专题07 函数中的双变量问题（解析版）

专题7函数中的双变量问题一、考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点,近几年高考试卷及各地模拟试卷中常出现在函数背景下借组导数处理含有两个变量的等式与不等式问题,这类问题由于变量多,不少同学不知如何下手,其实如能以函数思想为指导,把双变量问题转化为一个或两个一元函数问题,再利用导数就可有效地加以解决.二、解题秘籍(一)与函数单调性有关的双变量问题此类问题一般是给出含有的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解.常见结论：(1)若对任意,当时恒有,则在D上是增函数；(2)若对任意,当时恒有,则在D上是增函数；(3)若对任意,当时恒有,则在D上是增函数；(4)若对任意,当时恒有,则在D上是增函数.【例1】（2024届四川省仁寿第一中学校高三上学期第一次调研）已知函数．(1)求的单调区间；(2)存在且，使成立，求的取值范围．【解析】（1）由题意得，令得，时，，在上单调递增；时，，在上单调递减；综上，单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由题意存在且，不妨设，由（1）知时，单调递减．等价于，即，即存在且，使成立．令，则在上存在减区间．即在上有解集，即在上有解，即，；令，，，时，，在上单调递增，时，，在单调递减，∴，∴．(二)与极值点有关的双变量问题与极值点有关的双变量问题,一般是根据是方程的两个根,确定的关系,再通过消元转化为只含有或的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为的齐次式,然后转化为关于的函数，此外若题中含有参数也可考虑把所给式子转化为关于参数的表达式.【例2】（2024届福建省福州第一中学高三上学期质量检查）已知函数．(1)若，，求实数a的取值范围；(2)设，是函数的两个极值点，证明：．【解析】（1）当时，，在时，，单调递减，又，所以，不满足题意；当时，，若，即时，，在上单调递增，又，所以，满足题意；若，即时，令，可得，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，而，所以，不满足在上.综上所述，；（2）当时，由得，单调递减，无极值，不满足题意；当时，，若，即时，，在上单调递增，无极值，不满足题意；若，即时，令，可得，，此时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以为极大值，为极小值，且，，，要证，即证，即，即证：，即证：则，因为，故在上为减函数，故，故成立，故.【例3】（2023届云南省曲靖市高三下学期第二次联考）已知函数.(1)当时，试讨论函数的单调性；(2)设函数有两个极值点，证明：.【解析】（1）当时，定义域为，，令解得或，且当或时，，当时，，所以当或时，单调递增，当时，单调递减，综上在区间，上单调递增，在区间单调递减.（2）由已知，可得，函数有两个极值点，即在上有两个不等实根，令，只需，故，又，，所以，要证，即证，只需证，令，，则，令，则恒成立，所以在上单调递减，又，，由零点存在性定理得，使得，即，所以时，，单调递增，时，，单调递减，则，又由对勾函数知在上单调递增，所以所以，即得证.(三)与零点有关的双变量问题与函数零点有关的双变量问题,一般是根据是方程的两个根,确定的关系,再通过消元转化为只含有或的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为的齐次式,然后转化为关于的函数,有时也可转化为关于的函数,若函数中含有参数,可考虑把参数消去,或转化为以参数为自变量的函数.【例4】已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若函数在定义域内有两个不相等的零点．①求实数a的取值范围；②证明：．【解析】(1)当时，函数，定义域为．．由，得．当时，，当时，，所以的单调递减区间为，单调递增区间为．(2)①若函数在定义域内有两个不相等的零点，则方程有两个不等的实根．即方程有两个不等的实根．记，则，记，则在上单减，且，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在单调递减．∴．又∵且当时，，∴方程为有两个不等的实根时，．∴当时函数在定义域内有两个不相等的零点．②要证，只需证，只需证，因为，两式相减得：．整理得．所以只需证，即证，即，不妨设，令，只需证，只需证，设，只需证当时，即可．∵，∴在（单调递减，∴当时，，∴在单调递增，当时，∴原不等式得证．明.(四)独立双变量,各自构造一元函数此类问题一般是给出两个独立变量,通过变形,构造两个函数,再利用导数知识求解.【例5】（2024届陕西省宝鸡实验高级中学高三一模）已知函数，是自然对数的底数.(1)当时，求整数的值，使得函数在区间上存在零点；(2)若存在使得，试求的取值范围.【解析】（1），，当时，，，故是上的增函数，同理是上的减函数，，且时，，故当时，函数的零点在内，满足条件．同理，当时，函数的零点在内，满足条件，综上．（2）问题当时，，，①当时，由，可知；②当时，由，可知；③当时，，在上递减，上递增，时，，而，设（仅当时取等号），在上单调递增，而，当时，即时，，即，构造，易知，在递增，，即的取值范围是．(五)构造一元函数求解双变量问题当两个以上的变元或是两个量的确定关系在解题过程中反复出现.通过变量的四则运算后,把整体处理为一个变量,从而达到消元的目的.【例6】已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．【解析】(1)解：因为，所以，即切点坐标为，又，∴切线斜率∴切线方程为：(2)解：因为，

所以，令，则，∴在上单调递增，∴∴在上恒成立，∴在上单调递增.(3)解：原不等式等价于，令，，即证，∵，，由（2）知在上单调递增，∴，∴∴在上单调递增，又因为，∴，所以命题得证.(六)独立双变量,把其中一个变量看作常数若问题中两个变量没有明确的数量等式关系,有时可以把其中一个当常数,另外一个当自变量【例7】已知函数，(1)若函数在处的切线也是函数图像的一条切线，求实数a的值；(2)若函数的图像恒在直线的下方，求实数a的取值范围；(3)若，且，证明：>【解析】(1)，在处切线斜率，，所以切线，又，设与相切时的切点为，则斜率，则切线的方程又可表示为，由，解之得．(2)由题可得对于恒成立，即对于恒成立，令，则，由得，+0↗极大值↘则当时，，由，得：，即实数的取值范围是．(3)由题知，由得，当时，，单调递减，因为，所以，即，所以，①同理，②①+②得，因为，由得，即，所以，即，所以．(七)双变量,通过放缩消元转化为单变量问题此类问题一般是把其中一个变量的式子放缩成常数,从而把双变量问题转化为单变量问题【例8】（2023届湖北省武汉市江汉区高三上学期7月新起点考试）已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)设是函数的两个极值点.①求实数a的取值范围；②求证：.【解析】（1）当时，，当时，，当时，单调递增，且，时，，时，，所以时，，∴的单调递减区间为（－∞，1），递增区间为（1，+∞）.（2）①∵函数有两个极值点，∴方程，即有两个解.令，则的图象与的图象有两个交点.而当时，，递减，；当时，，递增，∴又∵时，；时，，∴当时，g（x）单调递减，且；当时，g（x）单调递增，且∴的图象与的图象有两个交点的充要条件是故a的取值范围为（－，0）②不妨设是的两个极值点，且，由①可知，或时，，时，，f（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.∵，∴∴（是极大值），∴要证，只需证设，其中，则，令，则，令，，∴在（－1，+∞）上单调递增.∵.∴∴t（x）在（－1，+∞）上单调递增，∴，即∴h（x）在（－1，+∞）上单调递增，∴，又，∴故．三、典例展示【例1】（2024届湖北省武汉市部分学校高三上学期九月调研）已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若，，且有两个极值点，分别为和，求的最小值．【解析】（1）时，，，令，可得或，当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以在和上单调递增，在上单调递减.（2），令，可得.由题意可得，是关于的方程的两个实根，所以.由，有，所以.将代入上式，得，同理可得.所以①.令，①式化为，设，即，则，记，则.记，则，所以在上单调递增，所以，所以，在上单调递增，所以.所以，在上单调递减.又，当且仅当且，即时，取到最大值，即的最大值为2.因为在上单调递减，所以.所以的最小值为.【例2】（2024届重庆市第十一中学高三上学期第一次质量监测）已知函数，为的导函数，(1)当时，（i）求曲线在处的切线方程；（ii）求函数的单调区间；(2)当时，求证：对任意的，有.【解析】（1）（i）当时，，则，，所以在处切线的斜率，所以切线方程为.（ii）由（i）可知，所以，令解得，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增.（2）由题意可知，，对任意的，令，，则①，令，，当时，，由此可得在上单调递增，所以当时，，即，因为，，，所以②，由（1）（ii）可知当时，，即，故③，由①②③可得，所以当时，对任意的，.【例3】（2023届内蒙古乌兰察布市高三上学期期中）设函数，(1)试讨论函数的单调性；(2)如果且关于的方程有两个解，证明：.【解析】（1）的定义域为，∴，令，解得，或，当时，则当时，，当时，，∴在上为减函数，在上为增函数，当时，则当时，，当时，，∴在上为减函数，在上为增函数，当时，恒成立，即在上是增函数，综上可得，当时，在上为减函数，在上为增函数，当时，在上为减函数，在上为增函数，当时，在上是增函数，（2）证明：当且关于的方程有两个解等价于当存在，由（1）当时，在上为减函数，在上为增函数，不妨设，设，，∴∴在上单调递减，∴，即当时，，由于，∴，即，∵，∴，又，，在上为增函数，∴，即.【例4】已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)任取两个正数，当时，求证：.【解析】(1).当时，，令，得；令，得.所以在上单调递增，在上单调递减.当，即时，令，得或；令，得.所以在，上单调递增，在上单调递减.当，即时，恒成立，所以在上单调递增.当，即时，令，得或；令，得.所以在，上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；(2)证明：由题意得，.要证，只需证，即证，即证.令，所以只需证在上恒成立，即证在上恒成立.令，则，令，则.所以在上单调递减，即在上单调递减，所以，所以在上单调递增，所以.所以.【例5】已知（1）求的取值范围；（2）若,证明：；（3）求所有整数,使得恒成立.注：为自然对数的底数.【解析】（1）当时,有与矛盾；当时,有与而,与矛盾；当时,有则,由得,所以；综上所述：；（2）设,则,当时,,则在上递增,由于得,即,由（1）知,又,故要证即证即证且①要证,需证,即证需证,设,需证由,又,所以所以在单调减,则,所以成立,则成立；②要证,由于,则需证,即证需证,设,需证由,又,,故有,,所以在单调减,在单调增又,所以,则,得所以成立；（3）因为,所以由设,由,得在上单调减,在上单调增又因为则所以由恒成立,所以的值可以是四、跟踪检测1．（2024届浙江省名校协作体高三上学期联考）已知函数有两个极值点．其中，为自然对数的底数．(1)求实数的取值范围；(2)若恒成立，求的取值范围．【解析】（1）由于，由题知有两个不同实数根，即有两个不同实数根．令，则，解得，故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，故的图象如图所示，

当时，有两个零点且．则或，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，的极大值点为，极小值点为．故有两个极值点时，实数的取值范围为．（2）由于若设，则上式即为由（1）可得，两式相除得，即，由得所以，令，则在恒成立，由于，令，则，，显然在递增，又有，所以存在使得，且易得在递减，递增，又有，所以存在使得，且易得在递减，递增，又，则时，时，，所以易得在上递减，在上递增，则，所以的取值范围为．2．（2024届贵州省思南中学高三上学期第二次月考）已知函数．(1)讨论的单调性．(2)若有两个不相等的实数满足，求证：．【解析】（1）的定义域为，由，得，由，得，由，得，所以在上递增，在上递减，（2）证明：由（1）得在上的值域为，在上的值域为，因为，所以不妨设，则要证，只要证，由，由（1）得在上递增，所以只需证，因为，所以只要证，则，所以，令，则只需证，由于，从而得，所以要证成立，只需在单调递增成立即可，，令，则，所以在上单调递减，所以，所以，所以在单调递增成立，所以原命题成立.3．（2024届重庆市拔尖强基联盟高三上学期九月联考）已知函数是定义域上的奇函数，当时，的最小值为4.(1)求实数的值;(2)令，对，都有，求实数的取值范围.【解析】（1）根据题意可知，对应定义域内任意，函数满足，即，即，解得；所以，当时，，即，解得；所以，.（2）由（1）可得，令，，则，易知当时，，此时函数在上单调递减，当时，，即函数在上单调递增，所以；令，则可化为，因为二次函数的对称轴为，所以函数在上单调递增，又对，都有，即即可；所以，即，解得，所以；综上可得，实数的取值范围是.4．（2024届重庆市渝北中学高三上学期8月月考）已知函数，．(1)当时，求函数的极值；(2)若任意、且，都有成立，求实数的取值范围．【解析】（1）当时，，其中，则，令，解得或，又因为，所以，列表如下：20单调递减极小值单调递增因此有极小值，无极大值.（2）解：因为，，所以，其中，对、且，不妨设，则，得到，化为，设且函数的定义域为，所以在为增函数，即有对恒成立，即对任意的恒成立，设，其中，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以最大值，因此实数的取值范围是．5.（2024届江西省赣州市第四中学高三上学期开学考）设m为实数，函数.(1)当时，直线是曲线的切线，求的最小值；(2)已函数有两个不同的零点，（），若，且恒成立，求实数的范围.【解析】（1）当时，，∴，设切点为，则切线斜率，∴切线方程为，∴，，∴，令，则，由，可得；由，可得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，即的最小值为；（2）∵有两个不同的零点，（），∴，，，∴，∴，设，则，又，∴，将代入上式可得：恒成立，又，则，∴恒成立，设，，则，，（ⅰ）当时，，∴，∴在上单调递减，恒成立，∴；（ⅱ）当时，∵，∴时，，在上单调递减；时，，在上单调递增，∴时，，综上可得.6.（2024届安徽省安庆、池州、铜陵三市部分学校高三上学期开学联考）已知函数，，若曲线与相切.(1)求函数的单调区间；(2)若曲线上存在两个不同点，关于y轴的对称点均在图象上.①求实数m的取值范围；②证明：.【解析】（1）设曲线与的切点坐标为，由，得.故切线方程为：，即，又切线方程为，所以，

①

且，

②设，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，最大值为，由②可得：代入①得：，故，所以递减区间为，递增区间为.（2）由（1）知，故，，①，关于y轴的对称点为，，由已知得：，，即有两个不等的实根，，令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，又，，，，且，故实数m的取值范围是；②不妨设，要证明，即证，因为当时，单调递减，故只需证，又，即证明，令，因为，故，故，在单调递减，所以.故，即，所以.7.（2023届广东省华南师范大学附属中学高三三模）已知函数，.(1)讨论零点的个数；(2)当时，若存在，使得，求证：.【解析】（1），所以，若，由，，即在上单调递增，在上单调递减，故，若，则，此时函数无零点；若，，此时函数只有一个零点；若，，时，，，即使得，即此时函数有两个零点；若，由或，，即在和上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，而，且，即使得，此时函数有且仅有一个零点；若，此时恒成立，即在上单调递增，，即使得，此时函数有且仅有一个零点；若，由或，，即在和上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，，又，即使得，此时函数有且仅有一个零点；综上所述：时，有两个零点；时，没有零点；时，有一个零点.（2）当时，由（1）任取设，先证，即证，设，即在定义域上单调递增，故，则成立，由得：所以，即，解得，故，证毕.8.（2023届安徽省五校高三5月联考）已知正实数，函数，，为的导函数.(1)若，求证：；(2)求证；对任意正实数m，n，，有.【解析】（1），∴在上单调递增，得要证：只需证：.即即证：令，，∴在上单调递增故证，即令，，，，在上单调递增∴存在唯一使，在上单调递减，在上单调递增∴∴，故原不等式成立，即；（2）由（1）知，在上单调递减∴，即由于，且m，n为正实数，不妨令∴.9.（2023届湖南省长沙市第一中学高三上学期入学摸底考试）已知函数（e是自然对数的底数）.(1)若（）是函数的两个零点，证明：；