2023年广州市青年教师初中数学解题比赛决赛试卷

2023年广州市青年教师初中数学解题比赛

决赛试卷

2005-3-20

本试卷共8页，第1-2页为选择题和填空题，第3-8页为解答题及答卷。请将选择题和填空

题的答案做在第3页的答卷上。全卷共三大题25小题，满分150分，考试时间120分钟。

题号1234567891011

答案DCDAABBDCcA

第I卷（选择题，共44分）

一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分，请将唯一正确的答案代号填在第3页的答题卷上）

1、。是任意实数，下列判断一定正确的是（）.

(A)a>-a(B)-<a(C)a3>a2(D)a2>0

2

2、已知集合<4},N={x|/—2x-3<0},则集合McN=().

（A）{%|%<-2}（B）{%|x>3}（C）{x|-l<%<2}（D）{x[2<x<3}

3、若二次函数y=+8x+c的图象如图所示，则点（a+b,ac）在（D）.、1.

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限\/

4、同圆的内接正十边形和外切正十边形的周长之比等于（A）.I

（A）cosl8°（B）sinl8°（C）cos36°（D）sin36°

5、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：

第1个第2个第3个

则第8个图案中有白色地面砖（A）块.（A）34（B）36（C）38（D）40

6、将正方形的四边四等分，包括顶点共有16个点，这16个点可得到的直线条数是（B）.

(A)120(B)84(C)82(D)80

7、如图，。0中，弦AD〃BC,DA=DC,ZAOC=160°,则NBCO等于(B).

(A)20°(B)30°(C)40°(D)50°

8、如果为实数，且，—x+（y—i）2=o,则x的取值范围是（D）.

（A）任意实数（B）负实数（C）0<xW!（D）0<x<l

2

9、方程V+N-1=0所有实数根的和等于(c).(A)-l(B)l(C)0(D)V5

10、将四个完全相同的矩形（长是宽的3倍），用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得的大矩形面积

是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能是（C）.

（A）l种（B）2种（C）3种（D）4种

11、一次函数/（x）=ox+b（a为整数）的图象经过点（98,19）,它与x轴的交点为（p,0），它与y

轴的交点为（0,q），若p是质数，q为正整数，则满足条件的所有一次函数的个数为（A）.

（A）O（B）l（C）2（D）大于2的整数

第n卷（非选择题，共106分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案直接填在第三页的答题卷上）

12、函数y=lg|x|在定义域上是函数（填奇或偶）；在区间0—）上是增加的.

13、如图，有两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P,

大圆的弦CD经过点P,且CD=13,PD=4,两圆组成的圆n

环的面积是36Pl

O

13S

14、已知厘=*那么直线〃x）=〃+/一定通过第2、3象限.T=2,-1

cab

分析：利用和分比公式得a+b+c=0,t=-l,a+b+cw0,t-2

15、已知NMQV=4O°,P为NMQV内一定点，A为OM上的点，8为ON上的点，则当AP45的'

周长取最小值时，乙4P屈勺度数为100°-3<r<--

3

16、已知实数a,Z?满足/+。6+人2=1,且""一/一",那么t的取值范围是

17、若为实数，且。+。+。=0,4儿=2,那么向+|母+|4的最小值可达到^.

三'解答题（共8小题，满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程）

18>（本题8分）若直线x-y+a=0与圆—+,2=］相交，求实数“的取值范围.

19、（本题8分）菱形ABCD的边AB=5,对角线BD=6,月.AC与BD相

交于点O,沿BD折叠得四面体ABCD,已知该四面体的体积等于8,「

求二面角A-BD-C的大小.A

20、（本题8分）设――=a,a#0,求丁二丁的值./!I

“2,一1r44.r24-1/Dl\

21、（本题8分）某商场计划销售一批运动衣后可获总利润12000元.在进行市场调查后，

为了促销降低了定价，使得每套运动衣少获利润10元，结果实际销售比计划增加了400

套，总利润比计划多了4000元，问实际销售运动衣多少套？每套运动衣实际利润多少元?

22、（本题10分）已知任意三角形ABC,其面积为S.作BC的平行线与

AB、AC分别交于D、E.设三角形BDE的面积为M,求证：MW—S

4

23、（本题11分）已知：如图，在Rt^ABC中，斜边AB=5厘米，BC=a厘米，AC=b厘米，a>b,

且a、b是方.程X?-（根-l）x+m+4=0的两根，

⑴求a和b的值；

⑵△ABC'与aABC开始时完全重合，然后让aABC固定不动，将

△A'8'C'以1厘米/秒的速度沿BC所在的直线向左移动.

i）设x秒后△AZ'C'与4ABC的重叠部分的面积为y平方厘米，求y与x之间的函数关系式,

并写出x的取值范围；

ii）几秒后重叠部分的面积等于三平方厘米？

8

24、（本题11分）已知：如图，。。与G）P相交于A、B两点，点P在。0上，。0的弦AC切。P于

点A,CP及其延长线交。P于D、E,经过E作EF_LCE交CB的延长线于F.

（1）求证：BC是。P的切线；

（2）若CD=2,CB=2V2,求EF的长；

（3）若设k=PE:CE,是否存在实数k,使aPED恰好是等边三角形?若存在，求出k的值；若不

存在，请说明理由.

25、（本题12分）如图，EFGH是正方形ABCD的内接四

边形，两条对角线EG和FH相交于点0,且它们所夹的

锐角为9,NBEG与NC/H都是锐角，已知EG=左,=/,四边形EFGH的面积为S,

(1)求证：sin6=——

kl

(2)试用葭/、S来表示正方形ABCD的面积.

25、

(1)证明：

S=S4EFG+SREHG

=S\EOF+S^GOF+S\EOH+S\GOH

=—EOOFsin^+―GOOF-sin^

22

+-EOOHsm0+-GOOHsmO

22

=-EG-OFsinO+-EG-OHsin0

22

=-EG-FHsm0=-klsine

22

所以sin，='

(2)解：过E、F、G、H分别作AB、BC、CD、ZM的垂线，得矩形PQRT.

设正方形ABCD的边长为a,PQ=b,QR=c,贝必=^k2-a2,c=7/2-a2,

由SMEH~^ATEH，S^EF=S"EF'S&GFC~S^QFG，&DGH=^RGH

得SABCD+SPQRT=2S,

AHD

:.cr+bc=25,即"+J%2-J/_/_25,

(k2+12-4S)a2=1/2一4s2,

ovG

由(1)矢=->2S,所以公+『N2Z/>4S,

C

sin6?BF

物c2k2l2-4S2

AMDk2+l2-4S

2023年广州市青年教师初中数学解题比赛决赛参考答案

2005-3-20

一、选择题答案（每小题4分，共44分）

二、填空题答案（每小题5分，共30分）

三、解答题（共8小题，满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程）

18、解：（代数方法）

x2+y2=\

由题意，《

x-y+a-0

2%"+2ax+ci~—1—0

•.•直线与圆相交，.,.△>()

□JP

即△=22一

敝4«-8(a-1)=4(/-2)>0

则。2一2<0,即一&<a<J，时，有△>()直线与圆相交

(此题可有几何方法，相应评分)

19、解：A0=0C=VAB2-BO2=752-32=4,

易得AO，BD,OC，BD,NAOC=0为二面角A-BD-C的平面角。

z

SAAOC=；AO-OCsinZAOC

1

=—-4,9'sin0=8sin0,

2

VABCD=|SAAOC,BD

Q

=-sin0-6=16sin0.

3

依题意16sin6=8,得sin。=,，又0<6<万，

2

加

所以6=三或包，故所求二面角的大小为工或包

凶6666

20、解：分析已知式和要求值的式子都是分母比分子复杂，不妨考查它们的倒数。

因为一Q-----=a,。。0,故

X+X+1

x〜+x+1Law0,即x+—=——1,

Xaxa

x4+x2+1Y+与+

又1

X2X

所以

X，+X"+1\-2a

21、解：设实际销售运动衣x套，每套运动衣实际利润为y元.

川J(x-400)(y+l0)=12000

人J[xy=16000

解得板:舞及位:第(舍去)

答:实际销售运动衣800套，每套运动衣实际利润20元

22、

证明：

由于AADE与ABDE是等高的三角形，故

MBDAB-ADAB16

SAADE=AD=AD=AD-

又AADE与AABE也是等高三角形，故

SAADE=也⑵

SAABEAB

同理,红皿=任(3)

又DE||BC,故处=任，设此比值为：

ABAC

将(1),(2),(3)式相乘,得

MjAB[ADAE_.AD]AD

y-tAD'/ABAC-ABJAB

即—=(1-x)x,

s

法一：展开得S——Sx+M=0有实根，故A=S2—4SMN0

解之得M<-S

4

M1111

法二：由一=(1—x)x=——(x——)o2<-<-S

S4244

23、解：⑴:△ABC是Rt△且BC=a,AC=b,AB=5(a>b)

又a、b是方程的两根

A二(加一-4(〃z+4)>0

a+b=in-\>0

/.(a+b)2-2ab=25

ab=m+4>0

a2+b2=25

(m-l)2-2(m+4)=25推出(m-8)(m+4)=0.......

得nh=8叱=-4经检验m=-4不合舍去

m=8.......

2

/.x-7x+12=0Xi=3X2=4

/.a=4,b=3

(2)•••△AZ'。'以1厘米/秒的速度沿BC所在直线向左移动。

；.x秒后BB，=x则B，C'=4-x

•：CM〃AC••.△BC'MsMCA

•BCMC

‘MC'=-(4-x)

BCAC4

i3a

SMUM=y=-(4-^)-(4-X)即y=G(4—x)2

Z4o

・

••y—3x2—Q3x+6z-(0<x<4)

8

当y=3时-(4-X)2=-

888

X