2025届广东省广州市番禺区禺山中学高二上数学期末考试试题含解析

2025届广东省广州市番禺区禺山中学高二上数学期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列的前n项和为，则“数列是等比数列”为“存在，使得”的（）A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.充分不必要条件2．若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为（）A.4 B.5C.6 D.73．在正方体中，AC与BD的交点为M.设则下列向量与相等的向量是（）A. B.C. D.4．已知三棱锥O­ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用表示，则等于（）A. B.C. D.5．设，，，则下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.6．已知命题：；：若，则，则下列判断正确的是（）A.为真，为真，为假 B.为真，为假，为真C.为假，为假，为假 D.为真，为假，为假7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过且与椭圆相交于不同的两点，、不在轴上，那么△的周长（）A.是定值B.是定值C.不是定值，与直线的倾斜角大小有关D.不是定值，与取值大小有关8．给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）A.3 B.2C.1 D.09．已知向量，，且与互相平行，则的值为（）A.-2 B.C. D.10．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，直线BF与椭圆C的另一个交点为D，且，则C的离心率为（）A. B.C. D.11．椭圆的左右焦点分别为，是上一点，轴，，则椭圆的离心率等于（）A. B.C. D.12．已知函数，则（）A.1 B.2C.3 D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知=120°，且，则椭圆的离心率为___________.14．若直线与直线平行，则直线与之间的距离为_____15．点为双曲线上一点，为焦点，如果则双曲线的离心率为___________.16．已知直线和互相平行，则实数的值为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了名学生的得分（得分均为整数，满分为分）进行统计，所有学生的得分都不低于分，将这名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组（单位：分），得到如下的频率分布直方图（1）求图中的值，估计此次竞赛活动学生得分的中位数；（2）根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的名学生中有多少名学生获奖18．（12分）已知椭圆C：的右顶点为A，上顶点为B．离心率为，（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于D，E两点，直线：与x轴相交于点H，过点D作，垂足为①求四边形ODHE（O为坐标原点）面积的取值范围；②证明：直线过定点G，并求点G的坐标19．（12分）已知在等差数列中，，（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和20．（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，动点M满足（1）求动点M的轨迹方程；（2）若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点P，Q，点，且，直线NQ与双曲线C交于另一点B．证明：动直线PB经过定点21．（12分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（是参数）（1）求直线的直角坐标方程及曲线的普通方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值22．（10分）如图，四棱锥中，是边长为4的正三角形，为正方形，平面平面，、分别为、中点.（1）证明：平面；（2）求直线EP与平面AEF所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由充分必要条件的定义，结合等比数列的通项公式和求和公式，以及利用特殊数列的分法，即可求解.【详解】由题意，数列是等比数列，设等比数列的公比为，则，所以存在，使得，即充分性成立；若存在，使得，可取，即，可得，当，可得，此时数列不是等比数列，即必要性不成立，所以数列是等比数列为存在，使得的充分不必要条件.故选：D.2、A【解析】根据抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，得到点P(3，±2)，然后利用抛物线的定义求解.【详解】由题意，知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则P(3，±2)，∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选：A.3、C【解析】根据空间向量的运算法则，推出的向量表示，可得答案.【详解】，故选：C.4、D【解析】根据空间向量的加法、减法和数乘运算可得结果.【详解】.故选：D5、B【解析】利用特殊值法可判断ACD的正误，根据不等式的性质，可判断B的正误.【详解】对于A中，令，，，，满足，，但，故A错误；对于B中，因为，所以由不等式的可加性，可得，所以，故B正确；对于C中，令，，，，满足，，但，故C错误；对于D中，令，，，，满足，，但，故D错误故选：B6、D【解析】先判断出命题，的真假，即可判断.【详解】因为成立，所以命题为真，由可得或，所以命题为假命题，所以为真，为假，为假.故选：D.7、B【解析】由直线过且与椭圆相交于不同的两点，，且，为椭圆两焦点，根据椭圆的定义即可得△的周长为，则答案可求【详解】椭圆，椭圆的长轴长为，∴△的周长为故选：B8、C【解析】若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限，原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题；其逆命题为：若函数的图象不过第四象限，则函数是幂函数是假命题，所以原命题的否命题也是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个．选C9、A【解析】应用空间向量坐标的线性运算求、的坐标，根据空间向量平行有，即可求的值.【详解】由题设，，，∵与互相平行，∴且，则，可得.故选：A10、A【解析】设，根据得，代入椭圆方程即可求得离心率.【详解】设椭圆方程，所以，设，所以，所以，在椭圆上，所以，.故选：A11、A【解析】在中结合已知条件，用焦距2c表示、，再利用椭圆定义计算作答.【详解】令椭圆的半焦距为c，因是上一点，轴，，在中，，，由椭圆定义知，则，所以椭圆的离心率等于.故选：A12、C【解析】利用导数的定义，以及运算法则，即可求解.【详解】，，所以，所以故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设，由余弦定理知，所以，故填.14、【解析】由直线平行求参数m，再利用平行直线的距离公式求与之间的距离.【详解】由题设，，即，所以，，所以直线与之间的距离为.故答案为：15、【解析】利用双曲线的定义、离心率的计算公式、两角和差的正弦公式即可得出.【详解】由可得，根据双曲线的定义可得：，.故答案为：16、【解析】根据直线平行的充要条件即可求出实数的值.详解】由直线和互相平行，得，即.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），中位数为；（2）得分的平均值为，估计有260名学生获奖.【解析】(1)根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1计算得值；再由在中位数两侧所对小矩形面积相等即可计算得解.(2)由频率分布直方图求平均数的方法求出得分平均值即可估计；再求出不低于平均分的频率即可估计获奖人数.【小问1详解】由频率分布直方图知：，解得，设此次竞赛活动学生得分的中位数为，因数据落在内的频率为0.4，落在内的频率为0.8，从而可得，由得：，所以，估计此次竞赛活动学生得分的中位数为.【小问2详解】由频率分布直方图及(1)知：数据落在，，，的频率分别为，，此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为，则，所以估计此次竞赛活动得分的平均值为，在参赛的名学生中估计有260名学生获奖.18、（1）；（2）①；②详见解析；.【解析】（1）由题得，即求；（2）①由题可设，利用韦达定理法可得，进而可得四边形ODHE面积，再利用对勾函数的性质可求范围；②由题可得，令，通过计算可得，即得.【小问1详解】由题可得，解得，∴椭圆C的标准方程.【小问2详解】①由题可知，可设直线，，由，可得，∴，，∴，∴四边形ODHE面积，令，则，因为，所以，当时，取等号，∴，∴四边形ODHE面积取值范围为；②由上可得，直线，令，得，由，可得，∴，∴直线过定点G.19、（1）（2）【解析】（1）设的公差为，由等差数列的通项公式结合条件可得答案.（2）由（1）可得，由错位相减法可得答案.【小问1详解】设的公差为，由已知得且，解得，，所以的通项公式为【小问2详解】由（1）可得，所以，所以，两式相减得：，所以，所以20、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据双曲线的定义求得的值得双曲线方程；（2）确定垂直于轴，设直线BP的方程为，设，，则，直线方程代入双曲线方程，由相交求得范围，由韦达定理，利用N、B、Q三点共线，且NQ斜率存在，由斜率相等得出的关系，代入韦达定理的结论可求得的值，从而得直线BP所过定点【小问1详解】因为，所以，动点M的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的左支，则，可得，，所以，点M的轨迹方程为；【小问2详解】证明：∵，∴直线PQ垂直于x轴，易知，直线BP的斜率存在且不为0，设直线BP的方程为，设，，则，联立，化简得：，直线与双曲线左支、右支各有一个交点，需满足或，∴，，又，又N、B、Q三点共线，且NQ斜率存在，∴，即，∴，∴，∴，化简得：，∴，∴，即，满足判别式大于0，即直线BP方程为，所以直线BP过定点21、（1）直线的直角坐标方程是，曲线的普通方程是（2）【解析】（1）利用极坐标与直角坐标互化的公式进行求解，消去参数求出普通方程；（2）设曲线上任一点以，利用点到直线距离公式和辅助角公式进行求解.【小问1详解】因为，所以，即，将，代入，得直线的直角坐标方程是由得曲线的普通方程是【小问2详解】设曲线上任一点以，则点到直线的距离当时，，故曲线上的点到直线的距离的最大值