2023年广东省珠海市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析)

2023年广东省珠海市成考专升本数学(理)

自考真题(含答案带解析)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.已知平面向量a=(l,1),b=(l,-1),则两向量的夹角为()。

A三

3B-f

C，fD.A

2.若平面向量a=(3,x),B=(4,-3),且a，b,则x的值等于

()

A.A.lB,2C,3D.4

已知复数#=1+i.i为虚数单位，则丁=()

(A)2i(B)-2i

3.(C)2+2i(1>i2-

4.设甲：y=f(x)的图像有对称轴;乙：y=f(x)是偶函数，则()。

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲是乙的必要条件但不是充分条件

5设‘'"L,…为,第•蹩限生」［一、；()

A.A.-也/2BJ3/2C.-1/2D.1/2

6.(log43+log83)(log32+llog92)=()

A.5/3B.7/3C.5/4D.1

7.1og34-log48-log8m=log416,则m为()

A.9/2B.9C.18D.27

8.若a=(l,5,-2),b=(m,2,m+2),且a_Lb,则m的值为()

A.0B.6C.-6D.1

9.下列各式正确的是

A.cos2<sinl<<tan7i

B.cos2n7i<cot7i°<sinl

C.cosl<cos2<sinl

D.cos2<cosl<COt7l0

10.某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2,三个灯泡在使用

1000小时以后最多只有一个坏的概率为

A.0.008B.0.104C.0.096D.1

1L设集合M={123,4,5},N={2,4,6},则MPN=()o

A,{2,4}B.{2,4,6}C.{1,3,5}D.{1,2,3,4,5,6}

12.设函数f(x+2)=2"2-5,则f(4)=()

A.-5B.-4C.3D.1

已知向量a=(-3,m),b=且a=-；0.则《1,”的值是

(A)m=3,n=1(B)m=-3,n=1

13(C)m=y,n=-6(D)m=-6,n=y

14.设口是第三象限的角，贝吐360。田化£2）是

A.A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角

15.已知椭圆的长轴长为8,则它的一个焦点到短轴一个端点的距离为

（）

A.A.8B,6C.4D.2

16.

复叫冬广的值等于（）

A.lB.iC,-lD.-i

17.下列成立的式子是（）

01

A.0.8<log30.8

B.0,801>0,805

C.log30.8<log40.8

D.301<3°

18.函数F(x)=f(x)・sinx是奇函数，贝f(x)()

A.A.是偶函数B.是奇函数C.既是偶函数又是奇函数D.既不是偶函数

又不是奇函数

19.一个圆柱的轴截面面积为Q,那么它的侧面积是()

A.l/27iQB.7iQC.27iQD.以上都不对

20.善加!』♦力*2y.0表示两条直线m的JMUlA.lB.-lC.2D.-2

i为虚数单位，则(2-3i)(3+2i)=()

(A)12-13i(B)-5i

2i

22.9种产品有3种是名牌，要从这9种产品中选5种参加博览会，如

果名牌产品全部参加，那么不同的选法共有()

A.A.30种B.12种C.15种D.36种

23.函数y=(*-4(R去I)的反函数为

A.1；■■•一4

B.

C.­

D.

24.设集合乂=就医一1<2),N={x[x>0),则MCN=()

A.A.{x|O<z<3}B.{x|-1<x<0)C.{x|x>0)D.{x|x>-1)

25.

(14)8名选手在有8条跑道的运动场进行百米春跑,其中有2名中国选手.按随机抽签方式决

定选手的跑道,2名中国选手在相第的跑道的概率为

<A)T(B叶(C)1(D)=

26.圆C与圆(x—l)2+y2=l关于直线x+y=0对称，则圆C的方程是

()

A.A.(x+Ip+y2=1

B.x2+y2=1

C.x2+(y+I)2=1

D.x2+(y-1)2=1

27.直线Z过定点(1,3),且与两坐标轴正向所围成的三角形面积等于

6,则2的方程是()

(n)3x-Y=0

A.3x+y=6B.x+3y=10C.y=3—3x

28.命题甲：Igx,Igy,Igz成等差数列；命题乙：y2=x-z则甲是乙的

()

A.A.充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.既充分又必要条件D.

既非充分也非必要条件

29.函数y=2x的图像与函数y=log2X的图像关于（）

A.A.X轴对称B.y轴对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称

下列函数中，为减函数的是

30（A）y-Xs（B）y=sinx（C）y--x3（D）y=cosx

二、填空题（20题）

为了检查一批零件的长度，从中抽取10件，量得它们的长度如下（单位:mm）：

22.3622.3522.3322.3522.3722.3422.3822.3622.3222.35

则样本的平均数（结果保留到小数点第二位）为这组数据的方差

31.为一

32.,：:3…：I

33.............

34”由+髀号历『一

35.

已知/(x)=tf*T(a>o,a^l).且/(logJO)=不,则a=.«

36.已知|a|=2,|b|=4,|a+b|=3,则<a,b>=

37-a+a+a-

38,(16)过点(2.J)且与直线y=x♦I垂直的通线的方程为,

39.若正三棱锥底面边长为a,且三条侧棱两两垂直，则它的体积为

40.一束光线从点A(-3,4)发出，经x轴反射后，光线经过点B(2,6),入

射光线所在的直线方程是

41.1g(tan43°tan45°tan47°)=.

已知球的一个小圆的面枳为「球心到小圆所在平面的即离为石，则这个球的

42.

43.从新一届的中国女子排球队中随机选出5名队员，其身高分别为(单

位:cm)

196,189,193,190,183,175,

2

则身高的样本方差为加2(精确到0.1cm).

44.从-个正方体中截去四个三棱锥，得-正三棱锥ABCD,正三棱锥的体

积是正方体体积的.

45.已知直线3x+4y-5=0,二的最小值是

46.设离散型随机变量X的分布列为X-1012Pc2c3c4c则c=

47.（18）向证*b互相垂直.且=1,则。•（。+白）=

已知随机变量5的分布列是:

012345

P0.10.20.30.20.10.1

则瞥=

48.

..r-2x

49刖丁

不等式+52>0的解集为

50.（1+,）

三、简答题（10题）

51.（本小题满分12分）

在△48C中,AB=8=45",C=60。.求AC.8C.

52.（本小题满分12分）

设两个二次函数的图像关于直线X=1对称，其中一个函数的表达式为

Y=x2+2x-l,求另一个函数的表达式

53.

（本小题满分12分）

在（a%+l）7的展开式中,％3的系数是为2的系数与Z4的系数的等差中项，

若实数a>l,求a的值.

54.（本小题满分12分）

如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出肘，每天可销售100件。

现采取提高售出价，减少进货量的办法增加每天的利润，已知这种商品

每件涨价1元，其销售数量就减少1。件，问将售出价定为多少时，赚

得的利润最大？

55.

（24）（本小题满分12分）

在△ABC中,4=45。,8=60。,=2,求△ABC的面积.（精确到0.01）

56.

(22)(本小题满分12分)

面积为6的直角三角形三边的长由小到大成等差数列，公差为，

(I)求＜^的值；

(D)在以最短边的长为首项，公差为d的等差数列中，102为第几项？

57.(本小题满分12分)

已知入£是椭圆志+1=1的两个焦点.P为椭圆上一点,且乙F、PF»=30。,求

△PF—的面积.

58.(本小题满分13分)

三角形两边之和为10,其夹角的余弦是方程2x2-3x-2=0的根，求这个

三角形周长的最小值.

59.

(本小题满分13分)

已知圈的方程为，+/+ax+2y+J=0,一定点为4(1,2).要使其过会点4(1,2)

作圆的切线有网条.求。的取值范围.

60.

(本小题满分12分)

已知等比数列｛an｝的各项都是正数,al=2,前3项和为14.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)设bn=log2an,求数列｛bn｝的前20项的和.

四、解答题(10题)

61.某县位于沙漠边缘，到1999年底全县绿化率已达到30%,从2000

年开始，每年出现这样的局面；原有沙漠面积的16%被栽上树改为绿

洲，而同时原有绿地面积的4%又被侵蚀，变为沙漠

I.设全县的面积为1,1999年底绿洲面积为al=3/10,经过一年绿洲面

积为a2,经过n年绿洲面积为斯'求证：。肝1=4+25

II.问至少经过多少年的绿化，才能使全县的绿洲面积超过60%(年取

整数)

62.为了测河的宽，在岸边选定两点A和B,望对岸标记物C,测得N

CAB=30°,ZCBA=75°,AB=120m,求河的宽.

63.甲2010年初向银行贷款10万元，年利率5%(按复利计算(即本

年利息计入次年的本金生息))，若这笔贷款分10次等额归还，从

2011年初归还x万元，设2011年、2012年…2020年的欠款分别为

qM2必、…、4。，试求出ai、g、恣，推测即)

并由此算出X的近似

值(精确到元)

64.已知二次函数丫=2*叶bx+c的图像如右图所示

(I)说明a、b、c和b-4ac的符号

(II)求OA*OB的值

(HI)求顶点M的坐标

65.已知数歹U｛an｝的前n项和Sn=nbn,其中｛bn｝是首项为1,公差为2

的等差数列.

(I)求数列｛an｝的通项公式

若C尸忌而,求数列上⑨前”项和丁-

在数列{%>中,5=1+a：

([)求证，数列是等比数列;

66.

67.

△ABC中，已知a?+J-b，=ac,且lo&siw4+lo&sinC=-1，面积为75cm'，求它三

边的长和三个角的度数.

已知函数〃*)■«,♦Jo«,♦(3-6<i)«-i2a-4{aeR).

(1)证明：曲线y=/S)在*•。处的切线过点(2,2);

(2)若〃.)在*=臼处取得极小值.%•(1,3),求a的取值范碑

68.

69.

已知椭画C：4+*=l(a>6>0),斜率为1的直线，与C相交，其中一个交点的坐标为

(2,々)，且C的右焦点到/的距离为1.

(I)求

(II)求C的离心率.

70.甲、乙二人各射击-次，若甲击中目标的概率为0.8,乙击中目标的概

率为0.6.试计算：

(I)二人都击中目标的概率；

(II)恰有-人击中目标的概率；

(in)最多有-人击中目标的概率.

五、单选题(2题)

71.已知a、八r两两垂直，他们三条交线的公共点为0,过0引一条

射线0P若0P与三条交线中的两条所成的角都是60°,则OP与第三

条交线所成的角为

A.30°B.45°C.60°D.不确定

已知sina="!■,(■!•<a<ir),那么tana=()

(A)1(B)--j-

♦4

4

79(C)-J(D)o

六、单选题(1题)

73.甲、乙两人独立地破译一个密码，设两人能破译的概率分别为P1,

P2,则恰有一人能破译的概率为()。

A.1—(1—pi)(1—pi)B.pipi

C.(1—/>,)p2D.(1—%“2+(1-pt'ipy

参考答案

l.C

该小题主要考查的知识点为向量的数量积的性质.【考试指导】

2.D

3.A

4.D

本题考查了充分条件和必要条件的知识点。

图像有对称轴的不一定是偶函数，但偶函数的图像一定有对称轴y

轴，故选D。

5.A

由。为第一象限用可知msaVO,，，丽一Ji一,=_亨.(答案为A)

6.C

C【篇析】(log43*loga3)(logj24-logi2)

logi3)(Iogj2^ylogj2)

-(•flofc3)(ylog,2)-y.

【考点指要】本题考查对数的运算法则，由换底公式

的推论可幡log.«M--1-log.M.

7.B

该小题考查对数的性质、运算法则及换底公式，是考生必须掌握的基

本知识.

8.B

由a_Lb可得a-b=0,即(1,5,-2)-(m,2,m+2)=m+5x2-2(m+2)=-

m+6=0,解得m=6.

9.D选项A错，•••cos2<0,(2金第二象限角)•••sinl>0,(1金第-象限

角)•.,tan7i=0,.,.tami<sinl.选项B错，Vcos2n7i=l,cot7i°=cot3.14°>0,

1<cot3.14°<+oo,l>sinl>0,cos兀。〉sinl.选项C错,Vcos2<0,cosi>

0,0cos2<cosl.选项D对,Vcos2<0,0<cosl<1,1<cot7i0<+00,/.

cos2<cosl<C0t7l0.

10.B

已知灯泡使用1000小时后好的概率为0.2坏的概率为1一0.2=0.8,则三

个灯泡使用过1000小时以后，可分别求得：

P（没有坏的）=C：•0.8°•（0.2）3=0.008

P（一个坏的）=Q-0.十・（0.2尸=0.096所以最多只有一个

坏的概率为：0.008+0.096=0.104

H.A该小题主要考查的知识点为交集.【考试指导】MAN={2,4}.

12.B利用凑配法，就是将函数的解析式写成关于（x+2）的函数式；

13.C

14.B

15.C

16.C

01

17.CA,08。」,Va=0.8<l,为减函数,Xx<>l.log30.8,a=3>1,

为增函数，0<x<I,，log30.8<0.，08o」>log30.8,故A错.B,08。」（如

图），•••a=0.8<l,为减函数，又•.•-0」>-02,08。」<08。2,故B错C,

log30.8与log40.8两个数值比大小,分别看作：yi=log3x与：y2=log4x底

不同，真数相同，当a>l,0<x<l时，底大，对大.故C正确.D,为增

函数，3。」>3°=1,故D错.

19.B

设圆柱底面圆半径为r,高为h.由已知2rh=Q,则S侧=C低

h=2nrh=7iQ.

20.A

A♦析:才用可分■为---/+26-力工。.若其有川条有段必能力•用式.近当时原方

置可分解为(*-y»2)(«-y)»0.去小角条直报*-y+2=0司-♦，-Q

21.D

22.C

23.A

24.A

集合M=(x|x—1<2)={X[X<3),N={x|x>0},贝MCN={x[O<x<

3}.(答案为A)

25.B

26.C

圆(x—l)2+y2=l的圆心(1,0)关于直线x+y=O的对称点为(0,—

1).圆C的方程为x2+(y+l)2=l.(答案为C)

27.B

28.A

因为1叮,反V.1RM成等差数列一/=7•Z.则甲是乙的充分而非必要条件.(答案为A)

29.D

y=2x与y=log2X互为反函数，故它们的图象关于y=x对称.(答案为

D)

30.C

3]22.35,0.00029

32.

33.

【答案】3AB

AB+AC+CB-BA

=AB+AB-BA

=2AB+AB=3AB.

34.

2展i

±yi8i+-|V8i-y750i=/x3&i+^X2展L^XS同=2&i.

35.

由/dog,10)=a^1=ak«；.&-1=¥=+,得q=20.(答案为20)

36.

【答案】X"arccos

|。+卬=<・+力•<«4-M

a•a+2。•b+b•b

mIo!J+2|aI•b•cos<a.b>+tbl

・4+2X2X4cs<a.b)+16=9.

11

解仔cos<a«6>-T6-

即(a・b〉Hnrccox()"■«-11

arccosT6,

37.

c?+a+c+a+a+c=不=32.

•\0+(3+。+0+仁=32-仪=32-1-31.(暮等为31)

38(16)xr-3«0

39.

【答案】滨M

„731V3.

Sc…

由题意知正三校馆的侧棱长为孝”，

・•・(钥;净.打M

”卜约•等:=纷.

40.答案：2x+y+2=0

20题答案图

作B点关于h轴时林的点8'(2.-6).连接

AB'.AB'印为人射光段所在直成,由两点式知

x+3_y-4

=>2]+y+2=0.

^-6-i

41.1g(tan43°tan450tan470)=lg(tan430tan450cot430)=lgtan45°=lgl=0

42.

12x

43.

44.1/3截去的四个三棱锥的体积相等，其中任-个三棱雉都是底面为直角

三角形，且直角边长与这个三棱锥的高相等，都等于正方体的棱长.设正

方体的棱长为a,则截去的-个三棱锥的体积为l/3xl/2axaxa=l/6a3,^（a3-

45.答案:1

^a=T7>l,

又：当工=一戏时.

,2525,15

1*vXl6vXT6<-8

是开口向上的抛物线..顶点坐标（一瓦.

若尤）,有最小值I.

JQ【解析】c+2c+3c+4c=10c=l,，c=m

47,（18）1

2.3

48.

49.

50x>-2,m

51.

由已知可得4=75。.

又SU1750-8in(45°+30°)=sin45ocos300+«*450MH30Q=西亍2...4分

在△ABC中，由正弦定理得

4c8c8而......8分

-a-，

^45»sin75Sin60°

所以4c=16.8C=86+8.……12分

52.

由已知，可设所求函数的表达式为y=(x-m)'+n.

flBy+2x-1可化为y=(x+1)J-2.

又如它们图像的顶点关于直线*=1对称.

所以n--2,m=3,

故所求函数的表达式为y=C-3)'-2,即y=』-6x+7.

由于(o*+l)'=(l+2)7.

可见.展开式中6的系数分期为C；J,C?a\Cat

由巳知.2C；a'=C〉'+Ck

.而c7x6x57x67x6x5i2inc八

34,a>1,她2x,a=)+、•a,5ca-10。+3=0

53制之，傅由a>1.得a1.

54.

利润=借售总价-进货总价

设每件提价工元(x〉0),利润为y元,则每天售出(100-10彳)件,销售总价

为(10+工)•(l00-10x)x

进货总价为8(100-13)元(OWHWIO)

依题意有:y=(10+x)•(100-lOx)-8(100-10%)

=(2+x)(100-10x)

=-1。/+期+200

yf=-20x+80,令y'=0得x=4

所以当X=4即售出价定为14元--件时，赚得利润最大，最大利润为360元

(24)解：由正弦定理可知

%=得,则

sinAsinC

2注

BC=AB^2^

sm75°R+丘

~4~

=—xBCxABxsinB

Axac4

=；x2(4-1)x2x：

=3-5

55.*1.27.

56.

(22)解：(I)由已知条件可设直线三角形的三边长分别为

a-dtatQ+d,其中a>0,d>0,

则(a+d)2=l+(a-d)2

a=4d,

三边长分别为3d,4d,5d.

S=/x3dx4d=6,d-\.

故三角形的三边长分别为3,4,5,

公差d=1.

(11)以3为首项,1为公差的等差数列通项为

an=3+(n-1),

3+(n-1)=102,

n=100,

故第100项为102.

57.

由已知，柿圈的长轴长2a=20

设IPFJ=n,由椭圆的定义知,m+n：=20①

又J=l00-64=36.c=6,所以吊(-6,0),吊(6,0)且,玛|二12

在解中,由余弦定理得才+1_2mBe830。"12’

n>2+nJ-7?mn=144②

mFm+3400,③

③-②•得(2+Q)mn=256.m=256(2-Q)

因此.△尸巴吊的面积为：1^疝130。=64(2-、信)

58.

设三角形三边分别为。也。且。+6=10川b=10-a-

方程2x’-3x-2=0可化为(2»+1)(工-2)=0,所以。产-y.x2=2.

因为a、b的夹角为8,且Icos&lW1,所以coM=-y.

由余弦定理，得

/=aJ+(10-a),-2a(10-a)x(-y)

=2a,+100-20a+10a-a1=a-lOa+100

=(a-5)J+75.

因为(a-5)、0.

所以当a-5=0,即a=5叫c的值最小，其值为存=5Q.

又因为Q+b=10.所以c取得最小值,a+6+C也取得最小值.

因此所求为10+5万：

59.

方程/+/+OX+2y+『=0表示圈的充要条件是：/+4-4a2>0.

即•.所以-飞8〈°q4

4(1.2)在脚外,应满足：1+2,+a+4+J>0

HD°。+°+9>0.所以G€R.

综上,"的取值范围是(-¥，¥).

60.

⑴设等比败列的公比为q•则2+2#24i%

即q+9-6=0.

所以g,=2.g--3（舍去）.

通项公式为册=2，

（2）b.=l«*sa.=1**»2'=n,

设%h瓦+%+,”+%

=1+2+…+20

±2OX（2O+1）=210.

S2X

61.

25.（I）过〃年后绿洲面积为心,则沙漠面积为1一

a”，由题意知：

a„+\=（1—。“）16%+496%=金。“+人.

（II）ai=^7；»a„=4-a„-i+白，（〃22）则

1U□Zb

44/4\

a”5-=-y（a»-i-）（»^2）

・•・（&一2〉是首项为一J.公比为《的等

比数列，

即（专）"'V看•仑6,

由题意知所以至少需要6年，才能使全县的绿化面积超过60%o

62.VZC=180o-30°-75o=75°,/.AABC为等腰三角形，则

AC=AB=120m,过C作CD_LAB,则由RtAACD可求得

CD=l/2AC=60m.即河的宽为60m.

63.

=10X1.05—

2

a2=10X1.05—1.05x-x»

32—

a3=10X1.05-1.05x1.05x-x.

推出aio=10X1.O510—1.059x—1.058x—••••—

1.05x-1,

1OX1.O510

由解出

a”,x=1+1.05+1.O52H-----F1.059

震齿心1.2937(万元).

64.(1)因为二次函数的图像开口向下，所以a<0.又因为点M在y轴右

边，点M的横坐标b/2a>0.又a<0,所以b>0.当x=0时，y=c,所以点

(0,c)是抛物线与y轴的交点，由图像可知，抛物线与y轴的交点

在x轴上方，所以c>0,又因为抛物线与x轴有两个交点A、B,所

以b-4ac>0

（II）OA,OB分别为A、B两点的横坐标，即方程

ax2+Ar+e=0有两个根为"2，

因此为・亚=£・即OA-OB=5

aa

（皿）顶点坐标为（一各4"%包）.

65.

【叁考答案】(1)由已知1+2(”7)-

2n-l,

S>=2/一人

当兀=1时.a】=1;

当力》2时|-4»3.

把代人。・・4,一3中也成立.

所以a.=4n—3.

(口)GU(4L3，JI+D

=_1|fs—1・——―I\1.

4"-3"+1z_J______」)]

T〔(T)+(+T)+…+=+(i-誓)=舟

66.因为｛an｝是等比数列,

所以a^at0。0=-512.

乂四+内=124•

4・|<u>128*

所以(或(

1m12815，一4.

因为g是整数,所以q=-2・.=1.

所以。|+。1+。$+。9

—一（1—4‘〉

KZ.，-—-341.

解因为何+J"=*所以1

即cos8=T•，而8为ZU8C内角，

所以B=60°.又lo&sin4+lo&sinC=-1所以sin4•sinC=

则-^*[cos(X-C)-cos(4+C)]=

所以cos(4-C)-cosl20°=^-,HPcos(4-C)=0

所以4-C=90°或4-C=-90°.又4+C=120。,

解得4=105。1=15。；或4=15°,。=105。.

因为S&wc=--aAsinC=2^2sin4sinftftinC

=2R2

-4T4―

所以和2=4,所以R=2

67.所以a=2RsinA=2x2xsinl050=(J6+立)(cm)

b=2/?sinB=2x2xsin600=24(cm)

c=2/?sinC=2x2xsinl50=(而-&)(cm)

或a=(依-&)(cm)b=