2023年高考数学一轮复习易错题专项突破：空间角与空间距离

2023年高考数学易错点专题突破：空间角与空间距离

一、单选题

1.如图，PA_L平面ABC,zACB=90。且PA=AC=BC=a,则异面直线PB与

AC所成角的正切值为（）

D.I

2.三棱柱中，AB=3,4C=1,CCt=2,AA1AB=AA±AC=60。，

484?=90。,则异面直线4。与86所成角的余弦值为（）

112

A.OB.-C.-D.-

535

3.在正方体4BC0-818165中，异面直线AC与％5所成的角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.在四面体P-4BC中，PA,PB,PC两两垂直，M是面ABC内一点，M到

三个面PAB,PBC,PCA的距离分别是2,3,6,则M到P的距离是（）

A.7B.8C.9D.10

5.在空间中，异面直线a,b所成的夹角为a,且sina=（贝ijcosa=（）

A.立B._里C.立或—立D.-i

22222

6.在底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱A1B1G中，若®BB、，

则AB1与C$所成角的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

7.在正方体ABCD-4/iGDi中，E为BC1的中点，则异面直线OE与所成角

的正切值为（）

A.在B.在C.在D.V2

232

8.已知△ABC的三顶点坐标分别为4(10,-L6),8(4,1,9),C(2,4,3),则S08c=

()

A.—B.—y/2C.—D.—V2

2244

二、填空题

9.在正方体ABC。-A$iGDi中，点M,N分别是A4,BB1的中点，则CM和Z\N

所成角的余弦值为.

10.点S、A、B、。在半径为&的同一球面上，点S到平面ABC的距离为右AB=

8。=。4=遍，则点S与乙4BC中心的距离为.

11.如图，在平行六面体ABCD中，A8=l,AD=2,AAr=3,々BAD=

90°,Z-BAA1=/.DAA1=60°,则AC】=.

12.已知正四棱柱ABC。一4B1C15中，AB=1,AA1=2,点E为CC1的中点,

则点5到平面3。七的距离为.

三、解答题

13.如图，在正方体48C。-4回c。1中E,尸分别是AD,4al中点.

(1)求直线481和CCi所成角的大小;

(2)求直线ABi和E尸所成甭的大小.

14.如图，在四棱锥P-A8C/)中，四边形ABCO为平行四边形，AB1AC,PA1

平面ABC。，且P4=4B=3,AC=2,点E是PQ的中点.

(1)求证：PB〃平面4EC；

(2)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M,使得二面角M-AC-E的余弦值

为也?若存在，确定M的位置；若不存在,请说明理由.

10

15.如图所示的儿何体中，BE_L平面ABCD,AF〃BE,四边形ABCD为菱形,48=

45=2,点M,N分别在棱尸。，ED上.

(1)若BF〃平面MAC,设翳=九求兀的值;

(2)若=60。，器=%直线5N与平面A3CO所成角的正切值为争求

三棱锥B-ENF的体积.

答案及解析

1.【答案】A

【解析】解：观察图形，可以将该图看成是正方体的一部分，

因此可以通过补形来求异面直线的夹角的正切值，将此多面体补成正方体

DBCA-D$iGP（如图所示），

则与AC所成的角的大小即此正方体的体对角线P8与棱3。所成角的大小.

故在中，taMDBP嚏=等=鱼.

2.【答案】A

【解析】解：无？二前一幅，BCi=BC+CCl=AC-AB+CC^

砧•蚓=（而一矶）•（而-荏+居）

=(AC-•(AC-AB+标)

■■■■■'■•2・・・・・・/一・，・一..•一一一,・・・■・・・・♦一-・，・・，・，・・・♦・・・，・1・■———■■♦2

=AC-AC-AB+AC-AAt-AAr-AC+AA±-AB-AA1

=12—0+lx2xcos60°—1x2xcos6004-3x2xcos600-22

=1+3-4

=0,

・••AXC1BQ

即异面直线为C与BCi所成角为90。,

•••cos90°=0,

3.【答案】D

【解析】解：在正方体ABC。—4当GDi中，B]Di“BD,AC1BD,

:.AC1B[D],

・•・异面直线8也与AC所成的角为90。,

4.【答案】4

【解析】解：由于尸4PB,PC两两垂直，M是面48C内一点,

作出长方体如图，

M到三个面PA8,PBC,尸CA的距离分别是2,3,6,则M到尸的距离,

就是长方体的体对角线的长：72?+32+62=7

5.【答案】A

【解析】解：•・・异面直线Q,b所成的夹角为Q

TT

A0<a<-；

2，

vsina=

2

••・cosa=.1—sin2a=—.

2

6.【答案】D

【解析】解：如图，建立空间直角坐标系,

设BBi=1,贝=企,4（—一,0,0）,8（彳,0,0）,81（彳,0,1）,。1（0,表1）,

则砧=（鱼,0,1）,蚓=（一日,£1），故福*•跖=0，

〜2

故A*与BCi所成角为90。,

7.【答案】C

【解析】解：如图所示,

vDC//A1B1,DC1BrC.

：,NEDC为异面直线OE与4Bi所成角

.，口八「EC色1。V2

tanz.EDC=—="——=一

DCDC2

8.【答案】A

【解析】解：△ABC的三顶点坐标分别为4(10,-1,6),5(4,1,9),C(2,4,3),

贝=7(10-4)2+(-1-I)2+(6-3)2=7，

\CB\=J(2—4>+(4—+(9—3)2=7,

\CA\=J(2-10)2+(4+Ip+(6-3)2=7企，

22

由于|C*2=\BA\+\CB\f

所以三角形A8C为直角三角形，

所以S〃BC=：X7X7=券,

9.【答案吗

【解析】解：取GC的中点尸，连接&P,

,:AiM“CP,且&M=CP,

•♦・四边形为MCP是平行四边形,

:・AiP"MC,

•••4也=BC=NP^

.・“止、DiN共面，设其交点为O,

则乙41。劣是异面直线CM与DiN所成的角,

设正方体的棱长为1,

22

AA1P=MC=y/AC+AM=〔2+：=：,D10=Ar0=

（7）2+（7）2-lI

cos乙4i°Di='2x力=9f

44

即直线CM与DiN所成角的余弦值是a

10.【答案】V2

【解析】解：如图，•・•点S、4、B、C在半径为近的同一球面上，

点S到平面ABC的距离为aAB=BC=CA=W，

设△ABC的外接圆的圆心为M,过S作SDJL平面ABC,交MC于O,

连结OO,OS,过S作M0的垂线SE,交MO于点E,

二半径r=MC=\13-4=1,/.MO=y/OC2—MC2=V2—1=1，

374

VSD1MC,ME1MC,：.MESD是矩形，；.ME=SD=

・•・MD=SE=y]SO2-OE2=2--=—,

yj42

・••SM=>JSD2+MD2=-+-=>/2.

SJ44

故答案为鱼.

11.【答案】V23

【解析】解：由题意，如图所示，作4。_L底面于O,作OE垂直A3于E,OF

垂直AD于广，连接4凡4E,

由于，=z.DAAt=60。，

A-^FA—△A-^EA,

:.ArF=A±E

.•.有△4/0以&EO,

・•・OF=OE,

由作图知，。在角QA8的角平分线上,

又・.•底面是矩形，

AzDAO=NBAO=45°,

又•・♦AB=1,AD=2,AA1=3,z.BAA1=Z.DAA1=60°,

•••AyF=A-\E=^AE=AF=/.AO=^

11222

・•・在直角三角形4O4中，解得4。=乎，

在图中作Cl"垂直底面于〃，作"R垂直。C延长线与凡由几何体的性质知,

HR=CR=1,A]O=Ci"=苧，

连接AH,得如图的直角三角形AS//,直角三角形AHC],

由已知及上求解得AS=[,SH=j

22222

・••AC1=AH+Ci”2=AS+SH+C^=7+7+7=^=23,

:.AC1—V23.

12.【答案】2

3

【解析】解：易知BZ7/&D1，又8。在平面BDE内，Bi。1不在平面3DE内,

・•・〃平面BDE,

则点5到平面BDE的距离等于点J到平面8OE的距离，设为h.

△BDE中,BD=DE=EB=办：.ShBDE=争

由/1-8DE=%-88逆,可得*X-/l=-X-XlX2Xl»

113232

,2V3

.•・h=——•

13.【答案】解：(1)如图，连接。G，

•••DG〃4B],0G和CQ所成的锐角NCC1D就是4位和CG所成的角.

•:乙CC1D=45°,AB1和CQ所成的角是45°.

•••EF//&。，AB±H/DClt

：・乙kDCi是直线4a和防所成的角.

•.•△441DG是等边三角形，

；・乙4。6=60°,即直线A/和所所成的角是60。.

14.【答案】(1)证明：连接3D交AC于点。，连接。E,

显然。为3。的中点，

又・.•点E是尸。的中点.，OE为三角形尸8。的中位线，

・•.OE//PB,

又OEu平面AEC,PBC平面AEC,

所以PB〃平面AEC；

(2)由已知以4为原点，分别以AC,4B和4P为方轴，y轴和z轴建立空间直角

坐标系A-xyzf

则有P(0,0,3),8(0,3,0),C(2,0,0),E(l,一|,5,

假设在PB上存在点M（0,〃，3-a）,0<a<3,

则配二（2,0，0）,AE=（l,-p1）,AM=（0^，3-a）,

设平面ACE的法向量为元=Qi，yi，Z］）,

则U-%=0,可取元=（。/，1），

设平面ACM的法向量为记=（x2,y2,z2）,

20

{Qy：；（3_Q）Z2=0,可取记=（°,Q—3，a），

由二面角M-AC-E的余弦值为叵，

io

可得|沆殖=|a-3+a|_VjO

|m||n|72V2az-6a+910'

解得。=1或2,

由于二面角M-AC-E的余弦值为正，故舍去Q=2,

即a=1,

・•・存在一点M,使得二面角M-4C-E的余弦值为包，

10

该点为PB上靠近尸点的三等分点.

15.【答案】解：（1）连接AC,BD,设4CnB0=P,

因为四边形A8CO为菱形，

所以P为AC与80的中点，

连接MP,

因为8F〃平面MAC,8Fu平面BFO,且平面BF。n平面MAC=MP,

所以BF〃MP,

因为尸为BQ的中点，

所以M为尸。的中点，

FM1

即Hn一=

FD2

(2)因为乙4BC=60四边形A8CO为菱形，AB=CB=2,

所以BO=2V3,

M

E

过N作NG“BE,且NGCBD=G,

因为丝=A

所以BG=2,

3

设BE=Q,

则NG=冢，

因为直线BN与平面ABCD所成角的正切值为tan/NBG=*=彳，

所以Q=V2，

所以三角形48。的面积S1=S梯形ABEF-SQABF=V2,

而点N到平面的距离即点G到平面BEF的距离为fl=3，

3

由0-ENF=VN-BEF=gS1•九='，

所以二棱锥。-EN”的体积为在.

9

16.【答案】解：（1）因为尸41平面Z5CD,CDu平面/5Q9,所以CD1R4,

又