第四章数学建模建立函数模型解决实际问题：探究茶水温度与时间的关系高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

数学建模活动——探究茶水温度与时间的关系高中数学

01.实验基本信息02.实验目标03.实验原理04.实验设计思路与创新点05.教学过程06.实验效果评价实验基本信息01一、教材分析教学内容

人教A版数学必修第一册《数学建模

建立函数模型解决实际问题》第一课时1.运用已有函数知识解决实际问题2.体会建立函数模型的过程3.感受函数在生活中的广泛应用一、教材分析素养导向教育信息化2.0根本任务：积极推动“互联网+教育”,坚持信息技术与教育教学深度融合。政策导向数学建模实验活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程，是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动。有利因素高一学生思维活跃、求知欲强，本节课研究的内容是有关茶水温度，学生曾在物理化学等学科进行过实验操作，有初步的实验思维。不利因素高中阶段的数学建模实验课对于高一学生来说接触较少，经验不够丰富，在实验操作探究中容易出现问题，不同学生的差异性容易产生不同的学习效果。二、学情分析授课对象：高一学生实验目标02培养科学探究精神，激发对科学实验的兴趣。能从实验数据中提取有意义的结论，处理数据，培养学生数据分析、数学建模核心素养。掌握实验操作的基本技能，包括记录数据和绘制温度变化散点图。了解温度变化的基本原理，理解实验设计中的控制变量的概念。一、教学目标目标一目标二目标三目标四学生课前查阅资料后，能否准确回答温度变化的理论问题，评价对知识的理解程度。观察实验操作过程，根据实验器材使用的正确性、数据记录的规范性给予评价。诊断并发展学生获取信息能力、问题解决能力。诊断并培养学生严谨的科学态度、实验中的细节和数据的准确性，提高小组合作能力。教学评一体化二、重难点突破1.实验操作的规范性2.从实际问题中抽象出数学问题3.函数模型的选择和修正1.进行预实验，对实验中器材、信息技术SPSS、Excel公式的使用进行课前演示2.以问题串的形式引导，强调情境中的关键词3.通过问题驱动回顾以前的基本初等函数图象及性质，为建立模型中函数拟合做好准备实验过程中数据的采集及绘制散点图教学重点教学难点突破策略二、突破策略教学方法实验探究法问题引导法多媒体辅助教学法本着贯彻“以学生为主体，教师为主导”的理念，把培养学生的逻辑思维能力作为根本目标，设计以下的教学方法：自主学习方法合作探究法讨论法归纳总结法交流展示法实验设计思路与创新点03实验材料SPSS软件一、实验器材秒表量杯电子天平温度传感器数据采集终端信息技术软件茶叶、水Excel测量初始温度使用温度计测量每个杯子中茶水的初始温度，确保所有杯子的初始温度尽量一致。STEP1STEP2STEP3STEP4STEP5二、实验步骤准备工作先在杯子中投放3g绿茶，热水烧开初始温度为85℃，准备好相同材质的玻璃杯，清洗并晾干。倒入热水将相同体积的热水倒入相同材质的杯子中，确保每个杯子的水量一致。记录温度变化每隔1分钟使用温度传感器测量并记录茶水的温度，持续15分钟。数据记录与分析将不同杯子的温度随时间变化的数据记录在表格中；绘制温度随时间变化的散点图，观察杯子中茶水的降温规律；进行数据分析，建立茶水温度随时间变化的函数模型。在模型的构建、数据的处理和求解数学模型等方面都是数学在解决问题上的应用。数学素养工程素养经历构建模型解决问题的全过程，形成良好的工程思维艺术素养从品茶引发的数学问题，感受我国茶文化的博大精深，陶冶情操科学素养用科学的手段测量温度并收集数据，用数学的方法分析数据，树立严谨求实的科学精神技术素养融合物理知识，并利用信息技术的手段分析和处理数据，提高动手操作能力1.将STEAM教育理念、跨学科知识融入数学建模实验探究课三、创新点3.教学形式上将演示—探究—评价有机结合，教学评一体化，推动问题解决三、创新点2.运用SPSS软件、计算机Excel辅助教学，让学生深刻体会信息技术辅助知识学习的工具作用1.实验准备阶段1初始温度：确保每次实验中热水的初始温度均为85℃2水量：确保每个杯子中茶水的体积均为150ml3环境温度：在相同的室温条件下进行实验改进措施：控制变量未进行实验假设或控制变量，会导致结果出现误差教材中：四、实验改进2.收集数据采集数据偏少，不容易看出温度变化规律改进措施：增加数据采集时间教材中：四、实验改进使用科学计算机计算过程繁琐，费时费力改进措施：利用Excel表格公式功能求解教材中：3.求解建立模型中a的值四、实验改进实验原理04牛顿冷却定律英国物理学家和数学家牛顿（IssacNewton,1643-1727年）曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型。如果物体的初始温度是，环境温度是

，则经过时间t后物体的温度将满足：其中k为正的常数。冷却定律推导出来,在忽略表面积以及外部介质性质和温度的变化,物体温度变化是越来越慢的。

一、实验原理✔教学目标一：了解温度变化的基本原理实验教学过程05一、教学过程0201030506环节一创设情境，提出问题环节六课后小结，归纳思考环节五利用模型，解决问题环节二选定对象，采集数据环节三直观呈现，散点作图环节四选择模型，求解模型教学过程04设计意图给出所要研究问题的背景，体验感受中国的茶文化，以问题串的形式，逐渐引导学生将实际问题转化为数学问题，从而让学生体会意识到建立茶水温度和时间函数模型的必要性。情境创设：中国的茶文化【问题1】针对以上实例我们能提出什么问题呢？【问题2】在这个问题中变量是什么？【问题3】如何建立两者之间的函数模型呢？

经验表明某种绿茶用85℃的热水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感。环节一

创设情境

提出问题竹叶青设计意图让学生经历数学建模的初始阶段，体会到数据采集这一环节的重要性，为后面对数据的处理分析有重要的指导意义。分工：以3人为一小组，其中一人负责用秒表（手表）读时间，一人负责数据读取，一人负责填写《数据采集记录表》。环节二

选定对象

采集数据准备：教师介绍实验器材使用方法，准备每组初始温度相同的茶水一杯，温度传感器一台、秒表一个。要求：先在杯子中投放3g绿茶,再用量杯称量150ml水，煮沸后待温度降至85℃时泡制绿茶,每隔1分钟测量茶水的温度并记录数据，持续15分钟。学生实验操作过程环节二

选定对象

采集数据设计意图

让学生经历散点作图的过程，体会散点图的作用，数少形时缺直观的思想。【问题4】得到这些数据要怎么处理？【问题5】数据表明随着时间的推移茶水温度有怎样的变化规律？环节三

直观呈现

散点作图根据散点图的走势，你会选择建立怎样的函数模型?【问题6】变量间关系可以建立一次函数y=kx+b模型吗？考虑泡茶时的室温是恒定的，温度会一直降低下去吗？【问题7】可以建立指数函数、二次函数、对数函数模型吗？？环节四

选择模型

求解模型指数型函数模型的校正过程✔教学目标三：能够从实验数据中提取有意义的结论【问题8】是函数吗？反比例函数呢？（注：我们把

称为指数型函数）

环节四

选择模型

求解模型根据选择的函数模型与采集数据，求解函数模型由初始温度85℃知，k=60,如何求a的值呢？讨论得：指数型

及反比例型若选择指数型设计意图1.让学生回顾以前所学习过的函数模型，为后面模型的选择做准备。2.得到不符合实际的函数模型后，引导学生通过对解析式的结构以及实际情况分析，校正模型。环节四

选择模型

求解模型✔教学目标三：能够掌握数据的处理。模型检验【问题9】两种函数模型均符合实际情况，哪一种模型拟合效果更好一些？解答：介绍SPSS软件及操作后，小组间利用spss演示拟合的函数结果，并对比两种函数模型拟合的差异。设计意图利用SPSS软件拟合函数，让学生体会信息技术和数学学科的融合特点。同理利用相邻的两组数据，计算参数的平均值，得到反比例型函数模型：SPSS软件：一款强大的统计分析工具，可用于拟合各种函数。环节四

选择模型

求解模型设计意图通过实际问题的最终解决，让学生感受到数学建模的意义和价值。经过多长时间茶水可以达到最佳饮用口感？将y=60带入函数：得：，左右两边同时取对数得：所以，泡制一杯最佳口感的茶水大约需要9分钟.环节五

利用模型

解决问题设计意图通过小结，让学生更加清楚建立两个变量模型的方法和步骤，通过课后探究活动，进一步体会模型的优化问题，提高高中生数学建模核心素养。数学建模的一般步骤：环节六

归纳小结

课后思考学生撰写的研究报告实验效果评价06一、实验效果探究茶水温度与时间的关系问卷调查一、实验效果表1学习兴趣与态度一、实验效果表2知识理解与掌握一、实验效果表3学习方法与技能表4学习收获与应用效果评价：提高了学生积极性和参与度培养了动手实践、观察、分析、解决问题的能力和严谨的实验态度将所学运用于生活中一、实验效果教师与组员课堂评价量表:课堂评价量表（单项10分）第（

）组1分2分3分4分5分6分7分8分9分10分对应目标课前准备课堂动手实验

1.能够争取搭建仪器，提升实验操作能力，培养合作精神。数据观察

1.能够了解初等函数的图象、性质特点；2.能够应用函数图象、性质解决实际问题；3.能够借鉴函数性质特点进行知识迁移，解决实际问题。数据分析

数学内容猜想

1.能够结合所学函数知识对实验数据进行合理的、深入的研究；2.能够利用计算机工具画出散点图，并利用图象特点找到适合的函数模型。建立函数模型