考点03 三角形及其性质（原卷版）

考点三三角形及其性质知识点整合一、三角形的基础知识1．三角形的概念由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2．三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3．三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4．三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．考向一三角形的三边关系在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断．典例引领1．等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是（

）A． B． C．和 D．以上都不正确2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（

）A．2，3，6 B．4，4，8 C．4，7，11 D．5，8，123．下列木棒中，能与和的两根木棒围成一个三角形的是（）A． B． C． D．4．在中，边上的中线把的周长分为21和27的两部分，则的长为（

）A．12 B．12或20 C．18 D．18或205．下面不能组成三角形的三条线段是（）A． B．C． D．6．已知一个三角形有两条边相等，一边长为，另一边长为，则这个三角形的周长为（

）A． B． C．不能确定 D．或变式拓展7．已知a、b、c是的三边，，，c为整数，则c的最小值为．8．在中，，，则边上的中线长x的取值范围是．三、解答题9．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，(1)若，求m的值；(2)已知的斜边长为，而且，恰好是另外两条直角边的长，求这个的周长．10．在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为：，(1)若与关于y轴对称，请写出点的坐标（直接写答案）：；；；(2)的面积为；(3)在y轴上画出点P，使最小．11．已知，，是三角形的三边长．(1)化简：；(2)若，，，求（1）中式子的值．12．已知是三角形的三边长．(1)化简：；(2)满足，且三角形的周长是16，判断此三角形的形状，并说明理由．13．如图，在中，，边上的中线把的周长分成50和35两部分，求和的长．14．已知关于x的一元二次方程．(1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根．(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值；(3)若等腰三角形的其中一边为4，列两边是这个方程的两根，求m的值．考向二三角形的内角和外角在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．典例引领1．如图，，点在边上，，则等于（

）A． B． C． D．2．如图，等腰三角形中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，则等于（

）

A． B． C． D．3．如图，点D，E为的边上的点，且满足，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．4．如图，已知中，，P为内一点，过点P的直线分别交于点M、N，若M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，则的度数为（

）A． B． C． D．无法确定5．如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点M，N，点D是边的中点，点P是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是（

）A． B． C． D．以上都不正确变式拓展6．如图，中，，点D是边上的一点，连接，将沿折叠，使点C落在点E处，当是直角三角形时，的度数为．7．如图，中，的垂直平分线分别交BC于点E、F．若，则．8．如图，是等边三角形，，．若，则cm．9．如图，已知等边三角形纸片，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则的度数为．10．如图，，点，分别是射线，上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点，则的大小为．三、解答题11．如图，是一张纸片，是边上的高线，把沿着折叠，点落在边上的处．(1)如果，，求的度数；(2)如果，，，求的面积．12．如图，已知点、是内两点，且，，．(1)求证：；(2)延长、交于点，若，，求的度数．考向三三角形中的重要线段三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．另外，要注意区分三角形的中线和中位线．中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.典例引领1．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（

）A．

B．

C．

D．

2．如图，是的中线，，若的周长比的周长大3，则的长为（）A．3 B．4 C．5 D．63．如图，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（

）A． B． C． D．4．下列说法正确的是（

）A．三条线段组成的图形叫三角形 B．三角形的角平分线是射线 C．任何一个三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线 D．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外5．下列说法正确的有（

）①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条高线都在三角形内部；③三角形的三条角平分线的交点叫做三角形的重心；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．则下列说法：①；②和面积相等；③；

④．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个变式拓展7．如图，在中，，分别以点和点为图心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点．若，则度．8．如图，是中边上的中线，分别是的中点．若的面积为3，则的面积为．三、解答题9．作图题：(1)在图①中，作过点P作直线，垂足为H：作直线；(2)请直接写出