2025年高考数学一轮复习：一元二次不等式的解法 专项训练【原卷版】

2025年高考数学一轮复习-2.3.L一元二次不等式的解法-专项训练【原卷版】

时间：45分钟

基础巩固

一、选择题

1.下列不等式中是一元二次不等式的是（）

A.a2x2+2^0B,—<3

x2-\~x

C.—x2+x~m^OD.x3—2x+1>0

2.设关于％的不等式（办一l）（x+l）<0（a金R）的解集为{x|—

则。的值是（）

A.-2B.-1

C.0D.1

3.不等式6—x—2/<0的解集是（）

|I一，x<2-

A.kl2

-2<x

B.lliI

c,或、>2「

、3'

-x<—2,或%>一■

D.U2

4.在R上定义运算。：aQb=ab+2a+b,则满足：xO（x-2）<0

的实数x的取值范围为（）

A.{x[0<x<2}

B.{x|—2<x<l}

C.{x\x<—2,或%>1}

D.{x[—l<x<2}

5.不等式/一用一2<o的解集是（）

A.{%|—2<%<2}

B.{x\x<-2,或x>2}

C.{x|-1<X<1}

D.{x|x<—1,或x>l}

6.已知a<0,关于x的一元二次不等式ax2~(2+a>+2>0的解

集为()

2

A.{x\x<^,或%>1}B.{x\-<x<l}

aa

2

C.{x\x<l,或％/}D.{x|l<x<-}

aa

7.关于％的不等式N—24%—8层<05>0)的解集为｛小且

X2—X[=15,则4=()

A'

A,2Bf

r15

4

8.若不等式aN+bx+c〉。的解集是则不等式b(%2

—l)+a(x+3)+c>0的解集为()

II-4,•-X<1,或X>--

A.UI3<x<ljB.|x3

C.{x|-l<x<4}D.{x\x<~2.,或%>1}

二、填空题

x—l>a2,

9.若关于x的不等式组•解集不是空集，则实数。的

x-4<2a

取值范围是.

10.不等式办2+5x+c>0的解集为h32J,则。=,c

三、解答题

11.求下列不等式的解集.

(1)-2x2+x+1<0；

(2)3x2+5<3x；

(3)9x2~6x+1>0.

12.已知y=%2—卜+Jr+1.

(1)当时，解不等式yWO；

⑵若a>0,解关于x的不等式yWO.

能力提升

13.已知不等式办2—枚―1eo的解集是132J,则不等式/一旅

-a<0的解集是()

A.(2,3)

14.(多选题)已知不等式aN+bx+oO的解集为｛x_2<X<2J,则

下列结论正确的是()

A.a>0B.b>0

C.c>0D.a+b+c>0

15.关于x的不等式(a+l)x+q<0的解集中恰有3个整数，

则实数a的取值范围是.

16.已知夕：2——3%—220,q：x2—2(a~l)x+tz(a—2)^0,若_p

是q的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

2025年高考数学一轮复习-2.3.1-一元二次不等式的解法-专项训练【解析版】

时间：45分钟

基础巩固

一、选择题

1.下列不等式中是一元二次不等式的是(C)

A.a2x2+2^0B.-^—<3

C.—x2+x—m^OD.x3—2x+1>0

解析：选项A中，/=()时不符合；选项B是分式不等式；

选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合.故选C.

2.设关于％的不等式(ax—l)(x+l)<0(aQR)的解集为{x\—

Kx<l},则。的值是(D)

A.-2B.-1

C.0D.1

解析：根据题意可得，一1,

1是方程(ax—l)Q+D=0的两根，

代入解得。=1.

3.不等式6—%—2/<0的解集是(D)

II一久x<2•

A.kl2

II—2<x<--

B.UI2

f3

\x<—~,或%>2-

、3'

一<x<-2,或x>一»

D.卜2

解析：不等式变形为2x2+x—6>0,

又方程2N+x—6=0的两根为xi=5，X2=—2,所以不等式的解

集为k2.故选D.

4.在R上定义运算。：aGb=ab+2a+b,则满足：%0（%-2）<0

的实数》的取值范围为（B）

A.{x|0<x<2}

B.{x|-2<x<l}

C.{x|x<—2,或x>l}

D.{x|—l<x<2}

角星析：xO(x—2)=x(x—2)+2x+x—2<0

=r十%—2<0=—2<x<l.

5.不等式％2—恸一2<0的解集是（A）

A.{x|—2<x<2}

B.{x|x<—2,或x>2}

C.{x|—1<X<1}

D.{x[x<—1,或%>1}

解析:令片恸,则原不等式可化为产一方一2<0,即«—2)«+1)<0.

'：t=\x\^0.：.t~2<0.：.t<2.

\x\<2,得一2<x<2.

6.已知4<0,关于％的一元二次不等式4%2一(2+4)%+2>0的解

集为(B)

A.{x\x<-,或%>1}B.{x|-<x<l}

aa

C.{x\x<l,或％/}D.{x|l<x<-}

aa

解析：or?—(2+Q)X+2>0等价于(办一2)Q—l)>0,a<0,

6―l(x—1)<0,解得2<x<l,故原不等式的解集为

a

7.关于X的不等式12—24%—842<05>0)的解集为{小1<%<12}，且

%2—％1=15,则4=(A)

A,2B-2

C-JD-f

解析：由条件知%2为方程炉一2办一8层=0的两根，则％1+%2

=2a,X1X2——8a2.

由(X2—X1)2—(X1+%2)2—4%1%2

=(2a)2—4X(—8tz2)=36a2=152,解得a=j.

8.若不等式办2+bx+c>0的解集是则不等式b(X2

—l)+a(x+3)+c>0的解集为(A)

II―41-­X<l,或X>--

A.UI3<x<ljB.k3

C.{x|-l<x<4}D.{x\x<—2,或%>1}

解析：由题可知，办2+云+°=0有两个不等实根，分别为-4,1.

a<0,

b_Ra<0,

————3,

根据根与系数的关系得，a即出=34,

'=—4,c=-4a.

YZ

因此，b(x2—l)+<a(x+3)+c>0

可化为3ax2—3a+a%+3q—4q>o,

4

3x2+x_4<0,解得一不%<1,故选A.

二、填空题

x-l>a2,

9.若关于x的不等式组•解集不是空集，则实数。的

%—4<2a

取值范围是一l<a<3.

X>]+Q2

解析：依题意有,'要使不等式组的解集不是空集，应

x<4+2a,

有序+1<4+2%即层一2a—3<0,

解得一l<a<3.

11

10.不等式QN+5X+C>0的解集为132?则a=—6,c—

一1.

解析：由题意知4<0,且不等式对应方程的两个根分别为：,；，

51.1

一="+c，

a32

根据根与系数的关系得’

-=-x-.

a32

三、解答题

11.求下列不等式的解集.

(1)-2x2+x+^<0；

(2)3x2+5<3x；

(3)9x2-6x+l>0.

解：(1)原不等式可以化为2x2—x—；>0.\,方程2/一x—；=0的解

日1-^51+A/5

交L：X1=---,X2=-----,

44

■」一♦弋i-Hl

...原不等式的解集是产4'或"4..

(2)原不等式变形为3X2—3X+5W0.

VzKO,.二方程3X2—3x+5=0无解.

・••不等式3N—3x+5W0的解集是0.

•••原不等式的解集是。.

⑶...方程9%2—6x+l=0有两个相等实根羽=X2=：,二.

不等式9P—6x+l>0的解集为h3J.

12.已知y=x2—卜+jx+l.

(1)当时，解不等式yWO；

⑵若a>0,解关于x的不等式yWO.

解：（1）当时，不等式为y=%2—jx+IWO,

・'.I2j(x—2)W0,

1

.•.不等式的解集为%5

(2)二)=[J%—

当0<。<1时，有]>a,

.•.不等式的解集为tr

当a>l时，有］凡

...不等式的解集为ha'L

当4=1时，不等式的解集为{%|%=1}.

能力提升

13.已知不等式a/—板一120的解集是132」，则不等式12—'bx

—a<0的解集是(D)

A.(2,3)

n11

B.13'Z

D.(-3,-2)

解析：•..不等式。N—6%—120的解集是，32j,.'.a<0,方程办:

—fox—1=0的两个根为1,1,+11=工：,a=~6,b

a23a6

——5,.,.x2—bx—a<0=>x2+5x+6<0,(x+2)(x+3)<0,.,.不等式的

解集为(-3,-2).故选D.

r—<x<2.

14.(多选题)已知不等式办2+区+00的解集为U2J,则

下列结论正确的是(BCD)

A.a>0B.b>0

C.c>0D.a+b+c>0

解析：因为不等式。N+bx+c〉。的解集为2("<2,,故相应

的二次函数{x)=aP+6x+c的图象开口向下，所以q<0,故A错误；

1A

易知2和—是方程办2+bx+c=0的两个根，则有-=—1<0,—=

2aa

a

|>0,又"0,故b>0,c>0,故B、C正确；由二次函数的图象可知

当x=l时，y=a+6+c>0,故D正确，故选BCD.

15.关于x的不等式/一(a+l)x+q<0的解集中恰有3个整数，

则实数a的取值范围是一3Wa<—2或4<aW5.

解析：关于%的不等式9—(4