2025年高考数学一轮复习：几何法求空间角与距离【含解析】

微专题10几何法求空间角与距离【原卷版】

一、几何法求空间角

【例1】(1)在直三棱柱ABC-AiBiG中，AB1BC,AB=BC=AA\,D,E分别为AC,8C的中点，则异面直

线GO与SE所成角的余弦值为()

3

Ca

10D骞

(2)如图，已知正四棱锥P-ABCD底面边长为2,侧棱长为4,M为侧棱PC的中点，则直线与底面ABC。所

成角的正弦值为()

A.小

3

C”

6D号

(3)如图所示，在三棱锥S-ABC中，XSBC,△ABC都是等边三角形，且BC=2,SA=«,则二面角S-BC-A的

大小为.

E训练

1.在三棱柱ABC-4B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点。是8cl与3C的交点，则与平面BSGC

所成角的正弦值是()

A3

A-5B三

2

D.i

c.2-2

2.在正四棱锥尸-ABC。中，M为棱AB上的点，且PA=A2=2AM,设平面与平面PMC的交线为/,则异面直

线/与BC所成角的正切值为.

二、几何法求距离

【例2】(1)如图，在四棱锥PA3CZ)中，ABCD,PB=AB=2BC=4,AB±BC,则点C到直线PA

的距离为()

A.2V3B.2V5

C.V2D.4

(2)如图所示，在长方体ABCn-AbBiGQi中，AD=AAx=2,48=4,点E是棱AB的中点，贝U点E到平面AC。

的距离为()

D.V2

«训练

1.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA_L底面48cDZABC=90°,PA=AB=BC=2,

AD//BC,则AD到平面PBC的距离为.

2.如图，在直三棱柱A2C-A121G中，AB=4,AC=BC=3,。为AB的中点.

(1)求点C到平面AiABBi的距离;

(2)若ABJ4C,求二面角Ai-CD-G的余弦值.

A级•基础达标

1.已知平面a,直线相，”，若wUa,则“7找_1_〃"是''"z_La"的()

A.充分不必要条件

B.充要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

2.如图，在斜三棱柱ABC-4B1G中，NBAC=90。，BCi±AC,则Ci在底面ABC上的射影〃必在()

BE------------,C

Bi'G

4

A.直线A8上B.直线BC上

C.直线AC上DAABC内部

3.设a,p是两个平面，m,/是两条直线，则下列命题为真命题的是（）

A.若a_L。，/〃B，则机_!_/

B.若“zUa,/u（3,m//1,则a〃p

C.若aC|3=Mt,I//a,/〃B，则〃z〃/

D.若机J_a,ZJ_p,mHl,贝!）a_L|3

4.如图，设平面aC平面0=P。，EG,平面a,切，平面a,垂足分别为G,H.为使PQLGH,则需增加的一个条

件是（）

A.EF_L平面aB.EF_L平面P

C.PQ1GED.PQ±FH

5.（多选）如图，在三棱锥V-ABC中，VO_L平面ABC,O^CD,VA=VB,AD=BD,则下列结论中一定成立的是

（）

V

DB

NAC=BC

B.AB1VC

C.VCLVD

D&VCD-AB=SAABCVO

6.（多选）如图，在长方体ABCZXAiBGDi中，A4=AB=4,BC=2,M,N分别为棱GDi,CG的中点，则

（）

B

A''L._\D

/7

E------vc

A.A,M,N,8四点共面

B.平面A£）M_L平面CDDiCi

C.直线BN与所成的角为60°

D.8N〃平面ADM

7.已知/AC8=90。，P为平面ABC外一点，PC=2,点尸到/ACB两边AC,8C的距离均为百，那么点尸到平面

ABC的距离为________.

8.如图，在四棱锥P-A8C。中，底面ABC。为矩形,平面PAO_L平面ABC。，PA±PD,PA=PD,E,尸分别为

AD,尸8的中点.

p

B

（1）求证：PE±BC；

（2）求证：平面平面PCD；

（3）求证：所〃平面PCD

B级•综合应用

9.在空间四边形A8CZ）中，平面A8O_L平面BC。,且D4J_平面4BC,则△48C的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不能确定

■.在正方体ABCD-AiBiCMi中,E,尸分别为8c的中点，则（）

A.平面平面BDDi

B.平面平面AiBD

C.平面SEF〃平面AiAC

D.平面〃平面AiCiD

11.（多选）如图，四棱锥的底面为矩形,PZ）_L底面ABC。，AO=1,PD=AB=2,点E是PB的中点,

过A,D,£三点的平面a与平面P3C的交线为/,则（）

A./〃平面PAD

B.AE〃平面PCD

C.直线PA与I所成角的余弦值为?

D.平面a截四棱锥尸-ABC。所得的上、下两部分几何体的体积之比为:

12.如图，在四棱锥S-ABC。中，底面四边形ABC。为矩形，SAL平面ABCDP,。分别是线段BS,的中点,

点R在线段S。上.若AS=4,AD=2,AR±PQ,贝UA/?=.

13.如图，矩形ABC。中，AB=1,BC=a,PAL平面ABC。，若在2c上只有一个点。满足P。，。。，则a

14.在四棱锥尸-ABCD中，平面ABCD_L平面尸。，底面48C。为梯形，AB//CD,ADLPC.

(1)求证：4。_1平面产。。；

(2)若又是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点R板与PC都不平行.

C级•能力提升

15.在长方体ABCD-A/C1D1中，已知AB=2,BC=t,若在线段AB上存在点E,使得EGJ_ED,则实数r的取值

范围是.

16.如图所示的空间几何体A8CDEFG中，四边形ABC£＞是边长为2的正方形，AE_L平面ABC。，EF//AB,

EG//AD,EF=EG=1.

(1)求证：平面CFG_L平面ACE；

(2)在AC上是否存在一点使得EH〃平面CFG?若存在，求出CH的长；若不存在，请说明理由.

微专题10几何法求空间角与距离【解析版】

一、几何法求空间角

【例1】(1)在直三棱柱ABC-ALBIG中，AB±BC,AB=BC=AAi，D,E分别为AC,BC的中点，则异面直

线GO与所成角的余弦值为()

AW

3

c.逗

10D骞

(2)如图，已知正四棱锥P-A8CD底面边长为2,侧棱长为4,M为侧棱PC的中点，则直线与底面ABC。所

成角的正弦值为()

Af

3

c叵D?

6

(3)如图所示，在三棱锥S-ABC中，ASBC,△ABC都是等边三角形，且BC=2,SA=g则二面角S-BC-A的

大小为

s

答案：(1)D(2)D(3)60°

解析：(1)设42=2,取46的中点尸，连接CbF,DF,DE,则瓦出i,因为£>,E分别为AC,BC的中

点，所以r>E〃AB,DE=^AB,因为AiBi^AB,所以BiF=DE,所以四边形DEBF为平行

四边形，所以。尸〃RE,所以/G。尸为异面直线Ci。与SE所成的角或补角.因为ABLBC,AB=BC=AA\=2,

D,E分别为AC,BC的中点，所以DF=&E=J12+22=V5,CiF=J12+22=V5,CQ=J(V2)2+22=V6,

所以粤.故选D.

DFV510

(2)作尸。，底面ABC。于O,连接OC,因为正四棱锥尸-4BCD底面边长为2,故OC=&,又侧棱长为4,故

PO=［《。2一。02=旧.又M为侧棱PC中点,取OC的中点/，连接AfF,BF,则MF|p<9,且MF_L平面

-BC

ABCD,故是与平面ABC。所成的角，且加尸=/。=孚又8§/武力/=„在八BCM中，由余弦定

理有1BC2+CM2—2BC•CMcos乙BCM=V^.在△BFM中,$皿/知8歹=竺=隼=再.故直线与底面

\BM2<66

ABC。所成角的正弦值为四.

6

(3)如图所示，取BC的中点D,连接4。，SD,因为△ABC,△SBC都是等边三角形，所以SB=SC,AB=

AC,因此有AD_L8C,SO_L8C.所以NADS为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角.又因为8c=2,所以

SD=^SB2~BD2=^4-1=73,AD=JAB2~BD2=^4-1=73,而SA=W,所以ASZM是正三角形，所以

NAOS=60。，即二面角S-BC-A的大小为60°.

0训练

1.在三棱柱ABC-AiBiCi中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点。是8G与81c的交点，则AQ与平面BBCC

所成角的正弦值是()

解析：C取BC的中点E,连接。E,AE,如图.依题意三棱柱ABC-4B1G为正三棱柱，设棱长为2,贝《AE

V3,DE=1,因为。，E分别是2G和BC的中点，所以£)E〃CCi,所以。及L平面ABC,所以所以

AD=JaE2+DE2=Vm=2.因为AE_LBC,AELDE,BCCiDE=E,所以4E_L平面88clC,所以/4OE是AZ)

与平面班©C所成的角，所以sin/ADE=^=当，所以A。与平面88cle所成角的正弦值是当

2.在正四棱锥尸-ABC。中，M为棱AB上的点，且PA=AB=2AM,设平面PAD与平面PMC的交线为/,则异面直

线I与8c所成角的正切值为.

答案：客

解析：连接CM并延长交ZM的延长线于点N,则点N为平面24。与平面PMC的公共点，所以/即为直线PN,

因为BC〃4),所以NPND或其补角为异面直线/与8c所成角，取D4的中点。，连接。P,则OPLA。，设PA

=AB=2AM=2,则。4=1,OP=V3,0N=3,所以tan//W£)=^=¥，所以异面直线/与BC所成角的正切值

二、几何法求距离

【例2】(1)如图，在四棱锥P-ABCD中，P81,平面ABC。，PB=AB=2BC=4,AB1.BC,则点C到直线PA

的距离为()

A.2V3B.2V5

C.V2D.4

(2)如图所示，在长方体ABCD-AiBGP中，AO=AAi=2,A2=4,点E是棱4B的中点，则点E到平面ACA

的距离为()

A.1

4

C.-D.V2

3

答案：(1)A(2)B

解析：(1)如图，取尸A的中点M,连接CM,因为尸平面ABCO,又BCU平面ABCD,所以

PB±BC,又因为AB_LBC,PBCAB=B,PB,ABU平面PAB,所以BC_L平面P4B,又PAU平面PAB,所以

BCLPA,BCLPB,因为M是尸A的中点，PB=AB,所以8M_LPA,又8C_LPA,BMCBC=B,BM,BCU平面

BCM,所以PA_L平面BCM,又CMU平面BCM,所以CM±PA,即CM为点C到直线PA的距离.在等腰

RtAPAB中，BM=曰PB=2五,在RtABCM中，CM=JBM2+BC2=V8T4=2V3,故点C到直线PA的距离为

2V3.

(2)设点E到平面AC。的距离为//,因为点E是棱A8的中点，所以点E到平面ACA的距离等于点8到平面

ACU的距离的一半，又平面AC。过8。的中点，所以点8到平面ACA的距离等于点。到平面ACA的距离，由

等体积法％一4皿=%皿，所以沁母/人孤行/犯，SAACD=|X2X4=4,g=2,在AACDi中，ADi=

2V2,AC=CDi=2V5,所以5口4皿=舜2或义］(24)2-(V2)?=6,则乔6乂2/1=94><2,解得/i=|,即点

E到平面ACDi的距离为(

0训练

1.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-A8C。中，侧棱PA_L底面48C。，ZABC=90°,PA=AB=BC=2,

AD//BC,则AD到平面PBC的距离为.

答案：V2

解析：因为AZ)〃BC,AOC平面RBC,8CU平面尸BC,所以A。〃平面P8C,所以AZ)到平面PBC的距离等于点

A到平面PBC的距离，因为侧棱PA_L底面ABCD,所以PA_LAB,PALBC,因为/48C=90。，§PAB±BC,因为

PAdAB=A,所以BC_L平面尸48,所以BC_LP8,因为PA=4B=BC=2,所以PB=2近，设点A到平面P8C的

距离为d,则由V^»#P-ABC=V三棱锥A-P5。得ABC=/•SAPBC,所以：X2X2X2X2=：d><Tx2企义2,得d=a,

所以A£>到平面PBC的距离为也.

2.如图，在直三棱柱ABC-AiBiG中，AB=4,AC=BC=3,。为AB的中点.

(1)求点C到平面AiABBi的距离；

(2)若A2JAC，求二面角4-CDG的余弦值.

解：(1)由AC=BC,。为AB的中点，得CD_LAB.又CD_LA4i,AXA^AB=A,故CD_L平面AiABBi,所以点C

到平面A1AM1的距离为CD=BC2-BD2=V5.

（2）如图，取线段Aia的中点£>i,连接"h,则皿〃44i〃CG.

又由（1）知CD_L平面故CD_LA。，CDLDDx,所以为所求的二面角4-CO-G的平面角.

因为4。为4c在平面A1A881上的射影，又已知ABi_L4C,由三垂线定理的逆定理得从而

ZAiABi,N4D4都与/SAB互余，

因此/AiABi=/4ZM,所以RSAIADSRSB1AA因此第=署，即A看=40.43=8,得441=2/.

从而所以在RtAAQ£）I中，cosNAi£）£）i=f^=^^=¥.

即二面角A-CDG的余弦值为日

A级•基础达标

1.已知平面a,直线机，n,若〃Ua,则“zn_L〃”是“机_La”的（）

A.充分不必要条件

B.充要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析：C由〃u%m.Ln,不一定得到M_l_a；反之，由〃Ua,m_La,可得根_L儿.•・若〃u明贝《“相_L〃”是

“根J_a"的必要不充分条件.

2.如图，在斜三棱柱ABC-451cl中，NB4C=90。，BCi±AC,则G在底面45c上的射影H必在（）

4

A.直线上B.直线BC上

C.直线AC上DZABC内部

解析：A连接AG（图略），由AC_LAB,AC±BCi,ABHBCi^B,得AC_L平面ABG.；ACu平面ABC,.•.平

面A2G_L平面ABC,；.Ci在平面ABC上的射影H必在两平面的交线A2上.

3.设a,p是两个平面，/是两条直线，则下列命题为真命题的是（）

A.若a_L|3,，"〃ct,/〃B，则机_L/

B.若，"Ua,/cp,m//l,贝!Ja〃p

C.若aC0=MJ,I//a,I//p,则加〃/

D.若ZXp,m//1,则a_L|3

解析：C如图，在正方体ABCD-ALBCLDI中，对于A：设平面a为平面ABCD,平面。为平面4£>口4,根=

BiCi,l=BC,m//a,/〃B，a±p,但"〃/,故A错；对于B：m=BC,平面a为平面ABCD,HAD,平面［3为

平面ADDiAi,此时“zUa,/up,m//l,但a与|3不平行，B错；对于D：平面a为平面ABCD,平面|3为平面

A\B\C\D\,m—AAi,l—BBi,此时〃z_La,Z±p,m//l,但a与p平行不垂直，D错.

4.如图，设平面aC平面0=P。，EG,平面a,切，平面a,垂足分别为G,H.为使PQLGH,则需增加的一个条

件是（）

A.EF_L平面aB.EF_L平面p

C.PQ1GED.PQ±FH

解析：B因为EG,平面a,PQU平面a,所以EG,尸。.若EFL平面0,则由PQU平面印得EFLPQ.又EG与

£厂为相交直线，所以尸。，平面EFHG,所以尸

5.（多选）如图，在三棱锥V-ABC中，VO_L平面ABC,OGCD,VA=VB,AD=BD,则下列结论中一定成立的是

（）

XAC=BC

B.AB1VC

C.VCLVD

D.SAVCD-AB=S^ABC-VO

解析：ABD：VO_L平面ABC,ABU平面ABC,：.VO±AB,\'VA=VB,AD^BD,VD_L4A又：VOAVD=

V,平面VCD又：CDU平面VCO,.*.48_1。。又：4。=8。，：.AC=BC,故A正确；：ycu平面VCO,

：.AB±VC,故B正确；'：S^VCD=^VO-CD,ABC^AB-CD,：.VCD-AB=SAABC-VO,故D正确.由题中条件无法

判断VC_LVD,故选A、B、D.

6.(多选)如图，在长方体ABCDAiSCiQi中，A4i=AB=4,BC=2,M,N分别为棱CiA，CG的中点，贝U

()

A.A,M,N,B四点共面

B.平面4Z）M_L平面CDDiCi

C.直线BN与&/所成的角为60°

D.8N〃平面ADM

解析：BC如图所示，对于A中，直线AM,BN是异面直线，故A,M,N,8四点不共面，故A错误;

对于B中，在长方体ABCZXAiBiCQi中，可得A£)_L平面CDD1G,所以平面A£)M_L平面CDDiG,故B正确;

A,D,

对于C中，取C£)的中点。，连接B。，ON,则BiM〃2。，所以直线BN与所成的角为NNBO(或其补角).

易知△BCW为等边三角形，所以NN2O=60。，故C正确；

对于D中，因为8N〃平面A4i。。，显然8N与平面AQM不平行，故D错误.

7.已知NACB=90。，P为平面ABC外一点，PC=2,点尸到NACB两边AC,BC的距离均为,，那么点尸到平面

ABC的距离为.

答案：V2

解析：如图，过点尸作PO_L平面A8C于O,则PO为点P到平面ABC的距离.再过。作OE_LAC于E,OFLBC

于凡连接PE,PF,贝！|PE_LAC,P/tLBC.所以PE=PF=遮，所以OE=OF,所以CO为/ACB的平分线，即

NACO=45。.在R3PEC中，PC=2,PE=W,所以CE=1,所以OE=1,所以PO=JPE2—0E?=

J(V3)2-i2=V2.

*

8汝口图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为矩形，平面PAZ)_L平面A5CD,PALPD,PA=PD,E,b分别为

AD,尸3的中点.

P

fi

(1)求证：PELBC-,

(2)求证：平面PAB_L平面尸CD；

(3)求证：EF〃平面PCD

证明：(1)因为E为A£)的中点，

所以PEYAD.

因为底面ABCQ为矩形，

所以BC〃A。，所以PE_LBC.

(2)因为底面ABCO为矩形，所以

又因为平面PAO_L平面4BC。，平面PAOC平面ABCZ)=A。，ABU平面ABC。，

所以A3,平面PAD,

因为PDU平面PAD,所以AB±PD.

又因为P4J_P£),ABHPA^A,

所以P£)_L平面PAB.

因为PDU平面PCD,

所以平面PAB_L平面PCD.

(3)如图，取PC的中点G,连接PG,DG.

因为EG分别为P3,PC的中点，

所以FG〃BC,FG=-BC.

因为四边形ABC。为矩形，且E为AD的中点，

所以DE〃BC,DE=^BC.

所以。E〃FG,DE=FG.

所以四边形DEFG为平行四边形.

所以所〃DG

又因为EFC平面PC。，DGu平面PC。，

所以EF〃平面PCD.

B级•综合应用

9.在空间四边形A8C。中，平面平面BCD,且。A_L平面ABC,则△ABC的形状是()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不能确定

解析：B作交BD于E,:平面平面BCD,.,.AE_L平面2C£),BCU平面BC。，C.AELBC,

而ZM_L平面ABC,BCU平面ABC,J.DALBC,^'：AEDAD=A,...BCl,平面480,而ABU平面48。，

C.BCLAB,即△ABC为直角三角形.

10.在正方体ABCD-AiSGA中，E,尸分别为42,BC的中点，则()

A.平面平面BDDi

B.平面SEF_L平面AiBD

C.平面81EF〃平面AiAC

D.平面BEP〃平面AiCiD

解析：A如图，对于选项A,在正方体ABCD-AiSGA中，因为£,尸分别为AB,2C的中点，所以E尸〃AC,

又AC_L3£),所以E尸工BD,又易知DD』EF,BD^DDi=D,从而EF_L平面8。。1,又EFU平面B/F,所以平

面B£7、L平面故选项A正确；对于选项B,因为平面4由。口平面8£>5=8£),所以由选项A知，平面

修所，平面43。不成立，故选项B错误；对于选项C,由题意知直线与直线SE必相交，故平面SEF与平

面4AC不平行，故选项C错误；对于选项D,连接ABi,BC,易知平面ASC〃平面4GZ),又平面A&C与平

面SEP有公共点Bi,所以平面4CLD与平面SEF不平行，故选项D错误.故选A.

AEB

11.(多选)如图，四棱锥P-ABCZ)的底面为矩形，底面4BCD,4。=1,PO=A8=2,点E是尸2的中点,

过A,D,E三点的平面a与平面P2C的交线为/,贝！I()

AJ〃平面PAD

B.AE〃平面PCD

C.直线PA与/所成角的余弦值为个

D.平面a截四棱锥PABC。所得的上、下两部分几何体的体积之比为|

解析：ACD如图，取PC的中点e连接EF,DF,则AD〃所，即A,D,E,尸四点共面，即/为EF,对于

A,EF//AD,所以所〃平面PAD,即/〃平面PAD,故A正确；

对于B,由斯〃A£),若AE〃平面PCD,则必有AE〃。冗即四边形ADEE为平行四边形，则AO=EF,矛盾,

故B错误；

对于C,PA与/所成的角，即PA与所所成的角，即PA与A。所成的角，由底面A2C。，所以

cosZPAD=—=—,故C正确；

AP5

对于D,连接B£),丫尸-45。=¥。6矩形488=:义2乂2==,VABCDEF=VA-BDE~^~VD-BCFE=T;XX

产出空=干=|,故D正确.

vABCDEF-5

12.如图，在四棱锥S48C。中，底面四边形A8C。为矩形，平面ABCDP,。分别是线段2S,A。的中点,

点R在线段S。上.若AS=4,AD=2,ARLPQ,则AR=.

DQ-----1

竺宓•述

口木•

解析：如图，取SA的中点E,连接PE,QE.：SAJ_平面ABC。，ABU平面ABC。，：.SA±AB,而ABJ_AO,

ADHSA^A,AD,SAU平面SAD,平面SAD,故PE_L平面SAD,又ARU平面&4£>,；.P£_LAR又

'：AR±PQ,PEDPQ=P,PE,PQU平面PEQ,...AR，平面PEQ,：EQU平面PEQ,C.ARYEQ,'：E,。分别

为SA,AD的中点，：.EQ//SD,贝!]AA_LSD,在RsASO中，AS=4,AD=2,可求得SO=2而，由等面积法可

得AR^—.

13.如图，矩形ABC。中，AB=1,BC=a,PAX5?®ABCD,若在2C上只有一个点。满足PQ_LDQ,则a

答案：2

解析：如图，连接A。，取AD的中点。，连接。。.

平面ABCD,：.PA±DQ,XPQ-LDQ,二。。，平面PAQ,；.r)Q_L4Q..,.点。在以线段的中点。为圆

心，A£)为直径的圆上，又：在2C上有且仅有一个点。满足尸。，。。，...BC与圆。相切(否则相交就有两点满

足垂直，矛盾)，AOQLBC,'：AD//BC,：.OQ^AB^l,，2C=A£>=2,即。=2.

14.在四棱锥P-A8C。中，平面ABCO_L平面尸C。，底面48CD为梯形，AB//CD,AD±PC.

(1)求证：ADJ_平面PDC；

(2)若M是棱P4的中点，求证：对于棱BC上任意一点凡加/与PC都不平行.

证明：(1)在平面PCD中过点。作Z)H_LOC,交PC于”，

因为平面ABCD_L平面PCQ,OHU平面尸CD,平面A8COC平面尸CD=C。,

所以。H_L平面ABCD,

因为A£)u平面ABCD,

所以DHL