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文档简介
专题2.16—元二次方程(全章专项练习)(基础练)
一、单选题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
(23-24八年级下•浙江•期末)
1.已知关于x的一元二次方程("2)x?+3x+左2-4=0的常数项为0,则左的值为()
A.-2B.2C.2或-2D.4或-2
(23-24九年级上•福建漳州•期末)
2.用配方法解一元二次方程V-4x+l=0,下列变形正确的是()
A.(尤-2)2-3=0B.(x+4)2=15
C.(x+2)2=3D.(X-2)2=-3
(23-24八年级下•浙江宁波•期中)
3.代数式/-4x+5的值恒为()
A.正数B.负数C.非正数D.非负数
(23-24八年级下•江苏南通•阶段练习)
4.方程V+g-1=0的根的情况是()
A.有两个相等的实数根B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根D.不能确定
(22-23九年级上•福建莆田•期中)
5.若关于x的一元二次方程一一以+左=0有两个相等实数根,则左的值是()
A.-1B.1C.-4D.4
(22-23九年级上•河南信阳•开学考试)
6.如果X2-X-1=(X-2)°,那么x的值为()
A.2或一1B.0或2C.2D.-1
(23-24九年级上•湖北黄石•期末)
7.以x=4c为根的一元二次方程可能是()
2
A.x1+bx+c=QB.x2+bx-c=0C.x2-bx+c=0D.x2-bx-c-0
(22-23九年级上•云南保山・期末)
8.已知一元二次方程/-10x+16=0的两个根是菱形的两条对角线长,则这个菱形的面积
试卷第1页,共4页
为()
A.6B.8C.12D.16
(23-24八年级下•安徽合肥•期中)
9.若关于了的一元二次方程以2+加+2=0(420)有一根为%=2024,则一元二次方程
a(x-2)2+6x-2b=-2必有一根为()
A.2024B.2025C.2026D.2027
(2024九年级上•全国•专题练习)
10.某校七年级组织一次篮球赛,各班均组队参赛,赛制为每两班之间赛两场,共需安排
42场比赛.设七年级共有x个班,则下列方程正确的是()
A.x(x-l)=42B,;x(x+l)=42
C.x(x+l)=42D.—x(x-l)=42
二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
(23-24八年级上•上海崇明•期末)
11.方程的根是.
(22-23九年级上•福建莆田•期中)
12.已知x=2是一元二次方程/+7“x+〃=0的一个根,贝!|2加+〃的值是.
(24-25九年级上•全国•课后作业)
13.已知关于x的一元二次方程5x2+冽x+l=0根的判别式的值为16,则加的值
为.
(22-23九年级上•四川成都•期中)
14.设加、〃分别为方程/+2尤-2025=0的两个实数根,则苏+3加+〃=.
(2024九年级上•江苏•专题练习)
15.若实数x满足,+x)(/+x+l)=42,则x?+x=.
(23-24九年级上•新疆伊犁•期末)
16.如图,在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路,使剩余面积是原矩形
面积的一半,具体尺寸如图所示•求小路的宽是多少?设小路的宽是仙,根据题意可列方程
为.
试卷第2页,共4页
(23-24九年级上•河南周口•阶段练习)
17.小颖解一元二次方程3尤2口>1=0时,一次项系数印刷不清楚,查看答案为
x=达空,贝加代表的数为.
3
(23-24九年级上•四川成都•期末)
1
%+------------j-------
18.定义:我们把形如再+------厂的数成为“无限连分数”.如果。是一个无理数,
X2H----------
X3+...
72+1=2+-------!-——X=1+-------!-——
那么。就可以展成无限连分数,例如:2+-'-―,如果1+—『
2+-------1+-------
2+...1+...
贝口=.
三、解答题(本大题共6小题,共58分)
(22-23九年级上•广东佛山•期末)
19.用指定方法解方程:
⑴(公式法)X2+4X-5=0
(2)(配方法)2X2-4X-3=0
(2022•山东德州•一模)
20.先化简,再求值:卜飞「2―2%三其中x为一+3尸10=0的解.
\X十1J十1
(23-24八年级下•广西贺州•期末)
21.已知关于x的方程2?+4«:+“-3=0.
(1)求证:不论a取任何实数,该方程总有两个不相等的实数根;
(2)若该方程的一个根为1,求。的值及该方程的另一个根.
(23-24九年级上•江苏宿迁•阶段练习)
22.已知关于x的一元二次方程f-4x+%=0.
(1)若方程有实数根,求实数加的取值范围;
(2)若方程两实数根分别为M,/,且满足5%+2%=5,求实数〃?的值.
(2024•广西•模拟预测)
试卷第3页,共4页
23.某景区研发一款纪念品,投放景区内进行销售,每件成本20元,销售一段时间发现,
每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足一次函数关系,部分图象如图.
寸F蒜/件)
(1)求出销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数解析式;
⑵当销售单价为多少元时,每天的获利可以达到1600元.
(23-24八年级下•安徽淮北•阶段练习)
24.【探究学习】
把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式,再利用20”这一性质解决问题,
这种解题方法叫作配方法.配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用.
例如:求/+60+12的最小值.
解:a2+6a+12=a2+6a+32+3=(a+3)2+3,因为(a+3>20,所以(a+3)?+323,所以
当(a+3y=0时,即当。=-3时,/+6Q+12有最小值,最小值为3.
【解决问题】
工回
2a+5q+64B
7Si
FlIImIIm_
图1图20图3c
(1)当x为何值时,代数式/-8x+ll有最小值?最小值为多少?
⑵如图1所示的是一组邻边长分别为7,2a+5的长方形,其面积为H;如图2所示的是边
长为。+6的正方形,其面积为S?,a>0,请比较£与S2的大小,并说明理由.
(3)如图3,物业公司准备利用一面墙(墙足够长),用总长度46m的栅栏(图中实线部分)
围成一个长方形场地/BCD,且CD边上留两个1m宽的小门,设2C的长为xm,当x为何值
时,长方形场地4BCD的面积最大?最大值是多少?
试卷第4页,共4页
1.A
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式,一元二次方程的定义,由一元二次方程的定义
可得人-2W0,由题意又知公-4=0,联立不等式组,求解可得答案.
【详解】解:根据题意可得:
p-2^0
"4=0,
解得k=-2.
故选:A.
2.A
【分析】本题主要考查配方法的掌握,关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数
项的乘积,根据配方法的原理,凑成完全平方式即可.
【详解】解:x2-4x+1=0,
酉己方得:/一4x+4-3=0,
••.(X-2)2-3=0,
故选:A.
3.A
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用,熟练掌握完全平方公式是解题关键.将原式
整理为(x+2『+l,即可获得答案.
【详解】解:1.■x2-4x+5=x2-4x+4+1=(x+2)2+1,
又•••(;<•+2)&0,
x~—4x+5=(x+2)+1>0,
二代数式/-4x+5的值恒为正数.
故选:A.
4.C
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式.只需求得八=〃一4℃的值,根据
A=b2-4ac>0>方程有两个不相等的实数根;A=ZJ2-4ac<0,方程没有实数根;
A=b2-4ac=0,方程有两个相等的实数根,进行分析判断.
【详解】解:;A=6?-4ac=疗+4>0
答案第1页,共11页
••.方程有两个不相等的实数根.
故选:C.
5.D
【分析】本题考查的是根的判别式,即一元二次方程办2+云+C=0(。*0)的根与/一4幽
有如下关系:①当/-4ac>0时,方程有两个不相等的两个实数根;②当"-4ac=0时,
方程有两个相等的两个实数根;③当〃一4℃<0时,方程无实数根.根据关于x的一元二
次方程X?—4x+左=0有两个相等的实数根可知尸-4m=0,求出左即可.
【详解】解:,•・关于x的一元二次方程--4x+左=0有两个相等实数根,
A=(-钎-4左=0,
解得:k=4.
故选:D.
6.D
【分析】此题主要考查了因式分解法解一元一次方程,零指数次幕,最后检验xw2是解题
的关键.首先利用零指数嘉的性质整理一元二次方程,进而利用因式分解法解方程得出即
可.
【详解】解:•••X2-X-1=(X-2)°,
x2-X-1=1,
BP(x-2)(x+l)=0,
解得为=2,x2=-l,
当x=2时,x-2=0,
故x*2,
•••x=-1,
故选:D.
7.C
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程,牢记一元二次方程的求根公式是解题的关
键.
根据公式法解一元二次方程即可求解.
【详解】解:A.x2+bx+c—0)
答案第2页,共11页
2
,x=-b±y/b-4c?故该选项不正确,不符合题意;
2
2
B.x+bx-c=OJ
.•.x」±"2+4c,故该选项不正确,不符合题意;
2
C.x2—bx+c=0
)±"2竺,故该选项正确,符合题意;
2
D.X?—bx—c=0,
・•.x=6土物+4<,故该选项不正确,不符合题意;
2
故选:C.
8.B
【分析】本题考查了解一元二次方程一因式分解法及菱形的性质,先利用因式分解法解方程
得到西=8,超=2,则菱形的两对角线长分别为8和2,然后利用菱形的面积等于对角线乘
积的一半求解.掌握菱形的性质和一元二次方程的解法是关键.
【详解】解:X2-10X+16=0,
(x-8)(x-2)=0,
x-8=0或x-2=0,
解得X1=8,x2=2,
即菱形的两对角线长分别为8和2,
所以菱形的面积=gx8x2=8.
故选:B.
9.C
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程,利用整体思想解一元二次方程是解题的关
键.利用整体思想设x-2=f得到方程”户+4+2=0,再根据关于x的一元二次方程
ax?+及+2=0(。w0)有一根为x=2024,即可得到/的值,从而可求解.
【详解】解:,・,。(%—2)2+&一26=—2,
/.6z(x—2)2+bx—2b+2=0,即a(x-2)2+b(x-2)+2=0.
设x-2二%,贝!!QD+6,+2=0.
答案第3页,共11页
・关于x的一兀二次方程+6x+2=0(a+0)有一■根为x=2024,
二在加2+6/+2=0中,t=2024,
x-2=2024,
解得:x=2026,
•••一元二次方程a(x-2)2+bx-2b=-2必有一根为2026.
故选C.
10.A
【分析】本题考查一元二次方程的应用,利用比赛的总场数=七年级班级数x(七年级班级数
-1),即可得出关于X的一元二次方程.
【详解】解:依题意得:x(x-l)=42.
故选:A.
11.0或-1
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法,先移项,再利用因式分解的方法解方程即
可.
【详解】解:••・X2=f,
*'•+x=0,
x(x+l)=0,
('(X]=0,%2=—1,
故答案为:0或-1.
12.-4
【分析】本题主要考查了方程解的定义.解题的关键是将x=2代入原方程,利用整体思想
求解.由x=2是一元二次方程x2+mx+n=0的一个解,将x=2代入原方程,即可求得2m+n
的值.
【详解】解:,."x=2是一元二次方程x?+加x+〃=0的一个根,
4+2m+n=0,
2m+"=-4.
故答案为:-4.
13.±6
答案第4页,共11页
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式,根据一元二次方程根的判别式为
A=〃-4ac=16,代入数据求解即可
【详解】解:,•.4=5,6=加,c=l,
A=b2-4ac=-4x5x1=m2-20,
m2—20=16,
解得”7=±6,
故答案为:±6.
14.2023
【分析】本题考查了根与系数的关系,解题的关键是根据方程的解的定义得出
加?+2加-2025=0,求出〃/+2加=2025,根据根与系数的关系得出加+〃=-2,变形后代入,
即可求出答案.
【详解】解:.••"7、〃分别为方程/+2x-2025=0的两个实数根,
m2+2m—2025=0,
m2+2m=2025,
--m、"分别为方程f+2x-2025=0的两个实数根,
:.m+n=—2,
2+3加+〃=(m2+2m)+(m+H)=2025+(-2)=2023,
故答案为:2023.
15.6
【分析】本题考查解一元二次方程,代数式求值.解题的关键是掌握换元思想,因式分解法
解一元二次方程.设y=/+x,原方程化为”>+1)=42,解这个一元二次方程,可得[,+x)
的值是-7或6,用判别式排除/+x=-7,得x?+x=6.
【详解】解:设y=x2+x,
•.•(x。+0卜2+x+l)=42,
Q(y+1)=42,
解得:%=6或%=-7,
当x?+x=-7时,即:Y+X+7=0,
•■•A=12-4X1X7=-27<0,
答案第5页,共11页
此时无解,舍去;
■,■X2+x=6,
故答案为:6.
16.(30-尤)(20-x)=gx30x20
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用,设道路的宽应为x米,由题意有
(30-x)(20-x)=gx30x20,把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边
是做本题的关键.
【详解】解:设道路的宽应为x米,由题意有
(30-x)(20-x)=1x30x20.
故答案为:(30-x)(20-x)=1x30x20.
17.-6
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解,解题的关键是根据一元二次方程解的定义,列
出关于办的方程,解方程即可.
【详解】解:设口代表的数为b,则一元二次方程为:3/+云-1=0,
把工=包芋代入得:爸池)+土芋6-1=0,
解得:b=-6,
二口代表的数为-6,
故答案为:-6.
18.由上1或匕好
22
1I】I
X=IH----------------=1+—
【分析】根据题意,得1+——1工整理得/7—1=0,解方程即可.
1+—
1+...
本题考查了新定义问题,正确转化成分式方程,一元二次方程是是解题的关键.
1I1I
x=\-\----------------=1+—
【详解】根据题意,得1+—『"
1+—
I+…
整理得/7—1=0,
答案第6页,共11页
解得x==l
经检验,x=是原方程的根,
2
故答案为:避上1或上正.
22
19.(1)西=1,/=-5
(、、Vio_、M
(2)再=l+-^-,x2=1———
【分析】(1)根据公式法解一元二次方程;
(2)先将二次项系数化为1,然后根据配方法解一元二次方程即可求解.
【详解】(1)解:X2+4X-5=0,
a=l,b=4,c=—5,A=Z>2—4ac=16+20=36,
-b±-4ac-4±6
X=-------------------=---------,
la2
解得:=1,x2=—5,
(2)解:2X2-4X-3=0,
2。3
・•・x-2x=—,
2
3
两边加上1,x—2x+l=—+1,
即(IPg
...VTo
•-x-1=±-----,
2
解得:占=1+巫,%=1-巫.
1222
【点睛】本题考查了解一元二次方程,掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.
20.x+2,-3
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再解方程得出X的值,选取使分
式有意义的X的值代入计算可得.
【详解】解:产油-2_2/号
\X十1JX十I
_(/+2x-2_2x+2).x-2
[x+1x+lJ'x+1
答案第7页,共11页
_x2-4.x-2
x+1x+1
_(x+2)(x-2)x+i
x+1x—2
=x+2,
,*,%2+3x-10=0,
(x+5)(x-2)=0,
则x+5=0或x-2=0,
解得再=-5,x2=2,
又,・•Nw-1,xw2,
当x=-5时,原式=2+(-5)=-3.
【点睛】本题主要考查分式的化简求值,因式分解法解一元二次方程,解题的关键是掌握分
式的混合运算顺序和运算法则.
21.(1)见解析
(2)«=|,该方程的另一个根-:
【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况,以及一元二次方程的求解,熟记
相关结论是解题关键.
(1)对于一元二次方程ox?+6x+c=0(a*0),若A=/-4ac>0,则方程有两个不相等的
实数根;若△=〃一4℃=0,则方程有两个相等的实数根;若A=/-4ac<0,则方程没有
实数根.据此即可求解.
(2)将x=l代入方程即可求得。=;,据此即可求解;
【详解】(1)解:a=2,b=a,c=(〃一3)
A=a?—4x2x(a-3)=(a-4)2+8,
v(tz-4)2>0,
(a-4)2+8〉0,
••・不论。取何实数,该方程都有两个不相等的实数根;
(2)解:将%=1代入方程得:2+a+a-3=0,
答案第8页,共11页
解得”;,
将〃=;代入方程,整理可得:2x2+|x-|=0,
即(%-1)(4%+5)=0,
解得x=l或无=二,
4
该方程的另一个根-
4
22.(l)m<4
(2)m=-5
【分析】此题考查了一元二次方程的判别式,根与系数的关系,
(1)一元二次方程有实数根,则根的判别式A=〃一4acW0,建立关于加的不等式,求出加
的取值范围,根据根的判别式得到关于加的不等式是解题的关键;
(2)根据根与系数的关系得到再+3=4,又5网+2%=5求出X],然后代入/一4工+於=0
求解即可.
【详解】(1)•.♦方程有实数根,
.-,A=(-4)2-4m>0,
/.16-4m>0,
即加K4;
(2)•••再/2为该方程的两个实数根,
再+=4,
又5再+2X2=5,
3演+2(占+超)=5
.・.3芯+2x4=5
:.汨=一1,
将%=T代入/_4x+加=0得,(-1)2-4x(-1)+m=0
••・m=-5.
答案第9页,共11页
23.(l)y=-2x+160
(2)40元或者60元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用,待定系数法求一次函数表达式,解题的关键是理
解题意,能正确列出一元二次方程.
(1)利用待定系数法求解可得;
(2)由题意可得,(x-20)(-2x+160)=1600,再求解即可.
【详解】(1)解:设解析式为了=h+6,
根据图象可知,点(30,100),(50,60)在〉=奴+6上,代入可得,
130左+6=100
"150后+
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