湖北省重点高中2024-2025学年高三年级上册8月联考 数学试卷（含解析）

2025届高三年级八月智学联考

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合4=料%2-%一2«015=L=则zn储）（）

A.[-1,1）B.[-1,1]C.（1,2]D.（l,+oo）

1—Z

2.若复数z满足——=l+i,i为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于（）

z-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知向量同=3,归一可=卜+2可,则,+可=（）

A.V3B.2C.75D.3

4.若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中二的系数为（

<XJX

）

A.8B.28C.70D.252

5.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”

“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图

2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧。瓦/C所在圆台的底面半径分别是彳和弓，且

公=5,弓二10,圆台的侧面积为150兀，则该圆台的体积为（）

D.875G兀

6.已知函数/（%）=2»时（加eR）为偶函数，则a=/（log20.8）/=/G02）c=/6回）的大小关系为（

）

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a

7.已知函数/（%）=2a523-（5出妙一（\）55）2（刃>0）的图象关于直线％=2轴对称，且/（X）在

0,方上没有最小值，则。的值为（）

3

A.B.1C.D.2

22

8.已知抛物线C：/=12了和圆dx—4y+4=0,点/是抛物线C的焦点，圆M上的两点

A,B满足AO=2AF,BO=2BF,其中。是坐标原点，动点尸在圆M上运动，则尸到直线48的最大距

离为（）

A.2+72B.V2C.4+72D.272

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的

件数的一组样本数据：3,4,3,1,5,3,2,5,1,3,则关于这组数据的结论正确的是（）

A.极差是4B.众数小于平均数

C.方差是1.8D.数据的80%分位数为4

10.已知正方体48CD-45]G2的棱长为2,在矩形4BC。内（包括边界）的动点£始终满足QE与平

面N8C。所成的角是二7T，则下列结论正确的是（）

4

B.动点E运动轨迹的长度为兀

C.不存在点E,使得平面4812〃平面。EQ

D.在正四面体。的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体的棱长可以是0.93

11.已知函数/（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为g（x）J（x+2）和g（x+l）都是奇函数,

/（1）=1，则下列说法正确的是（）

A.g（x）关于点（1,0）对称B.f（x）+f（-x）=0

2024

C.g（2025）=1D.2/（左）=0

k=0

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在八48。中，cosA=--,AB=7,BC=8,则△48C的面积是

7------

13.数列"〃｝是等差数列，且满足4=4〃+2—S'+i+S”，则％=.

22

14.已知双曲线、-二=1（。力〉0）的左焦点为尸，过坐标原点。作直线与双曲线的左右两支分别交于

ab

48两点，且F同=4成=则双曲线的渐近线方程为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是直角梯形，PB=PD,AD//BC,AB工BC,AB=也,

BC=2AD=2,平面0平面48C。，点。在48上，PB1CQ.

（1）求幺0:08的值；

（2）若四棱锥尸-48CD的体积是迷，求二面角尸-CD-4的余弦值

2

16.（本小题满分15分）

己知函数y=/（x）=ea+MxeR.

（1）若。=9,求过原点且与y=/（x）相切的切线方程；

（2）若关于x的不等式/卜）＞2%+6对所有工€（0,+00）成立，求a的取值范围.

17.（本小题满分15分）

某品牌专卖店统计历史消费数据发现：进店消费的顾客的消费额X（单位：元）服从正态分

布N（330,252）.为回馈广大顾客，专卖店对消费达一定金额的顾客开展了品牌知识有奖答题活动，顾客需

要依次回答两类试题，若顾客答对第一类题，则回答第二类题，若顾客没有答对第一类题，则不再答第二类

题，直接结束有奖答题活动.对于每一类题，答错得0分，答对得10分，两类题总分20分，答题结束后可

减免与得分相同数额的现金（单位：元）.每类试题均有两次答题机会，在任意一类试题中，若第一次回答正

确，则认为答对该类试题，就不再进行第二次答题.若第一次回答错误，则进行第二次答题，若第二次答题

正确，则也认为答对该类试题；若第二次回答错误，则认为答错该类试题.

（1）若某天有200位进店消费的顾客，请估计该天消费额X在（305,+8）内的人数（结果保留整数）；

附：若X〜则尸（〃一（7W万4〃+（7）30.6827,尸（〃-20_4万4〃+2（7）30.9545.

3

（2）某顾客消费达到指定金额后可参与答题活动，幺类题中的两次答题机会答对的概率都是巳，5类题中

4

2

的两次答题机会答对的概率都是一，且每次答题相互独立.

3

若答题结束后可减免的现金数额为X元，求X的分布列和数学期望.

18.（本小题满分17分）

22

椭圆E:二+与=1（。〉6〉0）的上顶点到右顶点的距离为V7，椭圆上的点到焦点的最短距离是1,点

ab

A为椭圆的左顶点,过点P（4,0）且斜率为左（左w0）的直线交椭圆于民C两点.

（1）求E的方程；

（2）直线分别交直线x=4于",N两点，且“V|=36,求直线的斜率左.

19.（本小题满分17分）

若项数为m（m>3）的数列｛%｝满足两个性质：①%=1吗eN*（i=2,3,…,加）；②存在

[{L2},l<k<n-l

ne使得%11,，并记

n<k<m-l

M=max｛[q是胸薄大项，1V左W〃｝.则称数列｛%｝具有性质Q.

（1）若加=4,%=2,写出所有具有性质。的数列也卜

（2）若机=2025,%025=16，求｛。〃｝的最大项的最大值；

（3）若=22°25,%,=1,且"“｝满足以下两条性质：（i）对于满足的项4和%,在

｛a”｝的余下的项中，总存在满足的项％,和%，使得4♦%=%,•4;（五）对于满足

Ws</V机的项4和4，在｛%｝的余下的项中，总存在满足W2<qV机的项％和%,使得

as-at=ap-aq.求满足上述性质的加的最小值.

2025届高三年级八月智学联考数学答案详解

1.【答案】B

【详解】解不等式——x—2W0,得—1WXW2,即/=[—1,2],函数y=ln（x—1）有意义，得x—l>0,

解得x>l,则8=(1,+8),([8)=(—s,l],所以znG5)=[—l,l].故选：B.

2.【答案】A

1_7

【详解】因为==l+i,所以1—z=(z—i>(l+i),即(2+i)z=i,所以

z-i

11

i/^z~\=-+-i,所以2对应的点的坐标为位于第一象限.故选：A.

2+1（2+i）（2-i）55（5

3.D

【分析】对,—可=5+2可两边平方化简可得庐+2限3=0,再对归+可平方化简后再开方即可.

【详解】由k一可=5+2可两边平方得，a2+b2-2a-b=a2+4b2+4a-b,

所以后+2万.3=0,所以K+]=方+庐+2限B=|同2=9,所以卜+可=3,故选：D.

4.【答案】D

【详解】易知〃=8,[机6—（机〉0）的展开式的二项式系数之和2"=（机—1）",优=3,则

(1丫-8-3r

展开式的通项公式：C；x3必x(—xT)=C；38r(—iyxx三

l)

令上至=—5/=6,所以二的系数为C；x32=252.故选：D.

2%5

5.【答案】C

【详解】《=5,弓=10,母线长/=10.圆台的高〃=Ji。？—52=5内,则圆台上下底面面积为

E=71X52=25匹52=71X1（）2=100兀，由圆台的体积计算公式可得:

F=161+而至+52)X〃=1X175JIX5G=金.故选C.

6.【答案】A

【详解】因为函数/(x)=2』(meR)为偶函数，则/(—x)=/(x)即k+加闫—x+对，即4加x=0对

于xeR恒成立，所以加=0,即/(》)=2忖.a=/(log20.8)=/(-log20.8)=/(log21.25),因为

>=3、在R内单调递增，则3°，5〉3°2〉1J=1082》在定义域内单调递增，则

0=log21<log21.25<log2J^=g<l易知，/。)=2凶在(0,+00)上单调递增，所以a<b<c.故选：

A.

7.【答案】C

【详解】f(x)=2COS2«X+sin2(yx-1=cos2(»x+sin2(yx=V2sin[2a>x+,因为/(x)的图象关于直

线x=A轴对称，所以/[鲁+1]=土亚，故鲁+；=左兀+|,左€2,即

a=6k+-,keZ,当2妙+工=—工+2E,即x=—3三+昼，左eZ时，函数/(x)取得最小值，因为

/(x)在(0,四]上没有最小值，所以包2色，即0W"，由0=6左+3<”，解得左4,，故无=0,

v73)8。382816

得0=3.

2

8.【答案】A

【详解】抛物线的焦点厂(0,3),圆〃：(x—2)2+(〉—2)2=4,其圆心M(2,2),半径^=2.设点

^^(》/)是满足入。=2版的任意一点，则J+j?=4[/+(^一3)2]化简得x2+(y—①2=4.所以

48是圆M与圆N的公共弦，将圆M与圆N的方程相减得，直线43的方程为x-了+2=0,取线段

|2-2+2|

=72,则|尸£|

48的中点E,连接PE,则|岫=y/2+2,\PE\mm=2-42,故选：A.

IImax

9.【答案】AC

【详解】数据从小到大排列为1,1,2,3,3,3,3,4,5,5.对于A,该组数据的极差为5-1=4,故A

正确；对于B,众数为3,平均数为1义2+2+3*4+4+5*2=3,两者相等，故B错误；对于C,

10

^[(1-3)2X2+(2-3)2X1+(3-3)2X4+(4-3)2X1+(5-3)2X2]=1.8,故C正确；对于D,

♦.TOx80%=8,.,.这组数据的80%分位数为第8个数和第9个数的平均数4.5,故D错误.故选：AC.

10.【答案】ABD

20

V

【详解】VB[C]Dl-ABCD=^-A-AADX=—所以A正确.因为平面/所以N2瓦)是直线

7T

AS与平面48C。所成的角，依题设，ND[ED=+nDE=2,又在矩形48CD内，所以B正确：当点

4

E在对角线。8上时，平面GDE即为平面GQ8,因为G。〃幺平面N8Q1，所以〃平面

48。1，同理GE〃平面48Q1，又因为4。口。避=。1，所以平面GQ8〃平面4BQ1，故C错误；对

于D：容易求得正四面体2—480的高〃=孚，设正四面体48。的内切球O1的半径是r,则

叫。•〃=",所以设半径是的球O的内接正四面体的边长为a,

VDI_ABIC=；54xr=g=g，rx

则可将内接正四面体补形成边长为母的正方体，则迎=走，解得。=迪〉0.93,所以D正确.

2433

11.ABD【详解】对于A：由g(2x+l)为奇函数，则g(2x+l)+g(—2x+l)=0,

则g(x+l)+g(—x+l)=0,即g(x)的图象关于点(1,0)对称，故A正确；

对于B：由g(x+l)为奇函数，则g(x+l)+g(—x+l)=0,

即得/(x+1)—/(—x+l)=c,c为常数，令x=0,即得/(I)—/(l)=c,则c=0,

故/(x+l)_/(—x+l)=0,即/(x)—/(2—x)=0,则/(x—2)_/(4_x)=0,

又/(x+2)为奇函数，所以/(x+2)+/(—x+2)=0,

即〃x)+/(4—x)=0,可得/(x—2)=—/(x),故/(x—2)=—/(2—x),

故/(—x)=—/(x)，即/(》)+/(—x)=0,即/(x)是奇函数，故B正确；

对于C：由于/(x)+/(4—x)=0,故/(4-x)=-/(x)=/(-x),即"4+x)=/(x),

故4是/(x)的一个周期，

又/'(x)—/'(4-x)=0,即g(x)=g(4—x),所以g(x)为周期为4的周期函数，

因为g(2x+l)+g(—2x+l)=0,所以g(l)+g(l)=O,即g(l)=O,

所以g(2025)=g(4x506+1)=g(l)=O,故C错误；

对于D：因为/(x)是R上的奇函数，故/(O)=OJ(l)=l,结合/(》)—/(2—x)=0得"2)=0,

/(3)=/(2-3)=/(-1)=-/(1)=-1，/(4)=/(0)=0,

2024

故Z/⑹=506[/(1)+“2)+/(3)+/(4)]=0,故D正确.

k=\

故选：ABD

12.【答案】6G

【详解】由余弦定理BO?=282+幺。2—2NB-ZCCOSZ,得64=49+ZC?—14ZCX[—g],解得

AC=3(负值舍)，所以，△4BC的面积故答案为：6G.

13.【答案】2

【详解】由=4〃+2—Sn+1+Sn,得。〃+。〃+1=4〃+2,又。“=%+(〃—1。计]=%+nd,则

2%+(2〃—l)d=4〃—2,从而%=2

【详解】边接/£1修，由45关于原点对称，可知四边形是平行四边形，

BP\FA\=\F2B\,ZFBF2=^f由周二4周得：周二斜，

又由双曲线的定义得|丽H月回=2。，解得|而卜?月方/

2

再由余弦定理得：FF；=FB-+F2B-2FB-F2BcosZFBF2,

482国

22兀2

2X一

-64一QQ

99-3-3-39

2

故渐近线方程为：y=±-x,

-3

15.【详解】(1)证明：过点P作直线尸0,8。于点0,因为平面08。，平面/BCD,所以平面

ABCD,CQu平面/BCD,所以尸。，CQ,05，CQ,所以C0LAD.由四边形48CD是直角梯形,

^AB=6,BC=2AD=2,AB：LBC.在直角△48。中，BD=飞AB?+AD?=2,可得

DC=2,ZBCD=^,从而△BCD是等边三角形，CQ工BD/CBD=三,所以N3CQ=g.从而

BQ=BC-tanZBCQ=2tan-=毡,AQ=AB-BQ=—,所以NQ:05=1:2

633

(2)解：因为尸5=尸£),所以。是AD的中点，连接0C.

因为平面尸AD_L平面48CD,平面尸5。口平面48。。=80，所以R9_L平面48CD,

]

VPTBCD=3sABCD.P0=；.哈.P0=号，所以P°=3.

以。为原点，以。民。C,。尸所在的直线分别为XJ,2轴建立空间直角坐标系，在等边△6C。中,

oc=6如图，

B(1,O,O),C^),AO)£)(-l,0,0),P(0,0,3).可得而=(-1,0,-3),PC=(0,G,—3),设平面PCD的一

•"—»»

—/、n-PD=—x—3z=0/—

个法向量为〃i=(x,y,z),贝!_}_____,解得x=-3z,v=J32,法向量

«1-PC=V3j-3z=0

)=2(-3,6,1)令z=l得，1=(^3,G,l),而n=(0,0,1)是平面48CD的一个法向量，所以二面角

1_V13

P-CD-A的余弦值cos。=J#

-

阿[〃2V13-113-

【备注】几何法给满分

11，

16.【详解】(1)若设切点横坐标是人则切线斜率左=/'«)=；e2,切线方程是

-+11-+1、e

因为切线过原点，所以0—4=]32(z0-/),解得，，=2,所以切线方程是y=

(2)首先注意到/(0)=e,g(x)=e-i—2x+e,x>0,g'(x)=-2,

①若〃00,则g'(x)<0在x>0时恒成立，故g(x)单调递减，则对所有x>0,g(x)<g(0)=0,不满足

题意，故舍去；

②若〃>0,贝！工'|，令g'(x)<0得,x<-|ln--l令g<x)>0得,

a)a\a)

x>一fIn11.所以，g(x)在—oo,—fIn----11上单调递减,

g(x)在—|In—-1|,+oo上单调递

a\a)Ia\a))l八^))

增.

2?i<?A(i<2M

(i)若0<Q<—,则In—21,即一In——1>0,所以g(x)在0-In——1上单调递减,

eaa\a)\a\a9))

—1],+oo]上单调递增,则g(x)min=/flfin--l^</(0)=0不满足题意，故舍去;

l八^))aJ)'

2?i<?A

(ii)若—,则In—VI,即一In——1<0,所以g(x)在(0,+oo)上单调递增，则对所有x>0,

eaa\a)

g(x)>/(O)=O,符合题意.

综上所述，。的取值范围是-,+oo

e

【备注】用切线放缩做，只要过程严谨，给满分.

17.【详解】(1)由题意产(X〉305)=1—0—er”1——0.6827”0.84135,若某天该商场有

200位顾客，估计该天消费额X在(305,+00)内的人数为0.84135x200=168.27«168；

贝叱(X=0)=(l—1卜自一4=六,

(2)设X的取值为0,10,20,

\气/\气）1U

p(v5p（X=2）=l-P（X=0）-P（X=l）=|

',433443348

所以X的分布列为

X01020

八155

P-----

16|48|6

数学期望E(X)=Ox2+10x9+20x3=425

v716486~24'

425

【备注】第二问，讨论A为一类或二类给满分,只要最终结果出现——就行.

24

a-c~\

17.【详解】(1)由椭圆上的点到焦点的最近距离是1,故a-c=1,贝U。片+厅=J7,解得

a1=b2+c2

a—2,b=V3,

c=l,即椭圆E的方程为三+匕=1；

43

上左，二上一，所以

(2)设BQ],%)、C(x2,y2),由题可知，A(-2,0),则左=

西+2%+2

kx-k2=——产

xrx2+2(匹+/)+4

y~t(x-4)

①由题意，设5C所在的直线方程为歹=左(工—4),联立y2可得，

一千乂二1

143

(3+4左2卜2_32k—+64左2-12=0,且△=q32k21一4（4左2+3）（64左2-12）＞0,

解得0(,＜；依据韦达定理，西+%2二32k264左2—12

-3+4左2，*x2-3+4左2，

设直线AB的方程为j=一^(x+2),直线/C的方程为y=^^（x+2）,

X]-H2x?2

则依题设，4,-^1N(4,—空

，，%=左（七4）,%=左（》24）,

[%]+2J1%+工

贝_4=6乃％+12乂-6%西一128

国+2x2+2|匹、2+2（再+%2）+4

36Axi-36依A,71

-----------j-------三——二36kx

xrx2+2（再+%2）+4

1024左4256尸-48

2y0+4左2）3+4左2

（X]+x2）-4%[%2

即\MN\=\36k\x二136左X化简得

144左2

xrx2+2（匹+%2）+4

3+4左2

J144-576左2

\MN\=\36k\x

~144k2

依题设，|肱计=3不，—4=36，所以左=土;，满足0<陶<；合题