河南省驻马店市2024-2025学年高二上学期青桐鸣开学联考数学试题（解析）

2026届普通高等学校招生全国统一考试青桐鸣大联考（高二）数学（北师大版）全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式得M，根据交集的概念计算即可.【详解】解不等式得，即，所以.故选：C2.已知为虚数单位，，则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据除法运算可得，再根据共轭复数的概念分析判断.【详解】因为，则，所以的共轭复数.故选：A.3.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义可先得，再根据诱导公式计算即可.【详解】由正弦函数的定义可知，再利用诱导公式知.故选：B4.已知向量，则（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，，结合模长关系运算求解即可.【详解】因为，则，又因为，即，所以，即.故选：C5.已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，且，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据线面，面面位置关系判定定理和性质定理，逐项判定即可.【详解】对于A，若，则直线可能平行，异面，相交，故A错误；对于B，若，则直线可能平行，异面，故B错误；对于C，若，，则与可能平行或相交，故C错误；对于D，若，又，则，故D正确.故选：D.6.已知长为､宽为的矩形的面积为，则该矩形周长的最小值为（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，结合基本不等式运算求解.【详解】由题意可知：，又因为，即，可得，即，当且仅当时，等号成立，所以该矩形周长的最小值为16.故选：D.7.已知函数在上有且仅有1个零点，则实数（）A2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】分析可知为偶函数，由对称性可知的唯一零点为0，解得，并代入检验.【详解】因为的定义域为R，且，可知为偶函数，若函数在R上有且仅有1个零点，由对称性可知的唯一零点为0，则，解得；若，则，因为，即，当且仅当时，等号成立，且，即，当且仅当时，等号成立，可知，当且仅当时，等号成立，所以有且仅有一个零点0，符合题意；综上所述：.故选：A.8.记的三个内角的对边分别为，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性运算可得，结合余弦定理运算求解.【详解】因为，且，则，即，可得，因为，则，即，可得，所以的取值范围为.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列结论正确的是（）A.与的最小正周期相同B.与有相同的最大值C.与的图象有相同的对称轴D.曲线与在上有4个交点【答案】ABD【解析】【分析】对A，由的周期可得的周期，根据周期公式求出的周期，并判断；对B，求出与的最大值判断；对C，根据图象求出与的对称轴判断；对D，根据图象可判断.【详解】对于A，因为的周期为，所以的最小正周期为，又函数的最小正周期为，故A正确；对于B，的最大值为1，的最大值为1，故B正确；对于C，的对称轴为，，令，解得，，所以的对称轴为，，所以与的对称轴不同，故C错误；对于D，如图作出与的图象，与在上有4个交点，故D正确.故选：ABD.10.已知是一个随机试验中的两个事件，且，则下列结论一定正确的是（）A.B.不可能为互斥事件C.若，则事件相互独立D.若相互独立，则【答案】BC【解析】【分析】根据相互独立事件性质可判断A；根据互斥事件的概率加法公式进行判断B；根据相互独立事件性质可判断C；根据相互独立事件性质及概率的加法公式可判断D.【详解】对于A，若，则事件相互独立，无法确定，故A错误；对于B，若为互斥事件，则，所以，故不可能为互斥事件，故B正确；对于C，若，所以事件相互独立，故C正确；对于D，若，互相独立，则相互独立，所以.故D错误.故选：BC.11.已知圆台的上､下底面圆的直径分别为2和6，母线长为4，则下列结论正确的是（）A.该圆台的高为B.该圆台的体积为C.该圆台的外接球的表面积为D.挖去以该圆台的上底面为底面､高为2的圆柱，剩余的几何体的表面积为【答案】BCD【解析】【分析】对于A：根据圆台的结构特征求高；对于B：根据圆台的体积公式运算求解；对于C：根据台体的结构特征求外接球的半径，即可得表面积；对于D：根据题意分析剩余几何体的表面构成，进而求表面积.【详解】如图所示，为轴截面，点在下底面的投影分别为，由题意可知：，则，对于选项A：该圆台的高为，故A错误；对于选项B：圆台的体积为，故B正确；对于选项C：由题意可知：外接球的球心，设外接球的半径为，因为，即，解得，所以该圆台的外接球的表面积为，故C正确；对于选项D：由题意可知：剩余的几何体的表面有：上、下底面圆面，圆台、圆柱的侧面，所以剩余的几何体的表面积为，故D正确；故选：BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则__________.【答案】##【解析】【分析】根据题意结合齐次化问题可得，再利用倍角公式运算求解.【详解】因为，解得，所以.故答案为：.13.设的三个内角的对边分别为，已知，则__________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理结合条件建立方程解方程即可.【详解】由余弦定理知，所以，所以.故答案为：14.已知分别表示函数在区间上的最大值与最小值，则__________.【答案】30【解析】【分析】根据幂函数性质可得，再结合对数函数性质分析求解.【详解】因为，则，可得，即，若，则，当且仅当时，等号成立，即在内的最小值为，所以；若，则，当且仅当时，等号成立，即在内的最大值为，所以.故答案为：30.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用两角差的正切公式求解可得；（2）利用两角和的余弦公式与二倍角公式展开化简，可得有关正余弦的齐次比式的形式，再上下同除化弦为切代入可求.【小问1详解】，且，.的值为.【小问2详解】故的值为.16.某农业研究所为调研新品种玉米的亩产量分布情况，从甲镇种植的旧品种玉米中随机抽取100亩的产量，并得到亩产量的平均数，中位数；从乙镇种植的新品种玉米中随机抽取100亩的产量，按亩产量进行分组（每组为左闭右开区间），得到亩产量的频率分布直方图如下：（1）每组数据以组中值为代表，估计乙镇种植的新品种玉米亩产量的平均数，中位数；并根据“同一品种玉米亩产量的平均数与中位数差的绝对值越小，玉米亩产量越稳定”，比较甲､乙两镇种植的不同品种玉米亩产量的稳定情况.（2）现按亩产量用分层随机抽样的方法，从乙镇亩产量在和内的样本中共抽取6亩，再从这6亩中随机抽取2亩深入调研分析，求抽取的2亩的产量位于不同亩产量区间的概率.【答案】（1），；乙镇种植的新品种玉米更稳定；（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图估算平均数，中位数，再根据定义运算判断两镇玉米品种谁更稳定；（2）根据分层随机抽样确定抽取的6亩构成，利用古典概型概率公式计算.【小问1详解】根据题意，，，因为，，所以乙镇种植的新品种玉米谁更稳定.【小问2详解】由频率分布直方图，亩产量在的有10亩，亩产量在的有5亩，所以样本中共抽取的6亩有亩在，有2亩在，设在的4亩为，，，，在的2亩为，则从这6亩中随机抽取2亩的情况有：所以抽取的2亩的产量位于不同亩产量区间的概率为.17.如图，在四棱锥中，，，侧面平面.（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理先证，取中点E，由面面垂直得，结合线面垂直的判定得平面，从而证明得出，最后利用线面平行的判定证明即可；（2）利用线面角的定义得出，再根据锥体的体积公式计算即可.【小问1详解】因为，即，所以，如图所示，取中点E，连接，因为，所以，又侧面平面，侧面平面，所以底面，而底面，所以，因为，，平面，所以平面,因为平面，所以，所以，因为平面，平面，所以平面；【小问2详解】由上知底面，且，则直线与平面所成角为，即，，故三棱锥的体积为.18.已知函数的图象的对称中心为.（1）求的值；（2）用函数单调性的定义证明在其定义域上单调递减；（3）若方程在上有解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用对称性的性质有，待定系数计算即可；（2）利用（1）的结论结合函数单调性的定义作差证明即可；（3）利用换元法结合复合函数的单调性、二次函数的性质及（2）的结论得出单调递减，计算其值域即可.【小问1详解】根据题意有，整理得，即，所以，经检验，符合题意；【小问2详解】由上知，令，不妨设令，则，易知，又，所以，则，即，则在定义域上单调递减，证毕；【小问3详解】方程在上有解，即两个函数与有交点，令，设，则时，，则，显然时，该函数单调递减，而单调递增，根据复合函数的单调性知在时单调递减，结合（2）的结论有单调递减，所以，而接近0时，y接近正无穷，所以，即实数的取值范围为.19.已知的三个内角的对边分别为，且.（1）证明：；（2）若，求的面积；（3）若为锐角三角形，当取得最小值时，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系、三角形内角和及