2024年秋北师大版九年级开学摸底考试数学试卷A卷(含答案)

2024年秋北师大版九年级开学摸底考试数学试卷A卷【满分：120】一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列图形是中心对称图形的是()A. B.C. D.2.下列命题正确的是()A.四个角都相等的四边形是正方形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的平行四边形是正方形D.对角线互相垂直的矩形是正方形3.若分式有意义，则x的取值范围是()A. B. C. D.4.下列各命题的逆命题是假命题的是()A.两直线平行，同旁内角互补 B.如果，那么C.等边三角形每个内角都等于60° D.对顶角相等.5.如图,沿直线向右平移得到,已知,,则的长为()A.3 B.4 C.5 D.66.如图,将绕点A逆时针旋转40°得到,其中点D恰好落在BC边上,则等于()A. B. C. D.7.若,则下列结论成立的是()A. B. C. D.8.如图，射线平分，点D、Q分别在射线、上，若，的面积为10，过点D作于点P，则的长为()A.10 B.5 C.4 D.39.将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于()A.10° B.12° C.15° D.20°10.已知关于x的不等式与有且只有3个公共整数解,则a的取值范围在数轴上表示出来是()A. B.C. D.11.如图,点O是等边内一点,,,.则与的面积之和是()A. B. C. D.12.如图，平行四边形的对角线、BD交于点O，平分交于点E，且，，连接，下列结论：①；②；③；④；中正确的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（每小题3分，共15分）13.分解因式：______.14.在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为__________.15.已知，则代数式的值为________.16.如图,在矩形中,对角线,相交于点O,若,的长为2,则的长为______.17.如图，在中，，，，且，若（k为常数且），设，，则y关于x的函数解析式为______________________（用含有k的代数式表示）.三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）18.（6分）(1)分解因式：.(2)解不等式组：,并把它的解集表示在数轴上.19.（8分）如图,,平分交于点C,平分交于点D,连接.求证：四边形是菱形.20.（8分）如图,在平面直角坐标系中,已知的三个顶点坐标分别为,,.(1)将先向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到(点、、分别与点A、B、C对应),请在图中画出；(2)将绕原点O顺时针旋转得到(点、、分别与点A、B、C对应),请在图中画出,并写出点的坐标.21.（10分）某水果店在蓝莓上市期间,用1800元购进蓝莓销售,由于蓝莓深受顾客喜欢,购进的蓝莓很快售完,该水果店又用1200元购进这种蓝莓,因为每千克蓝莓的价格比第一次便宜了10元,所以购进蓝莓的数量与第一次的数量相同.(1)该水果店第一次购进蓝莓的价格每千克多少元？(2)假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完,要使总利润不低于1200元,每千克蓝莓的售价至少是多少元？22.（12分）如图，在中，，，厘米，点D从点A开始以1厘米/秒的速度向点C运动，点E从点C开始以2厘米/秒的速度向点B运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒；过点E作交AB于点F；(1)当t为何值时，为等边三角形？(2)当t为何值时，为直角三角形？(3)求证：；23.（13分）已知中，，（1）如图1，在中，若，且，求证：；（2）如图2，在中，若，且CD垂直平分AE，，，求BD的长；（3）如图3，在中，当BD垂直平分AE于H，且时，试探究，，之间的数量关系，并证明.

答案以及解析1.答案：A解析：A.是中心对称图形,符合题意；B.不是中心对称图形,不符合题意；C.不是中心对称图形,不符合题意；D.不是中心对称图形,不符合题意；故选：A2.答案：D解析：A、四个角都相等的四边形是矩形,不一定是正方形,原命题不正确,不符合题意；B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形,原命题不正确,不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形,原命题不正确,不符合题意；D、对角线互相垂直的矩形是正方形,原命题正确,符合题意；故选：D.3.答案：D解析：依题意，，解得：，故选：D.4.答案：D解析：A、逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”，是真命题；B、逆命题为“如果，那么”，是真命题；C、逆命题为“如果三角形的每个内角都等于60°，那么这个三角形是等边三角形”，是真命题；D、逆命题为：“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，故此命题是假命题.故选：D.5.答案：A解析：由平移的性质可得,∵,,∴,∴,故选：A.6.答案：D解析：∵将绕点A逆时针旋转40°得到,∴,,∴,∴.故选：D.7.答案：D解析：A、,则,选项说法错误,不符合题意；B、,则,选项说法错误,不符合题意；C、,则,选项说法错误,不符合题意；D、,则,选项说法正确,符合题意；故选：D.8.答案：B解析：过点D作于点M，射线平分，，；，的面积为10，；；解得，故故选B.9.答案：B解析：在图中标上点A，B，C，如图所示，根据题意得：；；..故选：B.10.答案：B解析：解不等式,得,解不等式,得,不等式与有且只有3个公共整数解,整数解为1,2,3,,在数轴上表示为:11.答案：B解析：如图,将绕点B顺时针旋转得到,连接,,,,是等边三角形,,作于E,则,,,,与的面积之和,故选：B.12.答案：C解析：四边形是平行四边形，，，平分，，，，，，即，，故①正确；，，是等边三角形，，，四边形是平行四边形，，是的中位线，，，故②正确；，，，故③错误；，，，，故④正确；故选：C.13.答案：/解析：,故答案为：.14.答案：解析：点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，点B的坐标为，即.故答案为：.15.答案：解析：原式.，.16.答案：解析：在矩形中,,∴,,∵,∴,∵,∴,在中,由勾股定理得,故答案为：.17.答案：解析：如图，过E作，截取，连接，.，，四边形为平行四边形，，，为等边三角形，，，，，四边形为平行四边形，，，为等边三角形，，，根据勾股定理，即，，，，带入化简得：，故答案为：.18.答案：(1)(2),数轴见解析解析：(1).(2)解不等式,得,解不等式,得.在同一条数轴表示不等式组的解集：因此,原不等式组的解集是.19.答案：证明见解析解析：证明：∵平分,∴,∵,∴,∴,∴,同理得,∴,∵,∴四边形是平行四边形,又∵,∴四边形是菱形.20.答案：(1)图见解析(2)图见解析,解析：(1)如图,即为所求；(2)如图,即为所求；点的坐标为.21.答案：(1)30元(2)35元解析：(1)设该水果店第一次购进蓝苺每千克x元,则该水果店第二次购进蓝苺每千克元,根据题意,得：,解得.经检验,是所列方程的根,答：该水果店第一次购进蓝莓每千克30元.(2)设每千克蓝莓的售价是y元,根据题意,得：解得.的最小值为35.答：每千克蓝莓的售价至少是35元.22.答案：(1)当t为2时，为等边三角形；(2)当t为1.2或3时，为直角三角形(3)见解析解析：由题意得，.(1)若为等边三角形，则，，解得，当t为2时，为等边三角形.(2)若为直角三角形，当时，，，，，，解得；当时，同理可得，，，，当t为1.2或3时，为直角三角形.(3)证明：