0为圆心，3cm为半径的。0内，则点A到圆心0的距离d的范围是.

思路解析：根据点和圆的位置关系判定.

答案：0Wd<3

3.若。A的半径为5,点A的坐标为(3,4),点P的坐标为(5,8),则点P的位置为()

A.在。A内B.在。A上C.在。A外D.不确定

思路解析：本题有两种方法，既可以画图，也可以计算AP的长,再与半径进行比较.

AP=7(5-3)2+(8-4)2=V22+42=V20<5,所以点P在圆内.

答案：A

4.两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为n和检，Mn<OA<r2,那么点人在()

A.甲圆内B.乙圆外C.甲圆外，乙圆内D.甲圆内，乙圆外

思路解析：点A在两圆组成的圆环内.

答案：C

二、课中强化(10分钟训练)

25

1.已知。O的半径为3.6cm,线段OA=—cm,则点A与。O的位置关系是()

7

A.A点在圆外B.A点在。。上C.A点在。。内D.不能确定

思路解析：用“点到圆心的距离d与半径r的大小关系”来判定点与圆的位置关系.

答案：C

2.。0的半径为5,圆心。的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2),则点P与。。的位置关

系是()

A.点P在。。内B.点P在。O上C.点P在。。外D.点P在。。上或。。外

思路解析：比较OP与半径r的关系.：OP=j42+2z=2指,OP2=20,r2=25,

.•.OP<r.

.,.点P在。O内.

答案：A

3.在AABC中，ZC=90°,AC=BC=4cm,D是AB边的中点，以C为圆心，4cm长为半径

作圆，则A、B、C、D四点中在圆内的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

思路解析：如图，连结CD//D为AB的中点，

1

.,.CD=-AB.

2

•/AB=VAC2+BC2=4V2,CD=2V2<4.

VAC=BC=4,.•.点C和点D在以C为圆心，4cm为半径的圆的内部.

答案：B

4.如图2421-1,在AABC中.，ZACB=90°,AC=2cm,B（'葭中线，以C为圆

心，料cm为半径作圆，则A、B、C、M四点.在圆外的有―/\的有，

在圆内的有.。-------R

思路解析：AB=2-\/5cm,CM=A/5cm.

答案：点B点M点A、C图24-2-1-1

三、课后巩固（30分钟训练）

1.已知a、b、c是AABC的三边长，外接圆的圆心在AABC一条边上的是（）

A

A.a=15,b=12,c=lB.a=5,b

C.a=5,b=12,c=13D.a=5,b

思路解析：只有直角三角形的外心在边上（斜边中点）

答案：c

2.在RL^ABC中，ZC=90°,AC=6cm,BC=8cm,则它的外心与顶点C的距离为（）

A.5cmrB.6cmC.7cmD.8cm

22

思路解析：AB=A/6+8=10,它的外心是斜边中点，外心与顶点C的距离是斜边的中

线长为工AB=5cm.

2

答案：A

3.如图24-2-1-2,点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送

水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由.

A

B・

'C

图24-2-1-2

思路分析：设水泵站处为O,则。到A、B、C三点的距离相等，可得点O为AABC

的外心.

作法：连结AB、AC,分别作AB、AC的中垂线1、匕直线1与1，相交于O,则水泵站

建在点。处，由以上作法知，点O为AABC的外心，则有OA=OB=OC.

4.阅读下面材料：对于平面图形A,如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离

都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖.

如图24-2-1-3(1)中的三角形被一个圆所覆盖，图24-2-1-3(2)中的四边形被两个圆所覆盖.

回答下列问题：

(1)边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm;

(2)边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm;

(3)边长为2cm,1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是.cm,

这两个圆的圆心距是cm.

思路解析：图形被圆覆盖，圆一定大于图形的外接圆，它的最小半径就是外接圆半径.

V2

(1)正方形的外接圆半径，是对角线的一半，因此r的最小值是匚cm.

2

(2)等边三角形的外接圆半径是其高的三2，故r的最小值是J以3cm.

33

(3)r的最小值是cm,圆心距是1cm.

2

〜，VIV3也

答案:(1)(2)^-(3)-^-1

点拨：注意应用“90。的圆周角所对的弦是直径”和勾股定理解题.

5.已知RtAABC的两直角边为a和b,且a、b是方程x2-3x+l=0的两根，求RtAABC的

外接圆面积.

思路分析：由a、b是直角三角形的两直角边，所以可求出斜边是,标+朗，这样就得

外接圆半径.根据直角三角形的外心是斜边中点，因此，其外接圆直径就是直角三角形的

斜边

解：设RtZXABC的斜边为c,：a、b为方程x2—3x+l=0的两根，；.a+b=3,ab=l.

由勾股定理，得c2=a?+b2=(a+b)2—2ab=9—2=7.

CC-TTTT77t

AABC的外接圆面积S=7V(—)2=n—=—c2=一义7=—.

24444

6.有一个未知圆心的圆形工件(如图24-2-1-4).现只允许用一块直角三角板(注：不允许用三角

板上的刻度)画出该工件表面上的一根直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画

法.

思路解析：因为三角板有一个角是直角，所以可利用直角画90。的圆周角，由此可得直

径.再画一个90。的圆周角，也能得到一直径，两直径的交点为圆心.

作法：如图,(1)用三角板的直角画圆周角NBDC=90。，ZEFH=90°.

⑵连结BC、EH,它们交于点O.

则BC为直径，点0为圆心.

7.某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树.现决

定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树

位于圆周上或平行四边形的顶点上.以下设计过程中画图工具不限.

(1)按圆形设计，利用图24-2-1-5(1)画出你所设计的圆形花坛示意图；

图24-2-1-5

(2)按平行四边形设计，利用图24-2-1-5(2)画出你所设计的平行四边形花坛示意图；

(3)若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？.请说明理由.

思路分析：过A、B、C三点画圆，以AABC为平行四边形的一半，画出另一半，得平

行四边形.

解：(1)作图工具不限，只要点A、B、C在同一圆上，图(1).

(2)作图工具不限，只要点A、B、C在同一平行四边形顶点上，图(2).

上行45/3

(3)如图(3),：r=OB=^-,

,,16万

••S©o=7tr=------~16.751>

3

]VI

又S平行四边形=2SAABC=2X—x4x2x-----=8~13.86,

22

Soo>S平行四边形,••・选择建圆形花坛面积较大.

8.电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄圆形片,

叫“晶圆片”.现在为了生产某种CPU芯片，需要长、宽都是1cm的正方形小硅片若干.如

果晶圆片的直径为10.05cm,问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请

说明你的方法和理由.(不计切割损耗)

解：可以切割出66个小正方形.

方法一：(1)我们把10个小正方形排成一排，看成一个长方形的矩形，这个矩形刚好

能放入直径为10.05m的圆内.如图中的矩形ABCD.

VAB=1,BC=10,对角线AC2=100+1