高中数学知识点

第一章集合与函数概念一、集合1、集合的含义与表示一般地，我们把研究对象统称为元素。把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)。通常用大写字母A，B，C，D，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示元素。⑴确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，则任何一个元素在不在这个集合中就确定了。如，“中国的直辖市〞构成一个集合，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，杭州、南京、广州……不在这个集合中。“身材较高的人〞不能构成集合；因为组成它的元素是不确定的。⑵互异性：一个给定集合中的元素是互不一样的(或说是互异的)，即，集合中的元素是不重复出现的。一样元素、重复元素，不管多少，只能算作该集合的一个元素。⑶无序性：不考虑元素之间的顺序只要元素完全一样，就认为是同一个集合。3、集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。4、元素与集合的关系如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作。5、常见的数集及记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集〔或自然数集〕，记作N；所有正整数组成的集合称为正整数集〔在自然数集中排除0的集合〕，记N*或；全体整数组成的集合称为整数集，记Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记Q；全体实数组成的集合称为实数集，记R。拓展与提示：拓展与提示：⑴无序性常常作为计算时验证的重要依据。⑵注意N与N*的区别。N*为正整数集，而N为非负整数集，即0∈N但0N*。⑶集合的分类按元素个数按元素的特征可分为：数集，点集，形集等等。特别地，至少有一个元素的集合叫做非空集合；不含有任何元素的集合叫做空集〔〕，只含有一个元素的集合叫做单元素集。例解析①②解①得1这与集合中元素的互异性相矛盾。解②得-1或1(舍去)这时0∴-1，06、集合的表示方法⑴列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“〞括起来表示集合的方法叫做列举法。适用条件：有限集或有规律的无限集，形式：⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围；再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。适用条件：一般适合于无限集，有时也可以是有限集。形式：，其中x为元素，p(x)表示特征。拓展与提示：如果集合中的元素的范围已经很明确，拓展与提示：如果集合中的元素的范围已经很明确，则x∈D可以省略，只写其元素x，如可以表示为。(3)韦恩图法：把集合中的元素写在一条封闭曲线(圆、椭圆、矩形等)内。例用适当的方法表示以下集合，并指出它是有限集还是无限集：⑴由所有非负奇数组成的集合；⑵平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；⑶方程x21=0的实数根组成的集合。解：⑴由所有非负奇数组成的集合可表示为：，无限集。⑵平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合为：，无限集。⑶方程x21=0的判别式的Δ<0，故无实数，方程x21=0的实根组成的集合是空集。7、集合的根本关系⑴子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个无素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作，读作“A含于B〞(或“B包含A〞)。可简述为：假设，则集合A是集合B的子集。⑵集合相等：如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作。数学表述法可描述为：对于集合A、B，假设，且，则集合A、B相等。⑶真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集，记作或说：假设集合，且A≠B，则集合A是集合B的真子集。⑷空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。拓展与提示：(1)拓展与提示：(1)。(2)B(其中B为非空集合)(3)对于集合A，B，C，假设。(4)对于集合A，B，C，假设，C则C(5)对于集合A，B，假设。(6)含n元素的集合的全部子集个数为2n个，真子集有21个，非空子集有21个，非空真子集有22个。(7)不同，前者为包含关系，后者为属于关系。8、集合间的根本运算拓展与提示：对于任意集合A、B，有(1)(2);(3);(4)。⑴并集：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作拓展与提示：对于任意集合A、B，有(1)(2);(3);(4)。拓展与提示：对于任意集合A、B，有(1)(2)；(3)；(4)；(5)。⑵交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作拓展与提示：对于任意集合A、B，有(1)(2)；(3)；(4)；(5)。⑶全集与补集①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，则就称这个集合为全集，通常记作U。②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作。例设集合，假设A∩，求A∪B。解析由A∩得，9∈A。∴x2=9或21=9①由x2=9得，±3。当3时，，与元素的互异性矛盾。当3时，，此时，②由21=9得5.当5时，，此时，，与题设矛盾。综上所述，⑷集合中元素的个数：在研究集合时，经常遇到有关集合元素的个数问题，我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用来表示有限集合A中元素的个数。例如：.一般地，对任意两个有限集A，B，有(A∪B)(A)(B)(A∩B).当时仅当A∩时，(A∪B)(A)(B).解与集合中元素个数有关的问题时，常用图。例学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？解：设，，则，(A∪B)(A)(B)(A∩B)=8+12-3=17答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛二、函数及其表示1、函数的概念：一般地，我们说：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，则就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集。2、函数的三要素⑴函数的三要素是指定义域、对应关系和值域。⑵由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域一样，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。提示：提示：⑴函数符号(x)是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的。(2)注意区别f(a)和f(x)，f(x)是指函数解析式，f(a)是指自变量为a时的函数值。3、区间：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：⑴满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为［］；⑵满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)；⑶满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。定义名称符号数轴表示闭区间［a，b］开区间(a，b)半开半闭区间半开半闭区间实数集常用区间表示为，“∞〞读作“无穷大〞。“〞读作“负无穷大〞，“+∞〞读作“正无穷大〞集合符号数轴表示拓展与提示：(1)在数轴上，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。拓展与提示：(1)在数轴上，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。(2)求函数定义域，主要通过以下途径实现。①假设f(x)是整式，则定义域为R；②假设f(x)为分式，则定义域为使分母不为零的全体实数；③假设f(x)为偶次根式，则定义域为使被开方数为非负数的全体实数；④假设f(x)的定义域为［］，则f［g(x)］的定义域是a≤g(x)≤b的解集；⑤假设f［g(x)］的定义域为［a，b］，则f(x)的定义域是g(x)在下的值域。例1求以下函数的定义域解：要使有意义，则必须，即x≥-1且x≠2，故所求函数的定义域为例2⑴函数f(x)的定义域是［-1，3］，求f(1)和f(x2)的定义域⑵函数f(23)的定义域为，求f(1)的定义域解：⑴∵f(x)的定义域为［-1，3］，∴f(1)的定义域由-1≤1≤3确定，即-2≤x≤2，∴f(1)的定义域为［-2，2］.f(x2)的定义域由-1≤x2≤3确定，即∴f(x2)的定义域为[]⑵∵函数f(23)的定义域为，∴23中的x满足-1<x≤2，∴1<23≤7.令23，则f(t)的定义域为.又1<1≤7，∴2<x≤8∴f(1)的定义域为4、反函数式子(x)表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为C，我们从式子(x)中解出x得到(y)，如果对于y在C中的任何一个值通过式子(y)在A中都有唯一确定的值和它对应，则式子(y)表示y是自变量x的函数，这样的函数(y)叫做(x)的反函数，记作，一般写成.拓展与提示：(1)函数(x)的定义域和值域分别是它的反函数的值域和定义域；拓展与提示：(1)函数(x)的定义域和值域分别是它的反函数的值域和定义域；(2)函数(x)的图象和它的反函数的图象关于直线对称。5、函数的三种表示法解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。(1)函数用列表法表示时，其定义域是表中自变量所取值的全体，其值域是表中对应函数值的全体。(1)函数用列表法表示时，其定义域是表中自变量所取值的全体，其值域是表中对应函数值的全体。(2)函数用图象法表示时，其定义域是图象投射到x轴上的区域范围，其值域是图象投射到y轴上的区域范围。6、分段函数假设函数在定义域的不同子集上对应关系不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数，它是一类重要函数，形式是：分段函数是一个函数，而不是几个函数，对于分段函数必须分段处理，其定义域为D1∪D2∪…∪.拓展与提示：分段函数中，分段函数的定义域的交集为空集。拓展与提示：分段函数中，分段函数的定义域的交集为空集。例中国移动通信已于20063月21日开场在所属18个省、市移动公司陆续推出“全球通〞移动资费“套餐〞，这个套餐的最大特点是针对不同用户采用了不同的收费方法，具体方案如下：方案代号根本月租(元)免费时间(分钟)超过免费时间话费(元/分钟)130482981703168330426860053881000请问：“套餐〞中第3种收费方式的月话费y与月通话量t(月通话量是指一个月内每次通话用时之和)的函数关系式。解：“套餐〞中第3种收费函数为7、复合函数假设y是u的函数，u又是x的函数，即(u)(x)∈()∈()，则y关于x的函数［g(x)］，x∈()叫做f和g的复合函数，u叫做中间变量，u的取值范围是g(x)的值域。8、映射设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，则就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。拓展与提示：(1)映射包括集合A、B以及从A到B的对应法拓展与提示：(1)映射包括集合A、B以及从A到B的对应法则f，三者缺一不可，且A、B必须非空。(2)A中的元素在B中都能找到唯一的元素和它对应，而B中的元素却不一定在A中找到对应元素，即使有，也不一定只有一个。9、函数解析式的求法⑴待定系数法。假设函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用条件列方程或方程组，再求系数。⑵换元法。假设函数的解析式，可令，并由此求出(t)，然后代入解析式求得(t)的解析式，要注意t的取值范围为所求函数的定义域。⑶赋值法：可令解析式中的自变量等于某些特殊值求解。⑷列方程(组)法求解。假设所给式子中含有f(x)，或f(x)()等形式，可考虑构造另一个方程，通过解方程组获解。⑸配凑法例解答以下各题：⑴f(x)2-43，求f(1)；⑵f(1)2-2x，求f(x)；⑶二次函数g(x)满足g(1)=1(-1)=5，图象过原点，求g(x)。解：⑴f(1)=(1)2-4(1)+32-2x⑵方法一：(配凑法)f(1)=(1)2-21-2(1)2-41=(1)2-4(1)+3，∴f(x)2-43方法二：(换元法)令1，则1，f(t)=(1)2-2(1)2-43，∴f(x)2-43.⑶由题意设g(x)2，a≠0.∵g(1)=1(-1)=4，且图象过原点，∴解得∴g(x)=3x2-2x.三、函数的根本性质1、函数的单调性⑴一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x12，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则就说函数f(x)在区间D上是增函数，如图⑴所示。如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x12，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则就说函数f(x)在区间D上是减函数，如图⑵所示。如果函数(x)在区间D上是增函数或减函数，则就说函数(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做(x)的单调区间。拓展与提示：拓展与提示：⑴定义中的x12具有任意性，不能用特殊值代替。⑵假设f(x)在区间D1，D2上都是增(减)函数，但f(x)在D1∪D2上不一定是增(减)函数。⑶由于定义域都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推〞。⑵函数单调性的判断方法①定义法。用定义法判断函数单调性的步骤为第一步：取值。设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2。第二步：作差、变形。准确作出差值，并通过因式分解、配方、分子(分母)有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。第三步：判断f(x1)(x2)［或f(x2)(x1)］的符号。第四步：根据定义作出结论。简记为“取值—作差—变形—定号—结论〞。②直接法。运用的结论，直接得到函数的单调性，常见结论有：ⅰ函数(x)与函数(x)的单调性相反；ⅱ当函数f(x)恒为正或恒为负时，函数与(x)的单调性相反；ⅲ在公共区间内，增函数+增函数，其和为增函数，增函数-减函数，其差为增函数等。③图象法：按照作图的方法，准确作出函数的图象，观察判断函数的单调性。④假设当x∈()时，f′(x)>0，则f(x)在()上递增；假设当x∈()时，f′(x)<0，则f(x)在()上递减。拓展与提示：定义有如下等价形式：设x拓展与提示：定义有如下等价形式：设x12∈［］，则①上是增函数，上是减函数；②在［］上是增函数，上是减函数。例讨论函数在(-2，+∞)上的单调性。解：设-2<x1<x2，则∴f(x2)(x1).又∵-2<x1<x2，∴∴当1-2a>0，即时，上式<0，即f(x2)<f(x1)；当1-2a<0时，即时，上式>0，即f(x2)>f(x1)。∴当时，在(-2，+∞)上为减函数当时，在(-2，+∞)上为增函数⑶复合函数的单调性对于复合函数［g(x)］，假设(x)在区间()上是单调函数，则(t)在区间(g(a)(b))或(g(b)(a))上是单调函数；假设(x)与(t)单调性一样(同时为增或减)，则［g(x)］为增函数，假设(x)与(x)单调性相反，则［g(x)］为减函数，简单地说成“同增异减〞。(t)增减增减(x)增减减增［g(x)］增增减减2函数的最大(小)值⑴定义：一般地，设函数(x)的定义域为I，如果存在实数M满足⑴对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；⑵存在x0∈I，使得f(x0).则，我们称M是函数(x)的最大值。同样地：如果存在实数M满足：⑴对于任意x∈I，都有f(x)≥M；⑵存在x0∈I，使得f(x0).则我们称M是函数的最小值。⑴⑴函数的最大(小)值是函数的图象的最高点(最低点)对应的纵坐标。⑵一个连续不断的函数在闭区间［］上一定有最大值和最小值。⑶求函数最值的常见方法为①构造二次函数；②单调性法；③导数法。⑵二次函数在闭区间上的最值二次函数f(x)2，当a>0时，在闭区间［］上的最值可分如下讨论：①假设时，则最大值为f(n)，最小值为f(m)；②假设时，则最大值为f(m)，最小值为f(n)；③假设时，则最大值为f(m)或f(n)，最小值为.例，假设f(x)2-21，在［1，3］上最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)(a)(a),求g(a)的函数表达式。解：.∵，∴.又∵∈［1，3］.∴当，f(x)(a)=当，即时，f(x)(a)(3)9a5.当时，f(x)(a)(1)1∴3、函数的奇偶性⑴偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f()(x)，则函数f(x)就叫做偶函数。⑵奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f()(x)，则函数f(x)就叫做奇函数。拓展与提示：拓展与提示：①并不是所有的函数都具备奇偶性，这些既不是奇函数又不偶函数的函数称为非奇非偶函数；既是奇函数又是偶函数的函数只有一个，就是f(x)=0。②判断函数奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称，否则称为非奇非偶函数。2、函数奇偶性的性质(1)假设函数f(x)是偶函数，则：①对任意定义域的x,都有f()(x)；②函数f(x)的图象关于y轴对称；③函数f(x)在两个半对称区间上的单调性是相反的。⑶假设函数f(x)是奇函数，则：①对任意定义域内的x，都有f()(x)；②函数f(x)的图象关于坐标原点对称；③函数f(x)在两个半对称区间上的单调性是一样的。⑷函数奇偶性的判定方法定义法：f(x)是奇函数；f(x)是偶函数②利用图象的对称性：f(x)是奇函数的图象关于原点对称。f(x)是偶函数的图象关于y轴对称。例设函数f(x)对任意x、y∈R，都有f()(x)(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)2。⑴求证：f(x)为奇函数⑵试问在-3≤x≤3时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由。解：⑴∵f(x)对于任意x、y∈R，都有f()(x)(y)成立∴令0，得f(0)(0)(0)，即f(0)=0再令，得f(0)(x)()，即f()(x)，∴f(x)为奇函数。⑵设x1<x2时，且x1、x2∈R，则f(x21)［x2+(1)］(x2)(1)(x2)(x1)，由x>0时，f(x)<0，∴f(x21)<0，即f(x2)(x1)<0∴f(x2)<f(x1)，∴f(x)在R上为减函数∴f(x2)在［-3，3］上，当3时，f(x)取最大值，即f(x)(-3)(3)3f(1)=6；当3时，f(x)取最小值，即f(x)(3)6.第二章根本初等函数一、运算公式1、指数幂①；②=〔a>0∈Q〕；③=〔a>0∈Q〕；④=〔a>0>0∈Q〕⑤2、对数〔a>0,且a≠1，,且，M>0>0〕①;②;③；④推论(,且,,且,,).二、指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图象和性质a>10<a<1定义域R定义域R值域y＞0值域y＞0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点〔0，1〕函数图象都过定点〔0，1〕注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：〔1〕在[a，b]上，值域是或；

〔2〕假设，则；取遍所有正数当且仅当；

〔3〕对于指数函数，总有；三、对数函数1、对数的概念：一般地，如果，则数叫做以为底的对数，记作：〔—底数，—真数，—对数式〕说明：⑴注意底数的限制，且；⑵；2、两个重要对数：⑴常用对数：以10为底对数；⑵自然对数：以无理数为底的对数。3、对数函数⑴对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是〔0，+∞〕。注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意区分。如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数。②对数函数对底数的限制：，且．⑵对数函数的性质：a>10<a<1定义域x＞0定义域x＞0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点〔1，0〕函数图象都过定点〔1，0〕四、幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数。2、幂函数性质归纳⑴所有的幂函数在〔0，+∞〕都有定义并且图象都过点〔1，1〕。⑵时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数。特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸。⑶时，幂函数的图象在区间上是减函数。在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．在第一象限内,过(1,1)点后α|越大,图象下落的速度越快.⑷解析式，当1时，一次函数；当2时，二次函数；当1时，反比例函数；当时，。幂函数只要求掌握a为某些特殊值的时候的图象即可。C1>1>C2>0>C4>C3第三章函数的应用第四章空间几何体一、空间几何体的构造1、柱、锥、台、球的构造特征⑴棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱。几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。⑵棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。表示：用各顶点字母，如五棱锥。几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。⑶棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的局部。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等。表示：用各顶点字母，如五棱台。几何特征：①上下底面是相似的平行多边形;②侧面是梯形;③侧棱交于原棱锥的顶点。⑷圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。⑸圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。⑹圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的局部。几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形〔扇环〕。⑺球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。二、空间几何体的三视图和直观图1三视图：⑴正视图：从前往后；⑵侧视图：从左往右；⑶俯视图：从上往下。2画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等。3直观图：斜二测画法。4斜二测画法的步骤：⑴在图形中取相互垂直的轴和轴，两轴相交于。画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴交于点，且使，它们确定的平面表示水平面。⑵图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段；⑶图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，长度为原来的一半。5用斜二测画法画出长方体的步骤：⑴画轴；⑵画底面⑶画侧棱⑷成图三、空间几何体的外表积与体积1、空间几何体的外表积与体积体名棱柱棱锥圆柱圆锥圆台球外表积各面积和体积第五章点、直线、平面之间的位置关系一、空间点、直线、平面的位置关系公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，则这条直线此平面内。应用：判断直线是否在平面内。用符号语言表示：公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理2及其推论的作用：①它是空间内确定平面的依据

②它是证明平面重合的依据公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,则它们有且只有一条过该点的公共直线。平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。公理3为：公理3作用：①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。

③它可以判断点在直线上，即证假设干个点共线的依据。二、空间直线与直线之间的位置关系[共面〔平行+相交〕或异面；平行或不平行〔相交+异面〕]公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。1、异面直线①定义：不同在任何一个平面内的两条直线

②

性质：既不平行，又不相交。③

判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线。④

异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。两条异面直线所成角的范围是〔0°，90°]，假设两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。2、求异面直线所成角步骤：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。②证明作出的角即为所求角③利用三角形来求角3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两角相等或互补。三、空间直线与平面之间的位置关系：1、三种位置关系⑴直线在平面内：，有无数个公共点；⑵直线不在平面内：①相交：，有一个公共点；②平行：，无公共点。2、直线与平面平行⑴判定定理：平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。。做题思路：在平面内“找出〞一条直线与直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题〞转化为“平面问题〞。⑵性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面和这个平面的交线，与该直线平行。3、直线与平面相交：斜交和垂直。⑴直线与平面所成的角，⑵直线与平面垂直①定义：如果直线和平面内的任何一条直线都垂直，则说直线和平面互相垂直，记作。②判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。做题思路：在平面内“找出〞两条相交直线与直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直〞转化为“线线垂直〞③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。四、平面与平面之间的位置关系1、⑴平行：没有公共点；。⑵相交〔〕：有一条公共直线，斜交和垂直。2、平面与平面平行⑴判定定理：一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。做题思路：在一个平面内“找出〞两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题〞转化为“线面平行问题〞。⑵性质定理：如果两平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。3、平面与平面垂直⑴判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。做题思路：转化①二面角为直角；②“找出〞一条直线与另一平面垂直，将“面面垂直问题〞转化为“线面垂直问题〞⑵性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直。做题思路：解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线五、有关概念1、异面直线所成的角:两条异面直线，经过空间任意一点○作直线我们把所成的锐角〔或直角〕叫异面直线a与b所成的角〔夹角〕。〔〕2、直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角。3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。在二面角的棱上任取一点O，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线、,则、构成的叫二面角的平面角。。时直二面角4、点到平面的距离：从平面外一点引这个平面的垂线，则这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.5、直线和平面的距离：当一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.6、和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的局部，叫做这两个平行平面的公垂线段。两个平行平面的公垂线段都相等。公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离。第六章直线与方程一、倾斜角：直线l向上方向与x轴正向夹角α。注意0°≤α＜180°二、斜率：直线l的倾斜角的正切值。即α。注意倾斜角为90°直线斜率不存在。斜率公式〔、〕。三、直线关系判定及性质：〔方程组的解〕1、设，①〔方程组无解〕，〔〔方程组无数解〕〕②。2、设，，且A1、A2、B1、B2都不为零，①〔方程组无解〕；〔〔方程组无数解〕〕②。四、直线的五种方程1、点斜式：(直线过点，且斜率为)。2、斜截式：(b为直线在y轴上的截距)。3、两点式：()(、())。4、截距式：(分别为直线的横、纵截距，)。5、一般式：(其中A、B不同时为0)。五、平面两点(A，B)间的距离公式=六、点到直线：的距离〔两平行线距离：可转化为点到直线距离〕七、四种常用直线系方程1、定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数;经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数．2、共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为(除)，其中λ是待定的系数．3、平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量．4、垂直直线系方程：与直线(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量．第七章圆与方程一、圆的方程1、标准方程，圆心，半径为r；点与圆的位置关系：①当>，点在圆外②当=，点在圆上③当<，点在圆内。2、一般方程①当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为②当时，表示一个点；③当时，方程不表示任何图形。二、求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，假设利用圆的标准方程，需求出a，b，r；假设利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。三、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：设直线，圆，圆心到的距离为，则有；；2、过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程(一定两解)3、过圆上一点的切线方程：圆()2+()22，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0)()+(y0)()=r2四、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和〔差〕，与圆心距〔d〕之间的大小比拟来确定。设圆，，两圆的位置关系常通过两圆半径的和〔差〕，与圆心距〔d〕之间的大小比拟来确定。当时，两圆外离，此时有公切线四条；当时，两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当时，两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当时，两圆内含；当时，为同心圆。注意：圆上两点，圆心必在中垂线上；两圆相切，两圆