竖直平面内的圆周运动问题-高一物理复习讲义与训练（新教材人教版必修第二册）

第六章圆周运动

专题强化训练二:竖直平面内的圆周运动问题

一、单选题

1.汽车沿圆弧拱桥运动，圆弧拱桥的半径为R。汽车可视为质点，质量为加，重力加速度为g,某时刻汽

车经过最高点，下列判断正确的是（）

A.此时汽车对拱桥的压力大小可能为2祖g

B.如果汽车的速度为J史，汽车对拱桥的压力大小为她

V33

C.如果汽车的速度为陛，汽车对拱桥的压力大小为也

\44

D.如果汽车的速度为历，之后汽车做平抛运动

2.如图所示，倒置的光滑圆锥面内侧，有质量相同的两个小玻璃球A、B,沿锥面在水平面内作匀速圆周

运动，关于A、B两球的角速度、线速度和向心加速度正确的说法是（）

A.它们的角速度相等

B,A球的线速度小于B球的线速度

C.它们的向心加速度相等

D.A球的向心加速度大于B球的向心加速度

3.如图所示，长度为L=2.5m的轻质细杆OA的A端有一质量为相=2.0kg的小球，小球以。点为圆心

在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是JlUm/s，重力加速度g取10m/s?，则此时小球对

细杆OA的作用力为（

A.20.0N的拉力B.零

C.12.0N的压力D.40.0N的压力

4.杂技演员表演“水流星”，在长为0.9m的细绳的一端，系一个与水的总质量为机=0.5kg的盛水容器，以

绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为3m/s,则下

列说法正确的是（）

A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出

B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零

C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用

D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5N

5.关于如图°、图6、图（?、图d所示的四种圆周运动模型，下列说法不正确的是（）

A,图a圆形桥半径H，若最高点车速廊时，车对桥面的压力为零，车将做平抛运动

B.图6中，在固定圆锥筒（内壁光滑）内做匀速圆周运动的小球，受重力、弹力和向心力

C.图c中，仅在重力和轻绳拉力作用下，绕另一固定端。在竖直面内做圆周运动的小球，最容易拉断轻绳

的位置一定是最低点

D.图1中，火车以大于规定速度经过外轨高于内轨的弯道时，外轨对火车有侧压力，火车易脱轨做离心运

动

6.如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为相的人随车在竖直平面内旋转，重力加速度大小为g,

下列说法正确的是（）

A.过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来

B.人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力

C.人在最低点时对座位的压力等于机g

D.人在最低点时对座位的压力大于机g

7.如图甲所示，轻杆一端固定在转轴。点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周

运动，小球在最高点受到杆的弹力大小为「速度大小为%其歹-丫2图象如乙图所示，则（）

A.丫2=人时，杆对小球的弹力方向向上

b

B.当地的重力加速度大小为一

R

C.小球的质量为空

a

D.=2a时，小球受到的弹力与重力大小不相等

8.如图所示，一固定容器的内壁是半径为E的半球面，在半球面水平直径的一端有一质量为加的质点P,

它在容器内壁由静止开始下滑，到达最低点时速率为叭设质点P与容器内壁间的动摩擦因数恒为〃，重

力加速度为g,则在最低点处容器对质点的摩擦力大小为（）

/、

A.Jv2}(V2

B.LLmg+m一C.mngD.um----mg

RIR)IRJ

9.如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R,小球半径为广，则下列说

A.小球通过最高点时的最小速度匕加=Jg（R+厂）

B.小球通过b点时的速度不可能为0

C.小球在水平线M以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力

D.小球在水平线仍以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力

10.如图所示，轻杆一端与一质量为机的小球相连，另一端连在光滑固定轴上，轻杆可在竖直平面内自由

转动。现使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法中正确的

是（）

A.小球在运动过程中的任何位置对轻杆的作用力都不可能为零

B.小球运动到最低点时对轻杆的拉力大小有可能等于mg

C.小球过最高点时的最小速度为阚

D.小球过最高点时，杆对小球的作用力可以为零

11.如图所示，水平桌面上放了一个小型的模拟摩天轮模型，将一小物块置于该模型上某吊篮内，随模型

一起在竖直平面内沿顺时针匀速转动，二者在转动过程中保持相对静止（

A.物块在。处可能处于完全失重状态

B.物块在b处的摩擦力可能为零

C.物块在d处受到吊篮的作用力一定指向圆心

D.整个运动过程中桌面对模拟摩天轮模型的摩擦力始终为零

12.如图所示，细绳一端固定在。点，另一端系一小球，在。点正下方的尸点钉一钉子。在A点给小球一

竖直向上的初速度让其做圆周运动，恰好能通过最高点B,之后又经最低点C能绕P点做圆周运动，则（）

A.小球在8点速度为零

B.小球在8点向心加速度为零

C.绳与钉子相碰前后瞬间小球角速度不变

D.OP间距越大绳与钉子相碰时绳越容易断

二、多选题

13.如图，轻绳。4拴着质量为优的物体，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，下列说法正确的是（）

A.小球过最高点时，绳子拉力可以为零

B.小球过最高点时的最小速度是0

C.若将轻绳。4换成轻杆，则小球过最高点时，轻杆对小球的作用力可以与小球所受重力大小相等，方向

相反

D.若将轻绳OA换成轻杆，则小球过最高点时，小球过最高点时的最小速度是场

14.如图所示，质量为机的汽车，沿半径为R的半圆形拱桥运动，当汽车通过拱桥最高点B时速度大小为

V,则此时（）

A.汽车速度越大，对拱形桥压力越小

B.在B点的速度最小值为甄

C.若汽车速度等于曲，汽车将做平抛运动，越过桥后落地点与B点的水平距离为同

D.若汽车对桥顶的压力为整，汽车的速度大小为巫

22

15.如图所示，长为L的悬线固定在。点，在。正下方4处有一钉子C,把悬线另一端的小球机拉到跟悬

2

点同一水平面上无初速度释放，小球到最低点悬线碰到钉子的瞬间，则小球的（）

A.线速度突然变小B.角速度突然变小

C.向心加速度突然增大D.向心力突然增大

16.如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为凡现有一个半径略小于弯管横截面

半径的光滑小球在弯管里运动，通过最高点时的速率为vo,重力加速度为g,则下列说法中正确的是（）

A.若,则小球对管内上壁有压力

B.若廊,则小球对管内上壁有压力

C.若O<vo<病，则小球对管内下壁有压力

D.不论w多大，小球对管内下壁都有压力

17.石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一、假设某拱形桥为圆的一部分，半径为凡一辆质量为根

的汽车以速度v匀速通过该桥，图中。为拱形桥的最高点，圆弧PQS所对的圆心角为90。，P、S关于。。

对称，重力加速度为g。下列说法正确的是（）

A.汽车所受合力始终为0

B.汽车运动到。点时牵引力等于阻力

C.汽车运动到。点时，桥面对汽车的支持力小于汽车重力，汽车处于失重状态

兀R

D.汽车从尸点运动到S点所用的时间为——

4v

18.如图甲所示，轻杆一端固定在。点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运

动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为凡小球在最高点的速度大小为□其歹-图像如乙图

b

A.当地的重力加速度大小为一

R

B.小球的质量为敌

R

C.丫2=26时，小球受到的弹力与重力大小相等

D.v?=°时，小球对杆的弹力方向向上

19.如图，半径R=0.45m圆形管道固定在水平面上，管口直径很小。在内管壁的最低点连接着一个斜面，

斜面倾角为8=37°。直径略小于管口直径的小球A,以一定的水平速度进入管道，从管道的最高点飞出后

做平抛运动，经过02s后刚好垂直落在斜面上。已知小球质量为根=lkg,重力加速度g取10m/s2,不计空

气阻力，下列说法正确的是（）

A.小球从管道最高点飞出时的速度为1.5m/s

B.小球在管道最高点受到的弹力大小为5N,方向竖直向上

C.小球在斜面上的落点与圆心等高

D.小球做平抛运动的竖直位移与水平位移之比为2：3

20.如图所示，轻杆长为3L,质量均为他的球A和球B固定在杆的两端，杆可绕过。点的水平轴自由转

动，。点与球A距离为心外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面内转动。忽略一切阻力，重力加

速度大小为g。若球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，则下列说法正确的是()

A.球A和球B的角速度之比为1：2

B.球B运动到最高点时，球A的速度为避记

2

C.球B运动到最高点时，杆对水平轴的作用力大小为L5"g,方向竖直向下

D.球B运动到最高点时，杆对水平轴的作用力大小为3mg,方向竖直向上

三、解答题

21.如图所示，一长为/的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为根的小球，轻杆随转轴在

竖直平面内做角速度为。的匀速圆周运动，重力加速度为g。

(1)小球运动到最低点时，求杆对球的作用力的大小和方向；

(2)小球运动到最高点时，求杆对球的作用力的大小和方向；

(3)小球运动到水平位置A时，求杆对球的作用力的大小和方向。

22.如图，一个质量为%=0.6kg的小球以某一初速度从P点水平抛出，恰好从圆弧A8C的A点的切线方

向进入圆弧，已知圆弧的半径R=0.3m,。=60°，小球到达A点时的速度为4m/s,小球到达最高点C

时对轨道的压力为;机g,运动过程中不计空气阻力，g取lOm/sz,求：

(1)小球做平抛运动的初速度%；

(2)P点与A点的水平距离和竖直高度；

⑶小球到达圆弧最高点C时的速度大小。

B

23.如图所示，位于竖直平面上的光滑圆弧轨道，半径为R,沿竖直方向，上端A距地面高度为H,

4

质量为相的小球从A点释放，最后落在水平地面上C点处。不计空气阻力。己知小球到达2点时对圆弧轨

道的压力大小为3/g,求：

(1)小球到达B点时的速度大小；

(2)小球落地点C与3点的水平距离So

24.如图所示，图1是某游乐场中水上过山车的实物图片，图2是其原理示意图。在原理图中半径为R=0.8m

的圆形轨道固定在离水面高行3.2m的水平平台上，圆轨道与水平平台相切于A点，A、8分别为圆形轨道

的最低点和最高点。过山车(实际是一艘带轮子的气垫小船，可视作质点)高速行驶，先后会通过多个圆

形轨道，然后从A点离开圆轨道而进入光滑的水平轨道AC,最后从C点水平飞出落入水中，整个过程刺激

惊险，受到很多年轻人的喜爱。已知水面宽度为s=12m,假设运动中不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2,

结果可保留根号。

(1)若过山车恰好能通过圆形轨道的最高点8,则其在8点的速度为多大?

(2)为使过山车安全落入水中，则过山车在C点的最大速度为多少？

(3)某次运动过程中乘客在圆轨道最低点A对座椅的压力为自身重力的3倍，则气垫船落入水中时的速度

图I图2

参考答案

1.D

【详解】

A.汽车经过最高点由牛顿第二定律可知

N=mg-m—<mg

故A错误；

BCD.汽车经过最高点由牛顿第二定律可知

mg-N=m—

如果汽车的速度为J竽，代入解得

N=—mg

同理，如果汽车的速度为

N=—mg

如果汽车的速度为疑，代入解得

N=0

此时汽车只受重力且有水平方向的初速度，则汽车做平抛运动，故BC错误，D正确。

故选D。

2.C

【详解】

A.对A物体受力分析可知

设圆锥面和水平面的夹角为0,AB质量为〃2,由牛顿第二定律可知

mgtan0=mrK(o^

同理对B球，由牛顿第二定律可知

mgtan0=mr^a>^

因大>为,所以0A<<®B，故A错误；

B.对A由牛顿第二定律可得

mgtan0=m-^—

么

同理对B有

v2

mgtanu=m-5B—

rB

因大〉?,所以VA〉VB，故B错误；

CD.由前面分析可知它们的向心加速度a=gtan。，说明二者的加速度大小相等，故C正确，D错误。

故选C。

3.C

【详解】

在最高点，设杆子对小球的作用力向下，根据牛顿第二定律得

V2

mg+F=

代入数据解得

F=2x---20=-12N

2.5

负号表示杆对小球为向上的支持力，根据牛顿第三定律可知杆对小球为向下的压力12N。

故选C。

4.B

【详解】

ABD.当水对桶底压力为零时有

v

mig=mi——

r

解得

v=y[gr=y/10x0.9m/s=3m/s

由于“水流星”通过最高点的速度为3m/s,知水对桶底压力为零，不会从容器中流出，对水和桶分析，有

T+mg=m——

r

解得T=0,知此时绳子的拉力为零，故B正确，AD错误。

C.“水流星”通过最高点时，仅受重力，处于完全失重状态，故C错误。

故选B。

5.B

【详解】

A.图。中，在圆形桥最高点对车受力分析，根据牛顿第二定律，有

mg-N=m—

代入数据，可得

N=0

车将做平抛运动，故A正确，不符合题意；

B.图6中，在固定圆锥筒（内壁光滑）内做匀速圆周运动的小球，受重力、弹力，合力提供小球的向心力,

故B错误，符合题意；

C.图。中，仅在重力和轻绳拉力作用下，绕另一固定端。在竖直面内做圆周运动的小球，在最高点，有

mg+=m—

整理，可得

在最低点，有

整理，可得

vi

氐^m—+mg

根据能量关系可知

丫高<喉

故

F高<F低

最容易拉断轻绳的位置一定是最低点，故C正确，不符合题意；

D.图d中，火车以大于规定速度经过外轨高于内轨的弯道时，根据公式

V2

Fn=m—

r

可知，重力与支持力的合力不足以提供向心力，故外轨对火车有侧压力，火车易脱轨做离心运动，故D正

确，不符合题意。

故选Bo

6.D

【详解】

A.过山车在最高点时人处于倒坐状态，但是向心力是靠重力与坐椅的支持力提供，速度越大支持力越大，

所以没有保险带，人也不会掉下来，则A错误；

B.人在最高点时，由牛顿第二定律可得

V2

mg+TV=m—

r

当速度为v=J茄时，支持力为mg,由牛顿第三定律可得，人在最高点时对座位可以产生大小为:咫的压

力,所以B错误；

CD.人在最低点时，由牛顿第二定律可得

V2

N-mg-m—

则人在最低点时对座位的压力大于mg,所以C错误；D正确;

故选D。

7.C

【详解】

B.当尸=0时，y2=a，恰好由重力作为向心力，满足

v2

m2-m—

R

联立可得当地重力加速度大小为

a

S=R

B错误；

C.当丫2=。时，F=c，小球恰好处于平衡状态，可得

F=mg

可得小球的质量为

cR

m=——

a

C正确；

A.当

v2=b>a

所需的向心力大于重力，故杆对小球的弹力方向向下，A错误；

D.当"2=2“时，由牛顿第二定律可得

V2

F+me=m—

R

代入数据可解得斤mg,小球受到的弹力与重力大小相等，D错误。

故选Co

8.B

【详解】

小球在最低点，由牛顿第二定律得

V2

FN-mg=m—

解得

FN-mg-\-m一

R

则在最低点处容器对质点的摩擦力大小为

v2

/=〃综=^(mg+m—)

故选Bo

9.D

【详解】

A.由于有管道做支撑，所以小球通过最高点时的最小速度可以为零，故A错误；

B.当小球在水平线"以下的管道中运动且最高只能到达a、b两点时，小球通过6点时的速度即为0,故

B错误；

C.小球在水平线"以上的管道中运动时，如果小球通过最高点时的速度不大于Jg(H+r),则最高点处

的外侧管壁对小球一定没有作用力，故C错误；

D.小球在水平线"以下的管道中运动时，外侧管壁的弹力与重力沿半径方向的分力的合力提供小球的向

心力，该合力沿着半径指向圆心方向，合力的大小取决于小球的速度，而内侧管壁对小球一定无作用力，

故D正确。

故选D。

10.D

【详解】

AD.当小球过最高点时的速度为疑，此时小球和杆的作用力为零，A错误，D正确；

B.在最低点时

〃mv2

b-mg=-----

R

所以小球过最低点时对轻杆的拉力大小大于mg,B错误；

C.杆模型，小球过最高点时的最小速度为0,C错误。

故选D。

11.A

【详解】

A.。处对物体受力分析，由重力和支持力的合力提供向心力，有

22

G+=m—，Frr=F^.=G—m—

支R压支R

则当时

Fffi=0

A正确;

BC.在6、d处受到重力、支持力、指向圆心的摩擦力，则吊篮对物体的作用不指向圆心，B、C错误;

D.在d处对摩天轮受力分析，有重力、地面的支持力、物体对吊篮水平向左的摩擦力，摩天轮要保持平衡,

则需要受到地面的摩擦力，D错误.

故选A„

12.D

【详解】

A.小球恰能经过最高点B,则

mg=

可得

选项A错误;

B.小球在2点向心加速度为

%寸

选项B错误;

C.绳与钉子相碰前后瞬间小球线速度不变，半径减小，则角速度变大，选项C错误;

D.根据

T-mg=m^

r

可得

2

1=mg+m—

r

0P间距越大，则厂越小，T越大，则绳与钉子相碰时绳越容易断，选项D正确。

故选D。

13.AC

【详解】

AB.小球在最高点，向心力由重力和轻绳拉力共同提供，有

V2

r+me=m—

R

当轻绳拉力变小时，小球速度会随之减小，当拉力为零时，小球具有最小速度为

故A正确；B错误；

CD.若将轻绳0A换成轻杆，则小球过最高点时，轻杆对小球的作用力可以与小球所受重力大小相等，方

向相反，此时满足

V2

r-mg-m—=0

即小球过最高点的速度取零。故C正确；D错误。

故选ACo

14.AC

【详解】

A.当汽车通过拱桥最高点3时速度大小为v,设此时桥顶对车的支持力为M据牛顿第二定律可得

v2

mg—N-m—

可知，汽车速度越大，对拱形桥压力越小，A正确；

B.当

V=y[gR

N=0,即在8点的速度最大值为布e，B错误；

C.若汽车速度等于廊，汽车与桥面无压力，将做平抛运动，下落至与圆心等高处满足

R=~gt2

可得

水平方向

x=vt=\f2R

故汽车越过桥后落地点与2点的水平距离为而，C正确;

D.若汽车对桥顶的压力为整，即汽车受到的支持力为整，代入

22

v2

mg—N=m—

解得汽车的速度大小为

D错误。

故选ACo

15.CD

【详解】

A.碰到钉子的瞬间，根据小球所受的绳的拉力和重力均匀速度垂直，它们均参与提供向心力，而切向无力

改变速度的大小，故线速度不变，故A错误；

B.根据

v

a>=­

R

可知，半径减小，由于线速度不变，所以角速度增大，故B错误；

C.小球的向心加速度

由于半径减小，所以加速度增大，故C正确；

D.向心力为

F-ma

由上可知加速度突然增大，所以向心力突然增大，故D正确;

故选CD。

16.BC

【详解】

A.当小球到达管道的最高点，假设恰好与管壁无作用力，则有：小球仅受重力，由重力提供向心力，即

V2

m2=m—

R

解得

即%=朝，则小球对管内上壁无压力，A错误；

B.若v0＞强,则小球到达最高点时，与内上壁接触，从而受到内上壁的压力，B正确；

C.若0＜%＜再，则小球到达最高点时，与内下壁接触，从而受到内下壁的压力，C正确；

D.小球对管内壁的作用力，要从速度大小角度去分析，D错误。

故选BC„

17.BC

【详解】

A.汽车过的是拱形桥，做的是圆周运动，汽车所受到合力不能为零，A错误；

B.汽车以速度v匀速通过该桥，汽车运动到。点时牵引力等于阻力，B正确；

C.汽车运动到。点时，汽车做的是圆周运动，加速度向下指向圆心，是失重状态，桥面对汽车的支持力小

于汽车重力，C正确；

D.根据

解得

7lR

t=一

2v

D错误。

故选BC。

18.ACD

【详解】

AB.由图像知，当/=0时，F=a,故有

F=mg=a

由图像知，当优时，F=0,杆对小球无弹力，即

b

m2-m一

R

即

b

8=R

解得

aR

m=——

b

B错误A正确；

C.丫2=2》时，合力提供向心力

“2b

r+mg=m~

又

b

me=m—

R

可得

F-mg

C正确；

D.由图可知：当〈人时，杆对小球弹力方向向上，当丫2＞人时，杆对小球弹力方向向下，所以当卢=°

时，杆对小球弹力方向向下，小球对杆的弹力方向向上，D正确。

故选ACD„

19.ABD

【详解】

A.经过0.2s后刚好垂直落在斜面上，则有

vy=gt-2m/s

由平行四边形定则可知

%=vytan37°=1.5m/s

故A正确；

B.在最高点有

m2+N=m—

R

得

N=皿—机g=—5N

R

说明弹力方向向上，故B正确；

C.由公式

h=gg户

可知小球下落的高度

1,

〃=—xlOxO.2一m=0.2mwR

2

故C错误；

D.水平位移为

x=vot=0.3m

小球做平抛运动的竖直位移与水平位移之比为2：3,故D正确。

故选ABDo

20.BC

【详解】

A.球A和球B同轴转动则角速度相同，故A错误；

B.球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有

V2

mg=m——

2£

解得

V=yJlgL

由于A、B的角速度相等，A、B的半径之比为1：2,则线速度之比为1：2,所以此时A的速度为

M-同

2

故B正确；

CD.球B转到最高点时，杆子对B无作用力，对A分析，根据牛顿第二定律得

F-mg=m—

解得

F-1.5mg

则杆对水平轴的作用力为L5%g,方向竖直向下，故C正确，D错误。

故选BC。

21.(l)mg+ml^,竖直向上；(2)见解析；(3)加疗1瓦7，与水平方向夹角arctan备

【详解】

(1)小球运动到最低点时，由牛顿第二定律可得

2

Fx-mg=mla)

可得杆对球的作用力大小为

4=mg+ml①2

方向竖直向上。

(2)小球运动到最高点时，设杆对球的作用力尸2竖直向下，由牛顿第二定律可得

1

F2+mg=mlco

可得

2

F2=mlco—mg

这时，即杆对球没有作用力;

当（O-F2=0,

当&时，凡>0,杆对球的作用力竖直向下;

当04①〈行时，6<0,杆对球的作用力竖直向上。

(3)小球运动到水平位置A时，竖直方向有

Fy=mg

水平方向有