2025年上海市数学高考一轮复习：平面向量（考点练+模拟练）含详解

专题07平面向量（考点练+模拟练）

01上海考点练

一、填空题

1.（2024.上海金山二模）己知向量a=（l,-3）,b=（m,r），若则实数加的值为.

2.（2024.上海奉贤.二模）己知向量力=（2,-1）,则A在°方向上的投影向量为.

3.（23-24高三上•上海杨浦高级中学•开学考试）已知向量e为单位向量，且a.e=3,则向量。在向量e方向上的投

影向量是.

4.（23-24高三上.上海.期中）已知0,b是两两垂直的单位向量，则,-2目=.

5.（2024.上海.三模）己知点人（-2,2）,将向量04绕坐标原点。顺时针旋转60。得到,则。4.OA=

6.（2024・上海・一模）己知平面向量。=（1,2）,6=（m,4）,若a与6的夹角为锐角，则实数加的取值范围为.

7.（23-24高三上.上海嘉定・期中）若平面向量自=2也卜0,则a与b夹角的正切值是.

8.（2024・上海.三模）设平面向量力=（sin6,1）,6=（cos6,8）,若d,6不能组成平面上的一个基底，贝UtanO=.

9.（22-23高三下•上海闵行•阶段练习）已知点尸是一ABC的中线BD上一点（不含端点），且AP=xA8+yAC,则X，

满足的等式是.

10.（2023•上海杨浦・三模）已知。4=（1,1）,。8在。4上的数量投影为0,其中点。为原点，则点B所在直线方程

为

11.（21-22高三上.上海奉贤.阶段练习）如图，在11A5c中，。是BC的中点，卜1,卜。卜退，则

AD-BC=.

12.（23-24高三上.上海浦东新•期中）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF上或其内部的一点，则APAB的取

值范围为

13.（2024.上海•模拟预测）如图，矩形ABCD中，E为BC中点，AE与BD交于点尸,若将AB=a,AO=6作为

平面向量的一个基，则向量可表示为（用a、B表示）.

D

14.（2024.上海.模拟预测）已知向量a,b,e满足向=M=1,Id=3,且d+b+c=0，贝!Jcos（〃-c,Z?一°）=__.

15.（23-24高三下•上海松江・阶段练习）如图，在矩形A3CD中，=8C=2,点E在边C。上运动（包含

端点），则AE.3E的取值范围为.

16.（23-24高三上.上海虹口•期中）平面上的三个单位向量a,b,c满足2c=3a+46，则。，b,c两两间的夹

角中最小的角的大小为.

17.（2024高三・上海・专题练习）已知平面内A民C三点不共线，且点。满足°403=08。。=。40（?，则。是

ABC的心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”）

18.（2023.上海长宁.二模）已知平面向量1,b，c，d满足：卜-4=1，=2,（a—6）//仅-c）,（a-d）.（0-d）=0,

则的最大值为.

19.（2024.上海崇明•二模）已知A、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且,耳=百，则的最小值

是.

20.（2024.上海虹口.二模）已知平面向量.,6满足同=3,忖=4,<7-6=4,若平面向量C满足k=1,贝！||c-a|的

最大值为.

21.（23-24高三上•上海黄浦.开学考试）如图，正六边形的边长为2,圆。的圆心为正六形的中心，半径为1,若

点"在正六边形的边上运动，动点AB在圆。上运动且关于圆心。对称，则MA.MB的取值范围是.

11

22.（23-24高三上•上海虹口•期末）设%,生，生，瓦,以，◎是平面上两两不相等的向量，若

_引=%_q|=卜3M=2,且对任意的i,jw{1,2,3},均有，「耳e{l,g，则.一同+,同+忖一同=

23.(23-24高一下•上海•期中)若a,6均为单位向量，下列结论中正确的是(填写你认为所有正确结论的序

号)

(1)若且(4-c)•仅一c)40,且同=1,则卜+。一4的取值范围为［痣-1,小

(2)若夕6=0且(a-c)•仅一c)W。，且小孝，贝小+》-。|的取值范围为与，与；

(3)若a-c=:且|a+Xc|Na-：c对任意实数;I恒成立，则|。+,+卜-4的最小值为百；

(4)若a-c=1•且|。+双向a-；c对任意实数X恒成立，则;a+b+；b-c的最小值为百.

24.(2024高三•上海•专题练习)已知|OA|=|OB|=1,若存在机4eR,使得加AB+Q4与〃AB+03夹角为60,且

|(mAB+OA)-(nAB+OB)|=|,则,耳的最小值为.

25.(23-24高一下•上海•期末)如图，已知点尸为.ABC所在平面内一点，|A8-AC|=8,卜4=3卜百，定义点集

D=|p|AP=32AB+^AC,2eR},若存在点4e。，使得对任意PeO,有卜尸性,同恒成立，那么当ABC的

面积取得最大值12时，,间=.

二、单选题

26.(2020高三・上海•专题练习)设A,B,C是平面内任意三点，则A3AC=

A.AB2+AC2-BC2B.-^AB+AC-BC^

1/一2——-2\--21/-2——-2\——-2

C.-^AB+ACj-BCD.-JAB+ACj-BC

27.(23-24高三下•上海•开学考试)已知a,b是两个不共线的单位向量，c=4a+〃b(%〃eR),贝-4<0且〃<0"

是“c-(a+6)<0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

28.(2022.上海浦东新•模拟预测)如图，已知点尸(2,0),正方形ABCD内接于00:/+y?=2,M,N分别为

边AB、BC的中点，当正方形ABCD绕圆心。旋转时，PM-0N的取值范围是()

B.A/2J

C.[-2,2]D./当

29.（2022・上海闵行・二模）已知A、B、C是平面内不共线的三点，点。满足。4+2。2+2^^=0"为实常数，现

有下述两个命题：（1）当Xw-3时，满足条件的点。存在且是唯一的；（2）当2=-3时，满足条件的点。不存在.

则说法正确的一项是（）

A.命题（1）和（2）均为真命题

B.命题（1）为真命题，命题（2）为假命题

C.命题（1）和（2）均为假命题

D.命题（1）为假命题，命题（2）为真命题

三、解答题

30.（23-24高一下.上海宝山.阶段练习）已知忖="||=3,且d与6的夹角为45。，

⑴求2a+B与-3a+2b的夹角；

⑵若向量°+防与总+b的夹角是锐角，求实数左的取值范围.

31.（23-24高三上•上海嘉定•期中）设q与02均为单位向量.

（1）若e『e2=0,求向量q-J5e?与62的夹角；

（2）若e；与e；的夹角为:，设4=的+少2（其中x,ywR）,若卜卜3,求q的最大值；

32.（20-21高三上•上海宝山•期中）设。4=（2$］眸（；052尤）,03=（008^,-1）,xe0段.

（1）当。4_LO8时，求x的值.

（2）若/（x）=O4O8,求“尤）的最大值与最小值，并求出相应x的取值.

33.（23-24高二下•上海宝山・期末）从空间一点。出发作三条两两互相垂直的坐标轴，可以建立空间直角坐标系

。-孙z.如果坐标系中的坐标轴不垂直；那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.设Ox、0y、Oz是空间中相互成60角的三

条坐标轴，其中次分别是x轴、,轴、z轴正方向的单位向量.

⑴计算i-j+j-k+i-k的值,

⑵若向量”=xi+yj+zk,则把有序数对[x,y,z]叫做向量”在该斜坐标系中的坐标.已知。4=[0,2,1],。8=[2,1,0]

①求。08的值；

②求A08的面积：

34.（22-23高一下•上海浦东新•期中）设。为坐标原点，定义非零向量OM=（a/）的“相伴函数”为

/（x）=asint+bcosx（xeR）,3/=（a,Z?）称为函数〃x）=osinx+）cosx的"相伴向量

⑴记端=（0,2）的“相伴函数”为y=/（x）,若方程〃*）=左+1-26忖时在区间[0,2兀]上有且仅有四个不同的实数

解，求实数Z的取值范围；

⑵已知点M（a,b）满足/一4（76+362=-1,向量的“相伴函数"y=〃x）在无=Xo处取得最大值，当点"运动时,

求tan2x0的取值范围；

⑶已知点向量的“相伴函数"y=〃x）在尤=%处的取值为寸在锐角二ABC中，设角A&C的对边分

别为人"c,且a=4,cosA=/（x0）,求AB+AC-ARAC的取值范围.

02上海模拟练

一、填空题

1.（2023•上海长宁•一模）设向量a=（l,-2）力=（一1,根），若。〃匕，则机=.

2.（2024.上海奉贤三模）中，BC=6,若54在BC上的投影为生.则C4C3=.

3

3.（2023•上海徐汇三模）函数y=ln（r）沿着向量a平移后得到函数y=ln。-x）+2,则向量0的坐标是.

4.（2022.上海静安.一模）己知弓、e；是夹角为60。的两个单位向量，若q+左4和侬+%垂直，则实数后=.

5.（2022.上海.模拟预测）设。为」1BC的外心，^AO=AB+2AC，贝UsinZBAC的值为.

6.（2024・上海松江•二模）已知正三角形ABC的边长为2,点。满足C£>=〃?C4+〃C3，Mm>0,n>0,力〃+〃=1,

则|CO|的取值范围是.

7.（2023・上海闵行•二模）已知单位向量a泊，若对任意实数了，,-恒成立，则向量a涉的夹角的最小值

为.

8.（2022・上海宝山•二模）已知，E分别是，A5C边的中点，”是线段DE上的一动点（不包含，E两点）,

12

且满足AM=aA3+4AC,则一+f的最小值为

ap

9.（2023・上海徐汇・三模）已知平面向量a,b,c>满足什=2,卜+4=1,c=+且彳+2〃=1,若对每一个

确定的向量a，记，的最小值为加，则当a变化时，实数加的最大值为.

10.（2024.上海嘉定•二模）在平面直角坐标系xOy中，点P在圆/+,2=1上运动，定点A、8满足。且

|。4卜倒=1,若回。4。尸|+|03。尸|恒成立，则实数上的取值范围为.

11.（2024・上海•模拟预测）平面内互不重合的点4、&、A,、用、B?、鸟、B&,若,瓦+4旦+劣耳卜i,7=1,

2,3,4,则忸同+忸2闻+国闻的取值范围是____.

12.（2021・上海普陀・二模）如图，在△A3C中，C=g,AC=6,BC=1.若。为△ABC内部的点且满足

OAOBOC则叫叫因=

|OA|+\OB\+|oc|

二、单选题

13.（2024•上海浦东新.三模）给定平面上的一组向量6、《2,则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（）

A.2q+e2和ex—e2B.ex+3e2和e2+3q

C.3e,-e2和2e?-6etD.ex和el+e2

14.（2022・上海•模拟预测）如图，B、。是以AC为直径的圆上的两点，其中AB=〃7T,AD=yft+2,贝l）AC-BD=

（）

c

A.1B.2C.tD.It

15.（2022•上海金山・一模）已知向量£与6的夹角为120。，且7b=-2，向量2满足c=Xa+（l—46（0<4<1）,且

a-c=b-c,记向量c在向量.与b方向上的投影分别为尤、y现有两个结论：①若2=则村=2忖；②尤2+丁+冲的

最大值为;则正确的判断是（）

4

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

16.（2024.上海杨浦.二模）平面上的向量.、万满足：\a\=3,\b\=4,定义该平面上的向量集合

A={x\\x+a\<\x+b\,x-a>.给出如下两个结论：

①对任意ceA，存在该平面的向量ZeA，满足卜-4=0.5

②对任意ceA，存在该平面向量deA，满足卜-4=0.5

则下面判断正确的为（）

A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①正确，②正确D.①错误，②错误

专题07平面向量（考点练+模拟练）

01上海考点练

一、填空题

1.（2024•上海金山二模）已知向量。=（1,-3）,方=（m，D，^alb，则实数加的值为

【答案】3

【分析】根据可得a必=0,再根据数量积的坐标公式即可得解.

【解析】因为

所以a5=m-3=0，解得根=3.

故答案为：3.

2.（2024・上海奉贤.二模）已知向量a=（l,l）,力=（2,-1）,贝!|人在°方向上的投影向量为.

【答案】3

【分析】根据投影向量公式求出答案.

b-aa1（1,1）（11）

【解析】6在“方向上的投影向量为下「口=71优=］于51

故答案为：

3.（23-24高三上.上海杨浦高级中学.开学考试）已知向量e为单位向量，且。少=3,则向量d在向量4方向上的投

影向量是.

【答案】3〉

【分析】利用投影向量的公式计算即可.

d•e

【解析】向量。在向量e方向上的投影向量是丁pe=3e.

故答案为：3e

4.（23-24高三上.上海.期中）已知°,6是两两垂直的单位向量，贝m-2*.

【答案】行

【分析】用向量的模的定义直接运算即可得出答案.

【解析】因为a，b是两两垂直的单位向量，

所以卜一20=（a-2b^=a-4a-b+4b=1-0+4=5,贝!|卜一2b卜君.

故答案为：5

5.(2024・上海•三模)已知点A(-2,2),将向量绕坐标原点。顺时针旋转60。得到。4,,贝UOA.OA=

【答案】4

【分析】先求|。,、ZAOA,再用向量的数量积公式计算即可.

【解析】

由题意OA=(—2,2),8==J(-2)2+2?=20,ZAOA'=60°,

04.OA=网网.cos60。=20x2应x3=4.

故答案为：4.

6.(2024・上海・一模)已知平面向量。=(1,2)]=(祖,4),若°与6的夹角为锐角，则实数加的取值范围为

【答案】(-8,2)一(2,+8)

【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.

【解析】向量。=(1,2),6=(利,4)的夹角为锐角，则。力>0且3与方不共线，

f777+8>0

因此",解得〃z>-8且,

\2m丰4

所以实数加的取值范围为(-8,2)(2,+«).

故答案为：(-8,2)1(2,”)

7.(23-24高三上•上海嘉定•期中)若平面向量自=2也卜0,al(a-3b),则3与Z,夹角的正切值是

【答案】西

2

【分析】利用向量的数量积公式求夹角即可.

【解析】由〃_L(Q-3Z7)=>Q­(Q—3Z?)=Q2—3〃包=0=4b2-6b2xcosa,b=0,

〃r\2

即cos(a,b)=5,

又(a@e[0,可，所以tana,6=J一c°s%，—=好.

cosa,b2

故答案为：旦

2

8.（2024・上海•三模）设平面向量a=（sin6,1）,6=（cos。,百），若d,万不能组成平面上的一个基底，贝Utan，=.

【答案】叵:上

33

【分析】利用基底的定义可得a〃b，再利用共线向量的坐标表示求解即得.

【解析】由〃，b不能组成平面上的一个基底，得〃//人而a=（sine,l）,b=（cos6>,V3）,

因此A/3sin0=cos0,所以tan0=包«=YE.

cos。3

故答案为：B

3

9.（22-23高三下•上海闵行•阶段练习）已知点尸是_ABC的中线3D上一点（不含端点），且AP=xA8+yAC,则2

满足的等式是.

【答案】x+2y=l

【分析】把AP用向量表示出来，利用三点共线可求答案.

【解析】因为AP=xA3+yAC,所以AP=xAB+2yAD,

又民尸,。三点共线，所以x+2y=l.

故答案为：x+2y=l.

10.（2023•上海杨浦・三模）已知。1=（U）,OB在OA上的数量投影为直，其中点。为原点，则点8所在直线方程

为_________

【答案】x+y-2=0

【分析】设Wx,y）,利用向量的数量积坐标公式、模的公式化简也空=应即得解.

\OA\

【解析】设8（x,y）,「.05=（羽y）,

因为。4=（1,1）,。8在。4上的数量投影为正，

所以生必=".•.中=夜，

\OA\V2

化简得％+y-2=0.

所以点3所在直线方程为％+y-2=0.

故答案为：x+y-2=Q

11.（21-22高三上.上海奉贤.阶段练习）如图，在中，。是的中点，,目=1,卜4=指，贝！|

ADBC=.

【答案】1

【分析】由题可转化为ADBC^AB+AC]\AC-AB）求解.

【解析】因为。是BC的中点，，AO=J（AB+AC）,又BC=Ae-AB，

所以A£>.8C=g（A8+AC）.（AC_AB）=g（|AC（一网）=1.

故答案为：1.

12.（23-24高三上•上海浦东新•期中）已知尸是边长为2的正六边形A5CDEF上或其内部的一点，则APAB的取

值范围为

【答案】[—2,6]

【分析】

根据给定条件，建立平面直角坐标系，设出点P的坐标，利用数量积的坐标运算求解.

【解析】在正六边形A5CDEF中，以点A为原点，AB,AE所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如

图，

因为A5=2,则A（0,0）,3（2,0）,C3,石）,D（2,2指）,E（0,2若），网一1,6）,

设尸（x,y）,由题意可知，-l4xV3,0V”2若，

所以AP=（羽y）,AB=（2,0）,则APAB=2尤w[-2,6],

故答案为：[-2,6]

13.（2024・上海•模拟预测）如图，矩形A3CD中，E为BC中点，AE与BD交于点、F,若将AB=a,AD=b作为

平面向量的一个基，则向量AF可表示为（用a、B表示）.

D

【答案】1+?

【分析】先利用平行线的性质求出芸，进而利用向量的线性运算求解即可.

EF

【解析】由已知A。//跖，

miAFAD.

则——=——=2,

EFBE

2

所以A尸二§AE,

22门、12

所以A尸=aAE=a6AO+AB=3〃+石〃.

JD1乙JJJ

i?-

故答案为：

14.（2024.上海.模拟预测）已知向量a,b,C满足向=利=1,同=3,且Q+Z?+C=0,则cos（a_。,力_。）=___

4

【答案】y/0.8

【分析】根据已知条件依次求出“必=0、a.c=-l、b.c=-l，接着求出（a-胆-。）、|a-c|和忸即可结合向

量夹角余弦公式求解.

【解析】由题5+力=」，故（。+6『=（一。）2=片即

=>1+1+2a»b=2»=>。/=0；

a+c=-b,故(〃+c)=(_/?)二即〃2+J+2〃.c=52,

=>1+2+2a»c=1,=^>a»c=—1;

b+c=-a9故仅+C)=(-n)2=^2BP/?2+C2+2Z?»C=«2，

=>1+2+2Z?*c=1?=>Z?»c=—1>

所以(@_匕乂8_g)=a^b—^a+b^c+c2=2c2=4,

且==<a1+c?-幼宏二j,卜―4=’(/?—c)=db?+c?—24%=J,

(a-c\\b-c\44

所以COSQ—c*—c=-^-----7-—r=-f=-G=£.

|(2-c||Z?-c|v5xV55

4

故答案为：—.

15.(23-24高三下・上海松江•阶段练习)如图，在矩形ABC。中，AB=y[i,5。=2,点E在边8上运动(包含

端点），则AE-BE的取值范围为.

【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法计算数量积，再由二次函数的性质计算可得.

【解析】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则4（0,0）,2（也0）,C（V2,2）,D（0,2）,

设则AE=（a,2）,BE="a,2）,

（/TA27

则=后）+4=a之一行〃+4=a-------+—,

k212

因为y=卜-1+：在Jo,4）上单调递减，在［手，虎）上单调递增，

当％=也时丁=（,当工=0时y=4,当尤=0时y=4,

22

（万丫「-

所以a--+-e-,4.

\2/2「2一

16.（23-24高三上•上海虹口•期中）平面上的三个单位向量a,b，C满足2c=34+46，则a，b.C两两间的夹

角中最小的角的大小为.

【答案】arccos^

16

【分析】对2c=3〃+46两边同时平方化简可求出cosa,b=-1|同理可得cos〃,c=-J,cos/?,c=^,即可得出答

24416

案.

【解析】对2c=3〃+4。两边同时平方可得：4c2=（3a+4Z?）=9ti2+16/72+24|dt|-|/?|cos«,Z?,

7

贝!j4=25+24cosa/，则cos（〃l）=一一,

由2c=3〃+4》可得：2d-3Q=40，两边同时平方可得：

4c2+9tz2—12同Jdcosa,。=16Z?2,则13-12cosa,c=16,

贝Icosa,△=-—,

4

由2c=3〃+4b可得：2-4Z?=3〃，两边同时平方可得：

4c2+16/?2-16|z?|-|c|cosZ?,c=9a2,则20-16cosZ?,c=9,

则mcosbr,c.=—11.

所以a,b,c两两间的夹角中最小的角为"c所成角，大小为arccos^.

16

故答案为：arccos^|

16

17.（2024高三・上海・专题练习）已知平面内4民C三点不共线，且点。满足0408=05.OC=Q4-OC，则。是

_ABC的心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”）

【答案】垂

【分析】使用数量积的分配律得到08.01=0，OABC=0＞即OAVBC,进而得到点。为」1BC的

垂心.

【解析】由OAO8=O2OC=OAOC，知08。=OB.（OA-OC）=OAO8-O8OC=0,

OABC=OA^OC-OB）=OAOC-OAOB=0,故0BLC4,OALBC,从而。为.ABC的垂心.

故答案为：垂.

18.（2023・上海长宁•二模）已知平面向量£,b，3，d满足：=1,,-4=2,（a-6）//（6-c）,（o-4仅-d）=0,

则卜-q的最大值为.

【答案】3

【分析】依题意，如图作出各向量，可判断点ABC共线，且|A4|=1,|BC|=2,点。的轨迹是以线段A2为直径

的圆，故卜-4即可理解为点C到圆上点的距离，即得点。与点A重合时取得最大值.

【解析】

D

依题意，如图分别作。4=a,02=6,OC=c,OD=Z,其中,一.=网=1/-c|=冈=2,

由(a-b)〃伍-c)知BA//8C，依题意知点C有两个位置，即点C和点G，

又a-d=DA,b-d=DB,由,一/)，仅一1)=0知ZM_L,

即点。的轨迹是以线段A8为直径的圆.

故c-d=DC的模长当且仅当点。与点A重合时取得最大，最大值为|CA|=2+1=3.

故答案为：3.

【点睛】方法点睛：本题主要考查向量的模长的最值问题，属于难题.对于抽象的向量的共线，垂直，模长等相关量

的问题，一般是根据题意作出满足条件的图形，将问题转化成几何图形的距离、夹角等相关量来解决.

19.(2024・上海崇明•二模)已知A、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且,耳=血，则A5MC的最小值

是.

【答案】|-V3

【分析】根据题意，由正弦定理可得sinC=且，然后分8=]兀-A与8=讨论，再由平面向量数量积的定义

233

展开，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果.

【解析】由正弦定理可得」方=—二=2厂，所以正=_竺=2,

sinCsmBsinCsinB

所以sinC=正，且C«0,兀)，则C=W或黑，

233

2兀

则B=或2=]-A,

当3二[兀一？1时，Z?=2sinB=2sin^7i-A^,

所以AB•AC=becosA=6x2sin兀一A]xcosA

=2\/3x^-cosA+—sinAcosA

122

=3cos2A+^3sinAcosA

3(l+cos2A)6.、A

=--------------+——sin2A

22

=V3sin^2A+^+|,Ae(0,|■兀｝则2A+ge，

当2A+]=5时，即A=\兀时，.AC取得最小值白6;

当5=]—A时，b=2sin5=2sin[5-A],

所以AB-AC=Z?ccosA=A/3x2sin^y-A^jxcosA

=2^x-^-cosA--sinAcosA

122J

=3cos2A一百sinAcosA

3(1+cos2A)6,△人

=---------------------sin2A

22

二一氐124一5+|,Ae(0,「则24一占卜会?，

则AB•AC无最值；

综上所述，AaAC的最小值是百

故答案为：T-若

20.(2024.上海虹口・二模)已知平面向量°,6满足同=3,忖=4,4力=4,若平面向量C满足卜-可=1,贝！|k-4的

最大值为.

【答案】•+1/1+而

【分析】设。4=a,OB="OC=c,先求出NAO3,以点。为原点，08为了轴的正方向建立平面直角坐标系，根

据卜-4=1求出点C的轨迹，进而可得出答案.

【解析】如图，设。A=a,OB=b,OC=c,

因为何=3,W=4,a•6=4,

410AB

所以cosAAOB=-__-=—,故sinZ.AOB=------，

3x433

如图，以点。为原点，02为x轴的正方向建立平面直角坐标系,

则8（4,0）,A（l,2/）,设C（x,y）,

由卜_〃=1,得（x-4）?+y2=1,

所以点C的轨迹是以点8为圆心，1为半径的圆，

\c-a\=|AC|表示AC两点间的距离，

所以卜一《的最大值为|AB|+1='（4—1）2+（0—20）2+1=717+1.

故答案为：V17+1.

21.（23-24高三上.上海黄浦•开学考试）如图，正六边形的边长为2,圆。的圆心为正六形的中心，半径为1,若

点〃在正六边形的边上运动，动点A8在圆。上运动且关于圆心。对称，则MA.MB的取值范围是.

M

【答案】[2,3]

【分析】求出线段MO长的范围，结合给定条件，利用向量数量积的运算律求解作答.

【解析】正六边形的边长为2,则其半径为2,边心距为石，则正六边形边上的点“到其中心。的距离2],

因止匕•MB=(MO+OA)\MO+OB)=(MO+OA)-(MO-OA)

=|MOI2-1OA|2=|MO|2-1e[2,3],

所以MA-MB的取值范围是23].

故答案为：[2,3]

u

22.（23-24高三上•上海虹口・期末）设%,生，生，々，伪，4是平面上两两不相等的向量，若

_引=%_q|=卜3M=2,且对任意的i,jw{1,2,3},均有，「耳e{l,g，则.一同+,同+忖一同=

【答案】3

【分析】作出图形，根据图形的几何意义求解即可.

【解析】由W-回=卜2=|“3M=2,得向量4、%、生分别看作是以。为起点，

以A,民C为终点的向量，且ABC是边长为2的正三角形，。为正ABC的中心，

由对任意的力{1,2,3},均有|4-%卜{1,右},得向量X、2、&是以。为起点，

ABC各边中点及尸,G为终点的向量，则卜金=J%-金=W-川=1,

所以._金+旭一M+W-《=3.

故答案为：3

【点睛】思路点睛：涉及向量的模探求向量问题，可以借助向量的几何意义，作出符合要求的图形，数形结合求解

作答.

23.（23-24高一下•上海•期中）若a）均为单位向量，下列结论中正确的是（填写你认为所有正确结论的序

号）

⑴若a/=0且（d-c）.仅一c）40,且同=1,则k+6-c|的取值范围为[a-1,小

（2）若。为=0且（a-c）.仅一c）4。，且冏¥，则B+X-W的取值范围为，,亭；

（3）若a-c=;且对任意实数4恒成立，则k+“+卜-司的最小值为百；

乙乙

（4）若夕4=1•且|a+Xc|Na-gc对任意实数2恒成立，贝|Ja+b+；b-c的最小值为百.

【答案】(1)(2)(3)(4)

【分析】（1）利用向量关系作出几何图形，可知,+6-4=|8|,从而利用数形结合求得;

(2)与(1)比较仅改变了|c|=乎，同理利用数形结合去求出口。卜?，手；

(3)要利用模的平方等于向量的平方进行计算，从而转到到一元二次不等式恒成立，即可以求出同=1,并求出与

a夹角为60。，从而确定两向量的位置关系，再分析,+小卜-小阳+旧。归国,即可求得最小值；

(4)关键是作出图形后，利用=转化为几何关系求最小值.

由夕6=0且a川均为单位向量，作图：a=OA,b=OB,|(?A|=1,|OB|=LOA±OB,

因为(a-c).(b-c)40,即CACBWO，所以点C在以A3为直径的圆上或内部，

又因为同=1，所以点C又在点。为圆心的单位圆上，即点C在圆。的劣弧A3上,

又由卜+6-4=|。。一=所以由图可得「4e[0-1,1],故(1)正确；

由于同=正与(1)不同，假设点。为圆心半径为正圆与以AB为直径的圆相交于点M,N,则点C在圆。的劣弧

1122

MN上,由图可知以A3为直径的圆也是以OD为直径的圆，所以由。"=受，可得

2

MD=^OD2-OM-==*，

所以由图可得口。卜]乎，手:故(2)正确；

由卜+Ac|Na-c平方得：a?+24a,c+A2c2Na2—a-c-\—c2,

24

又因为=所以得：A2C2+A+^-1C2>0,

224

上式是关于几的一元二次不等式，由于对任意实数4恒成立,

j5|flUA=l-4c2^1-^c2j=c4-2c2+l=(c2-l)2<0,

即卜2_1丫=0,所以|c|=l,由a-c=；,可得8s乙

又因为NAOCe(0,180°),所以NAOC=60°,此时a,6,c均为单位向量，如图:

由a=OA,6=OB,c=OC,OE=_OA=_a,可知,+6叶_(-。)|=即，|c-Z?|=|BC|

而因为点8是单位圆上的动点，所以忸q+|E3|N|EC|,

此时由NEOC=180°—60°=120°,可得：|EC|=g,

所以卜+W+卜一6,君，故(3)正确;

a^OA,b^OB,c^OC,OE=-OA=-a,作一个同心圆且半径为：，分别交OB,OE于点D/则

^a+b+^b-c=\pB-OF\+\OD-G>c|=|^|+|CZ)|

由于三角形OBE是等腰三角形，2尸分别为。3,。£的中点，可得FB=DE,

所以,q+|c4=OE+£>C2CE,而国C|=6,所以;a+匕+；b-c故(4)正确;

故答案为：(1),(2),(3),(4).

【点睛】方法点睛：关键把定向量转化为定点，把动向量转化为动点，最后研究向量的模转化为动点到定点的距离

问题，再利用几何中的不等式关系就可以得到结果.

24.(2024高三・上海•专题练习)已知|。1|=|。8|=1,若存在机,“eR,使得加AB+Q4与〃AB+03夹角为60,且

mAB+OA^-(nAB+OB=;,则网的最小值为.

【答案】半

【分析】设a=OA=〃*B+OA，b=O3'=〃AB+O3可得AA,民B'共线，又|々_昨|34|=],当|8%|=:为最小

22

时从目最小，而此时4、B'关于y轴对称，结合已知即可求,目的最小值.

【解析】由题意，AB=08-04，

:.令a=0A'=mAB+OA=(l-m)OA+mOB,b=OB'=nAB+OB=(1+n)OB-nOA,故有A,A,B,B'共线，

■：\a-b\=\B'A'\=^,故当且仅当|8'A|=g为最小时，最小，

有A、？关于y轴对称时，kN最小，止匕时。至UAB的距离为g.粤]=乎,

.3=厂=叵,BPH-—•

2V164i12

故答案为：巫.

2

【点睛】关键点点睛：应用向量的线性关系及共线性质，可知Q=OA=%A5+OA,b=OBr=nAB+OB＞。4、OB

的终点共线，且|a-N=|8'A|=g可分析得A、&关于y轴对称时，,可最小，进而求最小值即可.

25.(23-24高一下.上海•期末)如图，已知点P为一ABC所在平面内一点，|AB-AC|=8,=定义点集

D=|p|AP=32AB+^AC,2eR},若存在点Ee。，使得对任意尸eO,有,尸2,兄|恒成立，那么当，1BC的

面积取得最大值12时，,好卜.

【答案】3

【分析】延长AB到M满足AM=3A3,取AC的靠近A的三等分点N,连接MN,由向量共线定理得三点

共线，从而|A阅表示.AMN的边MN上的高，利用正弦定理求得—AMN的面积的最大值，从而可得结论.

【解析】延长AB到M满足AM=342，取AC的靠近A的三等分点N,连接MN,如图，

}—^AC=A,-3AB+(1-A)^-=A.AM+(1-A)AN,则P,M,N三点共线,

AP=3AAB+

又存在点心©。，使得对任意尸eO,满足,尸,,闻恒成立,

则A4的长表示A到直线MN的距离，即..AA/N的边MN上的高，设|A闱=3

由国|=3网，得|AC|=|AM|,|AB|=|®V|,则△ABC四△AAA,|脑V|=W0=8,

\AM\_|AN|_|AfN|

在一AMN中，设NA2VM=。，由正弦定理得

sin0sinMsinZMAN'

8sin68sinM

于是sind=3sinM,\AM\=,\AN\=

sinZMANsinZMAN

132sinOsinM96sin2M

则SABC=SANM=-\AM\\AN\sinZMAN=

2sinZMANsin(M+6>)

96sin2M96sin2M96sinAf

sinMcos0+cosMsin0sinMcos0+3cosMsinMcos0+3cosM

96sinM96sinM

若。不是钝角，则HABC

71-sin26»+3Jl-sin2MVl-9sin2M+19-9sin2M'

由2sin，=3sinM41,得sinAfwg,BP0<sinM<^,

则6ABC，设”“

1T

则看29,S'ABC=m9+3dtj，它是减函数，当，=9时，(§!ABC)max=,不满足题意,

，一仁96sinM96sinM

-==

右0是电屯角，则5BC=—/.2=I.2八=/=^/.2=

A3vl-sin2M-Vl-sm20v9-9sin2M->/l-9sin2M

96

，贝卜29,ABC=3g_g，

令—9=