二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习

二项分布与超几何分布辨析

二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两

个概率模型来解决.在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的.下面举例进行对比辨析.

例袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.求：

(1)有放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；

(2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列.

解：(1)有放回抽样时，取到的黑球数X可能的飘倬m0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均

为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X~4',3|

I5；

f1Y<4>64

.\P(Y=0)=Co|_x_=—；

3(5>1⑸125

(4、48

p(X=l)=Ci|-x|-I=—；

3⑸⑸125

(1V12

P(X=2)=G|-|x-I=—

3⑸⑸125

nV⑷。1

P(X=3)=C3|-X|-=一

3⑸⑸125

因此，X的分布列为

X0123

6448121

PT25125125125

2.不放回抽样时，取到的黑球数Y可能的取值为0,1,2,且有:

C\C17C2C11

p(r=o)=P(Y=1)=_2_JLP(Y=2)=2x

750

C315C3

ioiO

因此，y的分布列为

Y012

771

P

7?15

辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都

是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型.而不放回抽样时，取出一个则总体中就

少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型.因此，二项分布模型和超几何

分布模型最主要的区别在于是有放回抽样坏是不放回抽样.所以，在解有关二项分布和超几何分布问颍时,仔

细阅读、辨析题目条件是非常重要的.

超几何分布和二项分布都是离散型分布

超几何分布和二项分布的区别：

1/5

超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；

超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取(独立重复)

当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布

二项分布、超几何分布、正态分布

一、选择题

1.设随机变量",则P(g=3)的值为(

S2)

5

6---B-l6

16

2.设随机变量自B(2,p),随机变量n〜B(3,p),若P(自Pn

21)=-,则(21)=(

3.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现

10次时停止，设停止时共取了4次球，则P(占=12)=()

⑶⑸⑶⑸3

4.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件

A在一次试验中发生的概率p的取值围是1)

A.[0.4,1)B.(0,0.6]

C.(0,0.4]D.[0.6,1)

5.已知随机变量自服从正态分布N(2,。2),p(4W4)=0.84,则P(EV0)=()

A.0.16B,0.32C.0.68D.0.84

二、填空题

6.某篮运动员在三分线投球的命中也是g他投球10次，恰好投进3个球的概率.(用数值

作答)答案：21

128

7从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X个红球，则X的分布列为_______.

8某厂生产的圆柱形零件的外径£~N(4,0.25).质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件,

2/5

测得它的外径为5.7cm.则该厂生产的这批零件是否合格.答案：不合格

三、解答题

9一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类.检验员定时从该生产线上任取

2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C类产品或2件都是B类产品，就需要调整设备，否则不需要调

整.已知该生产线上生产的每件产品为A类品，B类品和C类品的概率分别为0.9,0.05和0.05,且各件

产品的质量情况互不影响.

(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；

(2)若检验员一天抽检3次，以&表示一天中需要调整设备的次数，求&的分布列.

£1甲、乙两人参加2010年亚运会青年志愿者的选拔.打算采用现场答题的方式来进行，巳知在备选

的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进

行测试，至少答对2题才能入选.

(1)求甲答对试题数&的概率分布；

(2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率.

参考答案

1、解析：P(&=3)=C3;答案：A

Hi

3/5

51

2、解析：•.卞(宫21)=2p(l—p)+p2=」,P=-,

93

19

—应选D.

27

3

X答

3、解析：P(&=12)表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而PG=12)=Cg-.-

H8

案：E

4、解析：C14p(l-p)3^C24p2(l-p)2,即2(1一p)W3p,.'.p^O.4.XVp<l,JO.4Wp<l

5、解析：W4)=0.84,U=2,.•尸(自〈0)=h(&>4)=1-0.84=0.16.应选人.

6、解析：由题意知所求概率P=C3Ql(jl=讪.

QGCCC2co

7、解析：这是超几何分布，P(X=O)=上=0.1；P(X=l)="T^=0,6；P(X=2)=F=0・3,

C202c2

555

分布列如下表:

X012

P0.10.60.3

8、解析：根据30原则，在4—3X0.5=2.5~4+3X0.5=5.5之外为异常，所以这批零件不合格.

9、解析：(1)设A表示事件“在一次抽检中抽到的第i件产品为A类品"，i=l,2.

i

Bj表示事件”在一次抽检中抽到的第i件产品为B类品"，i=l,2.

C表示事件”一次抽检后，设备不需要调整”.

则C=A•A4-A-B+B-A.

121212

由已知P(A)=O.9,P(B)=0.05i=1,2.

所以，所求的概率为

P(C)=P(A-A)+P(A•B)+P(B-A)

121212

=0.92+2X0.9X0.05=0.9.

⑵由(1)知一次抽检后，设备需要调整的概率为

其分布列如下:

4/5

3

10

⑵法一：设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B