中考数学专项复习：-元二次方程（全章专项练习）（基础练）

专题2.16—元二次方程（全章专项练习）（基础练）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

（23-24八年级下•浙江•期末）

1.已知关于x的一元二次方程（"2）x?+3x+左2-4=0的常数项为0,则左的值为（）

A.-2B.2C.2或-2D.4或-2

（23-24九年级上•福建漳州•期末）

2.用配方法解一元二次方程V-4x+l=0,下列变形正确的是（）

A.（尤-2）2-3=0B.（x+4）2=15

C.（x+2）2=3D.（X-2）2=-3

（23-24八年级下•浙江宁波•期中）

3.代数式/-4x+5的值恒为（）

A.正数B.负数C.非正数D.非负数

（23-24八年级下•江苏南通•阶段练习）

4.方程V+g-1=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.没有实数根

C.有两个不相等的实数根D.不能确定

（22-23九年级上•福建莆田•期中）

5.若关于x的一元二次方程一一以+左=0有两个相等实数根，则左的值是（）

A.-1B.1C.-4D.4

（22-23九年级上•河南信阳•开学考试）

6.如果X2-X-1=（X-2）°,那么x的值为（）

A.2或一1B.0或2C.2D.-1

（23-24九年级上•湖北黄石•期末）

7.以x=4c为根的一元二次方程可能是（）

2

A.x1+bx+c=QB.x2+bx-c=0C.x2-bx+c=0D.x2-bx-c-0

（22-23九年级上•云南保山・期末）

8.已知一元二次方程/-10x+16=0的两个根是菱形的两条对角线长,则这个菱形的面积

试卷第1页，共4页

为（）

A.6B.8C.12D.16

（23-24八年级下•安徽合肥•期中）

9.若关于了的一元二次方程以2+加+2=0（420）有一根为％=2024,则一元二次方程

a（x-2）2+6x-2b=-2必有一根为（）

A.2024B.2025C.2026D.2027

（2024九年级上•全国•专题练习）

10.某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排

42场比赛.设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（）

A.x（x-l）=42B,；x（x+l）=42

C.x（x+l）=42D.—x（x-l）=42

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

（23-24八年级上•上海崇明•期末）

11.方程的根是.

（22-23九年级上•福建莆田•期中）

12.已知x=2是一元二次方程/+7“x+〃=0的一个根，贝！|2加+〃的值是.

（24-25九年级上•全国•课后作业）

13.已知关于x的一元二次方程5x2+冽x+l=0根的判别式的值为16,则加的值

为.

（22-23九年级上•四川成都•期中）

14.设加、〃分别为方程/+2尤-2025=0的两个实数根，则苏+3加+〃=.

（2024九年级上•江苏•专题练习）

15.若实数x满足，+x）（/+x+l）=42,则x?+x=.

（23-24九年级上•新疆伊犁•期末）

16.如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形

面积的一半，具体尺寸如图所示•求小路的宽是多少？设小路的宽是仙，根据题意可列方程

为.

试卷第2页，共4页

（23-24九年级上•河南周口•阶段练习）

17.小颖解一元二次方程3尤2口＞1=0时，一次项系数印刷不清楚，查看答案为

x=达空,贝加代表的数为.

3

（23-24九年级上•四川成都•期末）

1

%+------------j-------

18.定义：我们把形如再+------厂的数成为“无限连分数”.如果。是一个无理数，

X2H----------

X3+...

72+1=2+-------!-——X=1+-------!-——

那么。就可以展成无限连分数，例如：2+-'-―,如果1+—『

2+-------1+-------

2+...1+...

贝口=.

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

（22-23九年级上•广东佛山•期末）

19.用指定方法解方程：

⑴（公式法）X2+4X-5=0

（2）（配方法）2X2-4X-3=0

（2022•山东德州•一模）

20.先化简，再求值：卜飞「2―2%三其中x为一+3尸10=0的解.

\X十1J十1

（23-24八年级下•广西贺州•期末）

21.已知关于x的方程2?+4«：+“-3=0.

（1）求证：不论a取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程的一个根为1,求。的值及该方程的另一个根.

（23-24九年级上•江苏宿迁•阶段练习）

22.已知关于x的一元二次方程f-4x+%=0.

（1）若方程有实数根，求实数加的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为M，/，且满足5%+2%=5,求实数〃?的值.

（2024•广西•模拟预测）

试卷第3页，共4页

23.某景区研发一款纪念品，投放景区内进行销售，每件成本20元，销售一段时间发现,

每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图.

寸F蒜/件）

（1）求出销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数解析式；

⑵当销售单价为多少元时，每天的获利可以达到1600元.

（23-24八年级下•安徽淮北•阶段练习）

24.【探究学习】

把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用20”这一性质解决问题,

这种解题方法叫作配方法.配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用.

例如：求/+60+12的最小值.

解：a2+6a+12=a2+6a+32+3=(a+3)2+3,因为(a+3>20,所以(a+3)?+323,所以

当（a+3y=0时,即当。=-3时，/+6Q+12有最小值，最小值为3.

【解决问题】

工回

2a+5q+64B

7Si

FlIImIIm_

图1图20图3c

（1）当x为何值时，代数式/-8x+ll有最小值？最小值为多少？

⑵如图1所示的是一组邻边长分别为7,2a+5的长方形，其面积为H；如图2所示的是边

长为。+6的正方形，其面积为S?,a>0,请比较£与S2的大小，并说明理由.

（3）如图3,物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度46m的栅栏（图中实线部分）

围成一个长方形场地/BCD,且CD边上留两个1m宽的小门，设2C的长为xm,当x为何值

时，长方形场地4BCD的面积最大？最大值是多少？

试卷第4页，共4页

1.A

【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义

可得人-2W0,由题意又知公-4=0,联立不等式组，求解可得答案.

【详解】解：根据题意可得：

p-2^0

"4=0,

解得k=-2.

故选：A.

2.A

【分析】本题主要考查配方法的掌握，关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数

项的乘积，根据配方法的原理，凑成完全平方式即可.

【详解】解：x2-4x+1=0,

酉己方得：/一4x+4-3=0,

••.(X-2)2-3=0,

故选：A.

3.A

【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.将原式

整理为(x+2『+l,即可获得答案.

【详解】解：1.■x2-4x+5=x2-4x+4+1=(x+2)2+1,

又•••(;<•+2)&0,

x~—4x+5=(x+2)+1>0,

二代数式/-4x+5的值恒为正数.

故选：A.

4.C

【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式.只需求得八=〃一4℃的值，根据

A=b2-4ac>0>方程有两个不相等的实数根；A=ZJ2-4ac<0,方程没有实数根；

A=b2-4ac=0,方程有两个相等的实数根，进行分析判断.

【详解】解：；A=6?-4ac=疗+4>0

答案第1页，共11页

••.方程有两个不相等的实数根.

故选：C.

5.D

【分析】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程办2+云+C=0(。*0)的根与/一4幽

有如下关系：①当/-4ac>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当"-4ac=0时,

方程有两个相等的两个实数根；③当〃一4℃<0时，方程无实数根.根据关于x的一元二

次方程X?—4x+左=0有两个相等的实数根可知尸-4m=0,求出左即可.

【详解】解：,•・关于x的一元二次方程--4x+左=0有两个相等实数根，

A=(-钎-4左=0,

解得：k=4.

故选：D.

6.D

【分析】此题主要考查了因式分解法解一元一次方程，零指数次幕，最后检验xw2是解题

的关键.首先利用零指数嘉的性质整理一元二次方程，进而利用因式分解法解方程得出即

可.

【详解】解：•••X2-X-1=(X-2)°,

x2-X-1=1，

BP(x-2)(x+l)=0,

解得为=2,x2=-l,

当x=2时，x-2=0,

故x*2,

•••x=-1,

故选：D.

7.C

【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关

键.

根据公式法解一元二次方程即可求解.

【详解】解：A.x2+bx+c—0)

答案第2页，共11页

2

，x=-b±y/b-4c?故该选项不正确，不符合题意；

2

2

B.x+bx-c=OJ

.•.x」±"2+4c,故该选项不正确，不符合题意；

2

C.x2—bx+c=0

)±"2竺,故该选项正确，符合题意；

2

D.X?—bx—c=0,

・•.x=6土物+4<,故该选项不正确，不符合题意；

2

故选：C.

8.B

【分析】本题考查了解一元二次方程一因式分解法及菱形的性质，先利用因式分解法解方程

得到西=8,超=2,则菱形的两对角线长分别为8和2,然后利用菱形的面积等于对角线乘

积的一半求解.掌握菱形的性质和一元二次方程的解法是关键.

【详解】解：X2-10X+16=0,

(x-8)(x-2)=0,

x-8=0或x-2=0,

解得X1=8,x2=2,

即菱形的两对角线长分别为8和2,

所以菱形的面积=gx8x2=8.

故选：B.

9.C

【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关

键.利用整体思想设x-2=f得到方程”户+4+2=0,再根据关于x的一元二次方程

ax?+及+2=0(。w0)有一根为x=2024,即可得到/的值，从而可求解.

【详解】解：,・,。(％—2)2+&一26=—2,

/.6z(x—2)2+bx—2b+2=0,即a(x-2)2+b(x-2)+2=0.

设x-2二%,贝!!QD+6,+2=0.

答案第3页，共11页

・关于x的一兀二次方程+6x+2=0(a+0)有一■根为x=2024,

二在加2+6/+2=0中，t=2024,

x-2=2024,

解得：x=2026,

•••一元二次方程a(x-2)2+bx-2b=-2必有一根为2026.

故选C.

10.A

【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用比赛的总场数=七年级班级数x(七年级班级数

-1)，即可得出关于X的一元二次方程.

【详解】解：依题意得：x(x-l)=42.

故选：A.

11.0或-1

【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先移项，再利用因式分解的方法解方程即

可.

【详解】解：••・X2=f,

*'•+x=0,

x(x+l)=0,

('(X]=0,%2=—1,

故答案为：0或-1.

12.-4

【分析】本题主要考查了方程解的定义.解题的关键是将x=2代入原方程，利用整体思想

求解.由x=2是一元二次方程x2+mx+n=0的一个解，将x=2代入原方程，即可求得2m+n

的值.

【详解】解：,."x=2是一元二次方程x?+加x+〃=0的一个根，

4+2m+n=0,

2m+"=-4.

故答案为：-4.

13.±6

答案第4页，共11页

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式为

A=〃-4ac=16,代入数据求解即可

【详解】解：,•.4=5,6=加,c=l,

A=b2-4ac=-4x5x1=m2-20,

m2—20=16,

解得”7=±6,

故答案为：±6.

14.2023

【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据方程的解的定义得出

加？+2加-2025=0,求出〃/+2加=2025,根据根与系数的关系得出加+〃=-2,变形后代入，

即可求出答案.

【详解】解：.••"7、〃分别为方程/+2x-2025=0的两个实数根，

m2+2m—2025=0,

m2+2m=2025，

--m、"分别为方程f+2x-2025=0的两个实数根，

:.m+n=—2,

2+3加+〃=(m2+2m)+(m+H)=2025+(-2)=2023,

故答案为：2023.

15.6

【分析】本题考查解一元二次方程，代数式求值.解题的关键是掌握换元思想，因式分解法

解一元二次方程.设y=/+x,原方程化为”>+1)=42,解这个一元二次方程，可得[,+x)

的值是-7或6,用判别式排除/+x=-7,得x?+x=6.

【详解】解：设y=x2+x,

•.•(x。+0卜2+x+l)=42,

Q(y+1)=42,

解得：%=6或%=-7,

当x?+x=-7时，即：Y+X+7=0,

•■•A=12-4X1X7=-27<0,

答案第5页，共11页

此时无解，舍去;

■,■X2+x=6,

故答案为：6.

16.（30-尤）（20-x）=gx30x20

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设道路的宽应为x米，由题意有

（30-x）（20-x）=gx30x20,把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边

是做本题的关键.

【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意有

（30-x）（20-x）=1x30x20.

故答案为：（30-x）（20-x）=1x30x20.

17.-6

【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是根据一元二次方程解的定义，列

出关于办的方程，解方程即可.

【详解】解：设口代表的数为b,则一元二次方程为：3/+云-1=0,

把工=包芋代入得：爸池）+土芋6-1=0,

解得：b=-6,

二口代表的数为-6,

故答案为：-6.

18.由上1或匕好

22

1I】I

X=IH----------------=1+—

【分析】根据题意，得1+——1工整理得/7—1=0,解方程即可.

1+—

1+...

本题考查了新定义问题，正确转化成分式方程，一元二次方程是是解题的关键.

1I1I

x=\-\----------------=1+—

【详解】根据题意，得1+—『"

1+—

I+…

整理得/7—1=0,

答案第6页，共11页

解得x==l

经检验，x=是原方程的根,

2

故答案为：避上1或上正.

22

19.(1)西=1,/=-5

(、、Vio_、M

(2)再=l+-^-,x2=1———

【分析】(1)根据公式法解一元二次方程;

(2)先将二次项系数化为1,然后根据配方法解一元二次方程即可求解.

【详解】(1)解:X2+4X-5=0,

a=l,b=4,c=—5,A=Z>2—4ac=16+20=36,

-b±-4ac-4±6

X=-------------------=---------,

la2

解得：=1,x2=—5,

(2)解：2X2-4X-3=0,

2。3

・•・x-2x=—,

2

3

两边加上1,x—2x+l=—+1,

即(IPg

...VTo

•-x-1=±-----,

2

解得：占=1+巫,％=1-巫.

1222

【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

20.x+2,-3

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解方程得出X的值，选取使分

式有意义的X的值代入计算可得.

【详解】解：产油-2_2/号

\X十1JX十I

_(/+2x-2_2x+2).x-2

[x+1x+lJ'x+1

答案第7页，共11页

_x2-4.x-2

x+1x+1

_(x+2)(x-2)x+i

x+1x—2

=x+2,

,*,%2+3x-10=0,

(x+5)(x-2)=0,

则x+5=0或x-2=0,

解得再=-5,x2=2,

又,・•Nw-1,xw2,

当x=-5时，原式=2+(-5)=-3.

【点睛】本题主要考查分式的化简求值，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握分

式的混合运算顺序和运算法则.

21.(1)见解析

(2)«=|,该方程的另一个根-:

【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，以及一元二次方程的求解，熟记

相关结论是解题关键.

(1)对于一元二次方程ox?+6x+c=0(a*0),若A=/-4ac>0,则方程有两个不相等的

实数根；若△=〃一4℃=0,则方程有两个相等的实数根；若A=/-4ac<0,则方程没有

实数根.据此即可求解.

(2)将x=l代入方程即可求得。=；,据此即可求解；

【详解】(1)解：a=2,b=a,c=(〃一3)

A=a?—4x2x(a-3)=(a-4)2+8,

v(tz-4)2>0,

(a-4)2+8〉0,

••・不论。取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；

(2)解：将％=1代入方程得：2+a+a-3=0,

答案第8页，共11页

解得”;，

将〃=；代入方程，整理可得：2x2+|x-|=0,

即(%-1)(4%+5)=0,

解得x=l或无=二，

4

该方程的另一个根-

4

22.(l)m<4

(2)m=-5

【分析】此题考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，

(1)一元二次方程有实数根，则根的判别式A=〃一4acW0,建立关于加的不等式，求出加

的取值范围，根据根的判别式得到关于加的不等式是解题的关键；

(2)根据根与系数的关系得到再+3=4,又5网+2%=5求出X],然后代入/一4工+於=0

求解即可.

【详解】(1)•.♦方程有实数根，

.-,A=(-4)2-4m>0,

/.16-4m>0,

即加K4；

(2)•••再/2为该方程的两个实数根，

再+=4,

又5再+2X2=5,

3演+2(占+超)=5

.・.3芯+2x4=5

:.汨=一1,

将％=T代入/_4x+加=0得，(-1)2-4x(-1)+m=0

••・m=-5.

答案第9页，共11页

23.(l)y=-2x+160

(2)40元或者60元

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数表达式，解题的关键是理

解题意，能正确列出一元二次方程.

(1)利用待定系数法求解可得；

(2)由题意可得，(x-20)(-2x+160)=1600,再求解即可.

【详解】(1)解：设解析式为了=h+6,

根据图象可知，点(30,100)，(50,60)在〉=奴+6上，代入可得，

130左+6=100

"150后+