人教版九年级数学上册专项复习：点、直线与圆的位置关系（原卷版）

专题12点、直线与圆的位置关系

【思维导图】

◎考点题型1点和圆的位置关系

位置关系图形定义性质及判定

点在圆外点在圆的外部d>rQ点P在O0的外部.

点在圆上点在圆周上d=r=点P在。。的圆周上.

点在圆内(V)点在圆的内部d<rq点P在O。的内部.

例.（2022•河北邯郸•九年级期末）平面内有两点P,O,。。的半径为5,若尸0=6,则点P与。。的位

置关系是（）

A.圆内B.圆上C.圆外D.圆上或圆外

变式1.（2021•江苏淮安•九年级期中）。的半径为5cm,点A到圆心。的距离。4=3cm,则点A与，:。

的位置关系为（）

A.点人在<。上B.点A在内C.点A在I。外D.无法确定

变式2.（2022.全国•九年级专题练习）在平面直角坐标系中，以原点。为圆心，4为半径作圆，点尸的坐

标是（5,5）,则点尸与。。的位置关系是（）

A.点尸在。。上B.点尸在。。内

C.点P在。。外D.点P在。。上或在。。外

变式3.（2021•江苏常州•九年级期中）数轴上有两个点A和8,点B表示实数6,点A表示实数a,半

径为4.若点A在内部，则a的取值范围是（）

A.。<2或a>10B.2<a<10C.a>2D.a<10

◎考点题型2三角形的外接圆

1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做

三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.

2）三角形外心的性质：

①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无

数个，这些三角形的外心重合.

3）外接圆圆心和三角形位置关系：

1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；

2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；

3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.

例.（2022•江苏•九年级）如图，在平面直角坐标系中，A（0,-3）,C（2,3）.则AABC的外心坐

标为（)

A.（0,0）B.（-L1）C.（-2,-1）D.（-2,1）

变式1.（2022•湖南邵阳•中考真题）如图，。。是等边AABC的外接圆，若AB=3,则。。的半径是

C.出

变式2.（2022•全国•九年级）如图，小东在同一平面上按照如下步骤进行尺规作图:

（1）作线段A8,分别以42为圆心，以A2长为半径作弧，两弧交于点C；

（2）以C为圆心，以A8长为半径作弧交AC的延长线于点。；

（3）连接8。，BC.则下列说法中不正确的是（）

A.ZABD=90°B.sin2A+cos2£>=1

C.DB=6ABD.点。是△A3。的外心

变式3.（2022.河北.宽城满族自治县教研室模拟预测）如图，△ABC和中，点。在△ABC内，AB

=AC=BC=2,DB=DC,且NO=90。，则△ABC的内心和△的外心之间的距离为（）

D

C

A.4B.1C.且D.V3

23

◎考点题型3三点定圆的方法

1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点。为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无

数个.

2）经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点0作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、B

的圆，这样的圆也有无数个.

7---、A

3）经过三点时:

情况一：过三点的圆：若这三点A、B、C共线时,过三点的圆不存在;

情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点。是唯一存在的，这

样的圆有唯一一个.

三点定圆的画法:

1）连接线段AB,BC.

2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为0,此时0A=0B=0C,于是点0为圆心，以0A

为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。

定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.

例.（2022•江苏镇江•九年级期末）小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有

可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（

D.都不能

变式1.（2022•浙江.九年级专题练习）如图所示，一圆弧过方格的格点试在方格中建立平面直角坐标

系，使点A的坐标为（0,4）,则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）

BA

/

C

A.(-1,2)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(2,1)

变式2.（2021・江苏•九年级专题练习）在同一平面内，过已知A,B,C三个点可以作的圆的个数为

()

A.0B.1C.2D.0或1

变式3（2021•全国•九年级专题练习）如图,点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四个

点中的任意三个点，能画圆的个数为（）

D

ABC

A.1个B.2个C.3个D.4个

◎考点题型4直线与圆的位置关系

设0。的半径为r,圆心。到直线Z的距离为d,则直线和圆的位置关系如下表:

位置

图形定义性质及判定

关系

相离直线与圆没有公共点—＞厂0直线2与0。相离

咕1

直线与圆有唯一公共点，直线

◎

相切叫做圆的切线，公共点叫做切d=ro直线Z与。。相切

点

直线与圆有两个公共点，直线

相交&＜「0直线1与0。相交

叫做圆的割线

例.（2022•江苏•九年级专题练习）P、。是直线/上的两个不同的点，且OP=5,。。的半径为5,下列叙

述正确的是（）

A.点尸在。。外

B.点0在。。外

C.直线/与。。一定相切

D.若。。=5,则直线/与。。相交

变式1（2021・上海金山•九年级期末）如图，已知RfAABC中，ZC=90,AC=3,BC=4,如果以点C

为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么。C的半径「的取值范围是（）

B.—<r<33<r<4

5

变式2.（2022•广西钦州•九年级期末）若直线。与半径为4的。。相交，则圆心。到直线。的距离可能为

C.4.5

变式3.（2021・全国•九年级课时练习）如图，在半径为5c机的。。中，直线/交。。于A、B两点，且弦

AB=8cm,要使直线/与。。相切，则需要将直线/向下平移（）

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

◎考点题型5切线的判定定理

判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

例.（2019•山东•九年级单元测试）下列四个命题中正确的是（

①与圆有公共点的直线是该圆的切线；

②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线；

③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线;

④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线.

A.①②B.②③C.③④D.①④

变式1.（2019・全国•九年级课时练习）如果L是。O的切线，要判定AB_LL,还需要添加的条件是（)

A.AB经过圆心OB.AB是直径

C.AB是直径,B是切点D.AB是直线,B是切点

变式2.（2021・全国•九年级课时练习）如图,—ABC内接于。，过A点作直线OE,当ZBAE=

A.DBB.ZBACC.ZCD.ADAC

变式3.（2021•全国•九年级课时练习）如图，尸是，。的直径8的延长线上一点，NP=30。，则当

ZACP=（）时，直线是。的切线.

C

A.20°B.30°C.15°D.25°

◎考点题型6切线的性质定理

性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

例.（2022•河北保定•九年级期末）如图，PA.是匚。的切线，A3是切点，若/尸=70。，则=

C.55°D.都不对

变式1.（2022・全国•九年级专题练习）如图，AB是。。的直径，点尸是。。外一点，P。交。。于点C,

连接8C,RL若/尸=36。，且B4与。O相切，则此时等于（）

A.27°B.32°C.36°D.54°

变式2.（2021.福建南平・九年级阶段练习）如图，点A为。上一点，点尸为AO延长线上一点，依切

。于点8,连接A3.若NAPF=40。，则ZA的度数为（）

A.20°B.25°C.40°D.50°

变式3.（2022•江苏•九年级专题练习）如图，AB是。。的直径，8C是。。的切线.若44c=37。，则

NACB的大小为（）

A.37°B.47°C.53°D.63°

◎考点题型7切线长定理

切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.

例.（2022•河南安阳•九年级期末）如图，尸为。。外的一点，PA,尸8分别切。。于点A,B,C。切。。于

点E,且分别交融，PB于点C,D,若出=4,贝UPCD的周长为（)

C.8D.10

变式1.（2022•浙江・金华市第九中学九年级阶段练习）如图，必和尸B是。。的两条切线，A,B为切点,

点。在A5上，点、E,厂分别在线段阴和尸8上，且AD=3RBD=AE.若NP=a,则N或）/的度数为

)

3

A.90°-aB.—aC.2aD.90°-

2

变式2.（2021・全国•九年级课时练习）如图，已知24、PB是O的两条切线，A、B为切点,连接。尸交

于C,交。于。，连接。4、OB,则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为（

A.1,2B.2,2

C.2,6D.1,6

变式3.（2022.山东德州•九年级期末）如图，AB.AC为。。的切线，B和C是切点，延长到点，使

BD=OB,连接A。，若NZMC=78。，则NAOO等于（）

A.70°B.64°C.62°D.51°

◎考点题型8三角形内切圆

概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做

圆的外切三角形.

内心和外心的区别：

外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。

作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。

性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。

■

内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。

作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。

性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。

AI

心

BDc

直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：

r»两直角边长和-斜边长）

例.（2021•全国•九年级课时练习）若咫—ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为小则其内切圆的面积与

RtABC的面积比为（）

c兀丫

B.2;C.D.--------

47?+r

变式1.（2021・全国•九年级专题练习）如图，。是正方形ABC。的对角线8。上一点，。。与边AB,8C都

相切，点、E,B分别在AZ）,OC上，现将尸沿着所对折，折痕所与。。相切，此时点。恰好落在圆

心。处.若DE=2,则正方形ABC。的边长是（）

A.3B.4

C.2+72D.2A/2

变式2.（2022・全国.九年级专题练习）如图，一ABC中，ZA=8O。，/是内心，则Nfi/C等于（

A.120°B.130°C.150°D.160°

变式3.（2019・湖北武汉•三模）在RSABC中，C。为斜边上的高，AC=3,BC=4,分别用八〃、n、

表示△ABC,AACD,△BCD内切圆的半径，贝1|（）

12八7

AA.r+r/+r2=—B.r+r/+r2=y

C.r-n-r2=--D.r-n-r2=--

◎考点题型9圆内接四边形

圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆

叫做这个多边形的外接圆。

性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角.

例.（2022•广西梧州.九年级期末）若四边形A8C。是。。的内接四边形，ZA：ZC=1：2,则/C=

（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

变式1.（2022・安徽合肥•九年级期末）如图，四边形ABC。内接于。。，若乙4。8=40。，BC//OA,贝|

ZADC的度数为（）

B

C

D

A.60°B.65°C.70°D.75°

变式2.（2021・全国•九年级专题练习）如图，四边形ABCD内接于0O,AB为直径，ZC=120°.若

AD=2,则AB的长为（）

C.2GD.4

变式3.（2021・全国•九年级专题练习）若一个正方形的周长为24,则该正方形的边心距为（）

A.272B.3C.3亚D.273

◎考点题型10圆和圆的位置关系

设。的半径分别为a、r（其中R>r），两圆圆心距为d,则两圆位置关系如下表:

位置关系图形定义性质及判定

两个圆没有公共点，并且每个

+两圆外

外离圆上的点都在另一个圆的外

离

部.

两个圆有唯一公共点，并且除

・=曜+^=两圆外

外切,I了这个公共点之外，每个圆上

£，3切

的点都在另一个圆的外部.

R-r<d<R+ro

相交两个圆有两个公共点.

J两圆相交

两个圆有唯一公共点，并且除

*=*=两圆内

内切了这个公共点之外，一个圆上

切