2025高考数学大一轮复习讲义：二次函数与幕函数

§2.6二次函数与幕函数

【课标要求】1.通过具体实例，了解幕函数及其图象的变化规律2掌握二次函数的图象与性质

(单调性、对称性、顶点、最值等).

■落实主干知识

【知识梳理】

1.幕函数

⑴幕函数的定义

一般地，函数_____________叫做幕函数，其中x是自变量，«是常数.

(2)常见的五种幕函数的图象

⑶幕函数的性质

①幕函数在(0,+8)上都有定义；

②当a>0时，幕函数的图象都过点___________和______________,且在(0,+8)上单调递增；

③当a<0时，幕函数的图象都过点____________且在(0,+8)上单调递减；

④当a为奇数时，y=f为；当a为偶数时，y=V为.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：fix)-■

顶点式：fix)-a(x-m)2+"(aWO),顶点坐标为.

零点式：fix)=a(x-不)(尤-尤2)(々#0),xi,尤2为./U)的.

(2)二次函数的图象和性质

y-ax2+bx+cy=ax2+bx+c

函数

(a>0)(〃<0)

y

图象

j/1

（抛物线）04tv

定义域

值域

对称轴x=

顶点

坐标

奇偶性当6=0时是________函数，当bWO时是非奇非偶函数

在（…，他

上单调递

在（…，

上单调递________;

单调性

在［啜,+8)

上单调递________

在［-9+8)上单调递________

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“J”或“X”）

1-

（1）函数y=是赛函数.（）

（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在无轴下方，贝Ua<0且/<0.（）

（3）二次函数y=a（x—1>+2的单调递增区间是[1,+°°）.（）

（4）若幕函数是偶函数，则a为偶数.（）

2.已知黑函数产段）的图象过点（8,2也）,则#9）的值为（）

A.2B.3C.4D.9

3.（2023.南京模拟）已知函数兀0二/-2x+2,%£（-2,2）,则函数兀i）的值域为（）

A.（2,10）B.[1,2）

C.[2,10]D.[1,10）

4.已知函数加）=％2+2（a-l）x+2在区间（-8,-3]上单调递减，则实数a的取值范围是

-探究

题型一幕函数的图象与性质

例1(1)(2023・合肥模拟)如图所示，图中的曲线是幕函数y=x"在第一象限的图象，已知〃取±2,

±3四个值，则相对应曲线G,C2,C3,C4的“依次为()

-C2

_1_

A.-2,-2,2,2B.2，2,2''2

,2-

C.-,-2,2,D.2,,/,2

（2）（2023・无锡模拟）“〃=1”是“黑函数小）=（层.-3〃+3*"-3在（0,+8）上单调递减”的

（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

，2+m2

跟踪训练1⑴幕函数产Z-(0＜m^3,加£Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+8)上单

调递增，则机的值为()

A.0B.2C.3D.2或3

m

(2)(2023・临沂模拟)如图所示是函数＞=%"Qn,n均为正整数且m,n互质)的图象，贝!]()

)‘=那

A.相，w是奇数，第＜1

B."2是偶数，”是奇数＜1

C.机是偶数，〃是奇数，目£>1

D.7〃，〃是奇数，明>1

题型二二次函数的解析式

例2已知二次函数人了）满足犬2）=-1-1）=-1,且式X）的最大值是8,试确定该二次函数

的解析式.

思维升华求二次函数解析式的三个策略

（1）已知三个点的坐标，宜选用一般式.

（2）已知顶点坐标、对称轴、最大（小）值等，宜选用顶点式.

（3）已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式.

跟踪训练2已知二次函数外）的图象过点（0,3）,对称轴为直线x=2,且方程犬劝=0的两个根

的平方和为10,贝!I危）的解析式为.

题型三二次函数的图象与性质

命题点1二次函数的图象

例3（多选）（2023・银川模拟）已知二次函数段）=办2+bx+c的图象如图所示，则下列说法正确

的是（）

A.2a+b=0

B.4a+2b+c<0

C.9〃+3Z?+c<0

D.abc<0

命题点2二次函数的单调性与最值

例4（2024・福州模拟）已知二次函数段）=加-x+2a-1.

⑴若式X)在区间［1,2］上单调递减，求。的取值范围；

⑵若。>。，设函数式X)在区间［1,2］上的最小值为g(a),求g(a)的表达式.

■微拓展

二次函数定轴动区间和动轴定区间问题

在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论：

(1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函

数在动区间上的最值”.

(2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这

种情况是“动二次函数在定区间上的最值”.

典例⑴已知函数式尤)=在区间［a,6］上的最小值为3a,最大值为36,则a+6等于

()

113

A.-4B.TC.2D.-r

oo

⑵若函数"X)-2bx+3a在区间［0,1］上的最大值为M,最小值为加，则M-加的值()

A.与。无关，与b有关

B.与。有关，与b无关

C.与〃有关，且与〃有关

D.与〃无关，且与b无关

跟踪训练3⑴(2024•宣城模拟)已知y=(x-m)(x-九)+2023(m<n)，且a,夕(a<£)是方程y=0

的两根，则a,夕，加，〃的大小关系是()

A.a<m<n<PB.m<a<n<P

C.m<a<P<nD.a<m<P<n

⑵(2023・镇江模拟)函数段)=，-4x+2在区间,加上的值域为[-2,2],则。-〃的取值范围

__________________

§2.6二次函数与塞函数答案

落实主干知识

知识梳理

1.⑴『⑶②(1,1)(0,0)

③(1/)④奇函数偶函数

2.(I)QX2+bx+c(〃#0)(m,ri)

4ac-b1

零点(2)R+oo

4〃

b

la

偶减增

增减

自主诊断

1.⑴X(2)V(3)X(4)X

2.B3.D4.(-8,4]

探究核心题型

例1(1)B

(2)C[因为加0=("一3W+3)X2'-3是福函数，

所以/—3"+3=1,

即iv—3w+2=0,

解得〃=1或n=2,

当n—1时，尤)=尤一1=:在(0,+8)上单调递减；当”=2时，y(尤)=x在(0,+8)上单调递

增.

所以un=r是"原函数人x)=(〃2—3a+3)/L3在(0,+8)上单调递减”的充要条件.]

跟踪训练1(1)D[当根=0时，y=/2,由倦函数性质得，y=/2在(0,十8)上单调递减；

当根=1时，y=x。，由嘉函数性质得，y=x°在(0,+8)上是常函数；

当机=2时，y=x4,由嘉函数性质得，图象关于y轴对称，y=f在(0,+8)上单调递增；

当机=3时，y=x10,由嘉函数性质得，图象关于y轴对称，在(0,十8)上单调递增.]

tn

(2)B[由福函数性质可知，y=;T与y=x的图象恒过定点(1,1),即在第一象限内的交点坐

标为(1,1),

m

-tn

当0Vx<1时，xn>x,则不1;

m

又y=%"的图象关于y轴对称，

m

-,-y=xn为偶函数，

mm

(-x)"=q(—XT=xn

又m,”互质，；.m为偶数,〃为奇数.]

例2解方法一(利用“一般式”解题)

设Xx)=or2+fcr+c(a。0).

「44+26+C=-1,

a—b-\-c=—1,

由题意得V

4ac-b2

4a

a——4,

解得b=4,

、c=7.

所以所求二次函数的解析式为

Kx)=-4f+4x+7.

方法二(利用“顶点式”解题)

设fix)=a(无一机>+w(aW0).

因为"2)=式-1),

所以抛物线的对称轴为x=2+，D=]所以机弓

又根据题意，函数有最大值8,

所以n=8,

所以人x)=a(x—习2+8.

因为12)=-1,

所以〃(2—,2+8=—1,

解得a=~4,

所以1%)=—4(j—；>+8

=-4—+4%+7.

方法三(利用“零点式”解题)

由已知得危)+1=0的两根为为=2,X2=~l,

故可设/(%)+1=a(x—2)(%+1)(〃W。)，即/(x)=Q/—ax—2a—1.

又函数有最大值8,

即4a(-2aT)(一©28

解得a=~4.

故所求函数的解析式为

犬x)=—4/+4x+7.

跟踪训练2於)=f-4x+3

例3ACD

例4解(1)由题意知aWO.

当a>0时，^^二办2—x+2a—1的图象开口向上，对称轴方程为x=/,所以式x)在区间［1,2］

上单调递减需满足

又。>0,所以o<〃W；

当a<0时，f(x)=ax2—x+2a—l的图象开口向下，对称轴方程为x=^<0,

所以兀0在区间［1,2］上单调递减恒成立.

综上，〃的取值范围是(一8,0)U^0,.

(2)①当即a23时,

府)在区间［1,2］上单调递增，

此时g(a)=y(l)=3a—2.

②当1<!<2，即:时，

/(X)在区间1，4上单调递减，在区间［士，2上单调递增，此时gm)=(—=2。一表一1.

③当汽22,即0<a/时，

在区间［1,2］上单调递减,

此时g(a)=/(2)=6a—3.

综上所述，g(a)=

6a—3,,

J2a—表―1,J，

*-2,aGI，+8).

微拓展

典例(1)A［因为八x)=-%2+x=-T(X—l)2+；wg的图象的对称轴为X=l,开口向下，函

数在(一8,1］上单调递增，在“，+8)上单调递减，

依题意弘其所以6W,

所以小)在区间m,切上单调递增,

|Aa)=3a,

所以族)=36,

—5层+〃=3〃,

即]

[—/+/?=3/?,

1?

所以〃，Z?为方程1%2+2x=0的两根，所以〃+》=—1=-4.］

2

(2)A［函数y(x)=f—2/?x+3〃的图象开口向上，且对称轴为直线x=b9

①当">1时，1%)在［0,1］上单调递减，贝IM=/(0)=3〃，m=黄1)=1-2/?+3〃，此时加一m=2。

—1,故A/一