江苏省启东市2025届高一数学第一学期期末质量检测试题含解析

江苏省启东市2025届高一数学第一学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数，则下列是函数图象的对称中心的坐标的是（）A. B.C. D.2．下列函数中，与的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是（）A. B.C. D.3．如图，在正三棱锥中，，点为棱的中点，则异面直线与所成角的大小为（）A.30° B.45°C.60° D.90°4．已知，则的取值范围是（）A. B.C. D.5．设为全集，是集合，则“存在集合使得是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6．若正数x，y满足，则的最小值为（）A.4 B.C.8 D.97．已知函数若曲线与直线的交点中，相邻交点的距离的最小值为，则的最小正周期为A. B.C. D.8．下列函数中，最小正周期是且是奇函数的是（）A. B.C. D.9．已知正弦函数f(x)的图像过点,则的值为()A.2 B.C. D.110．下列各角中，与终边相同的角为（）A. B.160°C. D.360°二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知且，函数的图象恒经过定点，正数、满足，则的最小值为____________.12．边长为3的正方形的四个顶点都在球上，与对角线的夹角为45°，则球的体积为______.13．若，，则=______；_______14．要制作一个容器为4，高为无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）15．设，则a，b，c的大小关系为_________.16．计算：___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．由历年市场行情知，从11月1日起的30天内，某商品每件的销售价格(元)与时间(天)的函数关系是，日销售量(件)与时间(天)的函数关系是.（1）设该商品的日销售额为y元，请写出y与t的函数关系式；（商品的日销售额=该商品每件的销售价格×日销售量）（2）求该商品的日销售额的最大值，并指出哪一天的销售额最大？18．已知集合，.（1）若，求；（2）在①，②，③，这三个条件中任选一个作为条件，求实数的取值范围.（注意：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）19．从某校随机抽取100名学生，调查他们一学期内参加社团活动的次数，整理得到的频数分布表和频率分布直方图如下：组号分组频数1628317422525612768292合计100从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的概率；求频率分布直方图中的a、b的值；假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生本学期参加社团活动的平均次数20．设向量（Ⅰ）若与垂直，求的值；（Ⅱ）求的最小值.21．在中，，且与的夹角为，.（1）求的值；（2）若，，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】根据三角函数性质计算对称中心【详解】令，则，故图象的对称中心为故选：A2、C【解析】先求得函数的奇偶性和单调性，结合选项，利用函数的性质和单调性的定义，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数满足，所以函数为偶函数，当时，可得，结合指数函数的性质，可得函数为单调递增函数，对于A中，函数为奇函数，不符合题意；对于B中，函数为非奇非偶函数函数，不符合题意；对于C中，函数的定义域为，且满足，所以函数为偶函数，设，且时，则，因为且，所以，所以，即，所以在为增函数，符合题意；对于D中，函数为非奇非偶函数函数，不符合题意.故选：C.3、C【解析】取BC的中点E，∠DFE即为所求，结合条件即求.【详解】如图取BC的中点E，连接EF，DE，则EF∥AB，∠DFE即为所求，设，在正三棱锥中，，故，∴，∴，即异面直线与所成角的大小为.故选：C.4、B【解析】根据对数函数的性质即可确定的范围.【详解】由对数及不等式的性质知：，而，所以.故选：B5、C【解析】①当，，且，则，反之当，必有.②当，，且，则，反之，若，则，，所以.③当，则；反之，，.综上所述，“存在集合使得是“”的充要条件.考点：集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题.6、C【解析】由已知可得，然后利用基本不等式可求得结果【详解】解：因为正数x，y满足，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，故选：C【点睛】此题考查基本不等式应用，利用了“1”的代换，属于基础题7、D【解析】将函数化简，根据曲线y＝f（x）与直线y＝1的交点中，相邻交点的距离的最小值为，即ωx2kπ或ωx2kπ，k∈Z，建立关系，可得ω的值，即得f（x）的最小正周期【详解】解：函数f（x）＝cosωx+sinωx，ω＞0，x∈R化简可得：f（x）sin（ωx）∵曲线y＝f（x）与直线y＝1的相交，即ωx2kπ或ωx2kπ，k∈Z，∴（）+2kπ＝ω（x2﹣x1），令k＝0，∴x2﹣x1，解得：ω∴y＝f（x）的最小正周期T，故选D【点睛】本题考查了和差公式、三角函数的图象与性质、三角函数的方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8、A【解析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】A选项，的最小正周期是，且是奇函数，A正确.B选项，的最小正周期是，且是奇函数，B错误.C选项，的最小正周期为，且是奇函数，C错误.D选项，的最小正周期是，且是偶函数，D错误.故选：A9、C【解析】由题意结合诱导公式有：.本题选择C选项.10、C【解析】由终边相同角的定义判断【详解】与终边相同角为，而时，，其它选项都不存在整数，使之成立故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、9【解析】由指数函数的性质可得函数的图象恒经过定点，进而可得，然后利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.【详解】解：因为函数的图象恒经过定点，所以，又、为正数，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9.故答案为：9.12、【解析】根据给定条件结合球的截面小圆性质求出球O的半径，再利用球的体积公式计算作答.【详解】因边长为3的正方形的四个顶点都在球上，则正方形的外接圆是球O的截面小圆，其半径为，令正方形的外接圆圆心为，由球面的截面小圆性质知是直角三角形，且有，而与对角线的夹角为45°，即是等腰直角三角形，球O半径，所以球体积为.故答案为：【点睛】关键点睛：涉及求球的表面积、体积问题，利用球的截面小圆性质是解决问题的关键.13、①.②.【解析】首先指对互化，求，再求；第二问利用指数运算，对数，化简求值.【详解】，，所以；,，所以故答案为：；14、160【解析】设底面长方形的长宽分别为和,先求侧面积，进一步求出总的造价，利用基本不等式求出最小值.【详解】设底面长方形的长宽分别为和,则，所以总造价当且仅当的时区到最小值则该容器的最低总造价是160.故答案为：160.15、【解析】根据指数函数和对数函数的单调性可得到，，，从而可比较a，b，c的大小关系.【详解】因为，，，所以.故答案为：.16、7【解析】直接利用对数的运算法则以及指数幂的运算法则化简即可.【详解】.故答案为：7.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）日销售金额的最大值为900元，11月10日日销售金额最大【解析】(1)由日销售金额＝每件的销售价格×日销售量可得;(2)利用二次函数的图像与性质可得结果.【详解】（1）设日销售额为元，则，所以即：（2）当时，，；当时，，故所求日销售金额的最大值为元，11月10日日销售金额最大.【点睛】本题主要考查了利用数学知识解决实际问题的能力，解题的关键是要把实际问题转化为数学问题，利用数学中二次函数的知识进行求解函数的最值.18、（1）；（2）.【解析】（1）根据并集的概念和运算，求得.（2）三个条件都是表示，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】（1）当时，，所以.（2）三个条件、、都表示，所以，解得，所以实数的取值范围为【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.19、（1）0.9；（2）b=0.125；（3）7.68次.【解析】由频数分布表得这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的频数为90，由此能求出从该校随机选取一名学生，估计这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的概率由频数分布表及频率分布直方图能求出频率分布直方图a，b的值利用频率分布直方图和频数分布表能估计样本中的100名学生本学期参加社团活动的平均次数【详解】解：由频数分布表得这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的频数为：，从该校随机选取一名学生，估计这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的概率由频数分布表及频率分布直方图得：频率分布直方图中，估计样本中的100名学生本学期参加社团活动的平均次数：次【点睛】本题考查概率、频率、平均数的求法，考查频数分布表、频率分布直方图等知识，属于基础题20、(Ⅰ)2；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)先由条件得到的坐标，根据与垂直可得，整理得，从而得到．(Ⅱ)由得到，故当时，取得最小值为试题解析：（Ⅰ）由条件可得，因为与垂直，所以，即，所以，所以.（Ⅱ）由得，所以当时，取得最小值，所以的最