爱提分中考复习 14三轮-四边形综合-第02讲 四边形综合（二）(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名王李 年级辅导科目初中数学学科教师王涵上课时间01-1806:30:00-08:30:00 知识图谱四边形综合（二）知识精讲一．四边形与动点问题动点问题分析的一般方法：1．确定图形中的定点、动点；2．分析运动原因；3．分析运动过程，确定动点的运动轨迹；4．寻找临界情况并计算.三点剖析一．考点：四边形与动点问题．二．重难点：四边形与动点问题综合及计算．三．易错点：动点运动过程分析错误．四边形与动点问题例题例题1、如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=6cm，BD=8cm，动点P，Q分别从点B，D同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿B→C→D运动，到点D停止，点Q沿D→O→B运动，到点O停止1s后继续运动，到点B停止，连接AP，AQ，PQ．设△APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P的运动时间为x（s）．（1）填空：AB=______cm，AB与CD之间的距离为______cm；（2）当4≤x≤10时，求y与x之间的函数解析式；（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值．【答案】（1）5，（2）y=（3）满足条件的x的值为或【解析】（1）∵菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，∴AC⊥BD，∴AB==5，设AB与CD间的距离为h，∴△ABC的面积S=AB•h，又∵△ABC的面积S=S菱形ABCD=×AC•BD=×6×8=12，∴AB•h=12，∴h=．（2）设∠CBD=∠CDB=θ，则易得：sinθ=，cosθ=．①当4≤x≤5时，如答图1﹣1所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上．∵PB=x，∴PC=BC﹣PB=5﹣x．过点P作PH⊥AC于点H，则PH=PC•cosθ=（5﹣x）．∴y=S△APQ=QA•PH=×3×（5﹣x）=﹣x+6；②当5＜x≤9时，如答图1﹣2所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上．PC=x﹣5，PD=CD﹣PC=5﹣（x﹣5）=10﹣x．过点P作PH⊥BD于点H，则PH=PD•sinθ=（10﹣x）．∴y=S△APQ=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S四边形BCPQ﹣S△APD=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣（S△BCD﹣S△PQD）﹣S△APD=AC•BD﹣BQ•OA﹣（BD•OC﹣QD•PH）﹣PD×h=×6×8﹣（9﹣x）×3﹣[×8×3﹣（x﹣1）•（10﹣x）]﹣（10﹣x）×=﹣x2+x﹣；③当9＜x≤10时，如答图1﹣3所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上．y=S△APQ=AB×h=×5×=12．综上所述，当4≤x≤10时，y与x之间的函数解析式为：y=．（3）有两种情况：①若PQ∥CD，如答图2﹣1所示．此时BP=QD=x，则BQ=8﹣x．∵PQ∥CD，∴，即，∴x=；②若PQ∥BC，如答图2﹣2所示．此时PD=10﹣x，QD=x﹣1．∵PQ∥BC，∴，即，∴x=．综上所述，满足条件的x的值为或．例题2、如图1，已知B点坐标是（6，6），BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，D在线段OA上，E在y轴的正半轴上，DE⊥BD，M是DE中点，且M在OB上．（1）点M的坐标是（____，____），DE=____；（2）小明在研究动点问题时发现，如果有两点分别在两条互相垂直的直线上做匀速运动，连接这两点所得线段的中点将在同一条直线上运动，利用这一事实解答下列问题，如图2，如果一动点F从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时有一点G从点D出发以每秒个单位长度的速度向点O运动，点H从点E开始沿y轴正方向自由滑动，并始终保持GH=DE，P为FG的中点，Q为GH的中点，F与G两个点分别运动到各自终点时停止运动，分别求出在运动过程中点P、Q运动的路线长．（3）连接PQ，求当运动多少秒时，PQ最小，最小值是多少？【答案】（1）（2，2），8（2）（3），3【解析】∵点B的坐标为（6，6），∴tan∠BOA=．∴∠BOA=30°．∵在Rt△EOD中，点M是ED的中点，∴OM=．∴∠MDO=∠BOA=30°，∵BD⊥ED，∴∠EDB=90°．∴∠EDO+∠BDA=90°．∵∠BDA+∠DBA=90°，∴∠EDO=∠DBA=30°∴AD=AB•tan30°=6×=2．∴OD=6．∴OE=ODtan30°=4×=4．∵M是DE的中点，∴点M的坐标为（2，2）．∵，即，∴DE=8．（2）根据题意画出点P、点Q运动的轨迹．OD=4，点D的运动时间==4秒；点F运动的时间=6÷1=6秒；∵点P是BD的中点，∴点P的坐标为（，）即点P的坐标为（5，3），P1的坐标为（3，1）∴PP1==，P1P2=P点运动的路线长PP1+P1P2=5；∵M是DE的中点，∠EOD=90°∴OM==．∴点M运动的路线为弧ME．∵∠BOA=30°，∴∠EOM=60°．∴点M运动的路线长==．∵GH=DE，∴点G运动的路线长为：．（3）∵点P、Q分别为FG和GH的中点，∴PQ=FH．∴当FH最小时，PQ最小，当FH⊥y轴时，FH最小值=6，如图2，连接FH．设此时运动时间为t秒，则AF=6﹣t，DG=∴OG=（4﹣t），在Rt△HOG中，由勾股定理得：OH2=GH2﹣OG2∴OH2=82﹣3（4﹣t）2．∵OH=AF，∴（6﹣t）2=64﹣3（4﹣t）2．解得：，（舍去）∴当运动时间为秒时，PQ最小值=3．例题3、如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C﹣D﹣A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A﹣C﹣B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．（1）当t=0.5时，求线段QM的长；（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值？若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）1；（2）1或；（3）【解析】（1）过点C作CF⊥AB于F，则四边形AFCD为矩形．∴CF=4，AF=2，此时，Rt△AQM∽Rt△ACF，∴，即，∴QM=1；（2）∵∠DCA为锐角，故有两种情况：①当∠CPQ=90°时，点P与点E重合，此时DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，在0＜t＜2内，②当∠PQC=90°时，如备用图1，此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴，由（1）知，EQ=EM﹣QM=4﹣2t，而PE=PC﹣CE=PC﹣（DC﹣DE）=t﹣（2﹣t）=2t﹣2，∴，∴t=，在0＜t＜2内；综上所述，t=1或；（3）为定值．当t＞2时，如备用图2，PA=DA﹣DP=4﹣（t﹣2）=6﹣t，由（1）得，BF=AB﹣AF=4，∴CF=BF，∴∠CBF=45°，∴QM=MB=6﹣t，∴QM=PA，∵AB∥DC，∠DAB=90°，∴四边形AMQP为矩形，∴PQ∥AB，∴△CRQ∽△CAB，∴．例题4、如图①，正方形ABCD中，点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D→A匀速运动，同时动点Q以相同的速度在x轴正半轴上运动，当点P到达A点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当P点在边AB上运动时点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围．（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）Q（1，0），点P运动速度为每秒1个单位长度（2）C点的坐标为（14，12）（3）S=﹣（0≤t≤10）（4）当t=或时，OP与PQ相等【解析】（1）如图①，过B作BF⊥OA于F，∵A（0，10），∴OA=10，∵B（8，4），∴BF=8，OF=4，∴AF=10﹣4=6，∴AB=10，由图②知：点P在边AB上运动时间为10秒，所以速度为：10÷10=1，Q（1，0），则点P运动速度为每秒1个单位长度；（2）如图③，过B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF=8，OF=BE=4，由（1）知：AF=6，AB=10；过C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H，∵∠ABC=90°，AB=BC，∴△ABF≌△BCH，∴BH=AF=6，CH=BF=8，∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12，∴所求C点的坐标为（14，12）；（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，∴PM∥BF，则△APM∽△ABF，∴，∴，∴AM=，PM=t，∴PN=OM=10﹣t，ON=PM=t，∴S=S△OPQ=PN•OQ=×（10﹣t）（1+t）=﹣（0≤t≤10）；（4）OP与PQ相等，组成等腰三角形，即当P点的横坐标等于Q点的横坐标的一半时，满足条件；①当P在AB上时，如图③，t=（t+1），t=，OP与PQ相等，②当P在BC上时，如图④，则PB=t﹣10，sin∠ABF=sin∠BPM=，∴，∴BM=（t﹣10），∴ON=BF+BM=8+（t﹣10），8+（t﹣10）=（t+1），解得：t=﹣15（舍），③当P在CD上时，如图⑤，则PC=t﹣20，cos∠PCR=cos∠BCH=，∴，∴CR=MH=（t﹣20），∴ON=OG﹣NG=FH﹣MH=14﹣（t﹣20），14﹣（t﹣20）=（t+1），解得：t=，即当t=时，OP=PQ，综上所述，当t=或时，OP与PQ相等．随练随练1、阅读材料如图1，若点P是⊙O外的一点，线段PO交⊙O于点A,则PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离.图图1图2证明：延长PO交⊙O于点B，显然PB>PA.如图2，在⊙O上任取一点C（与点A，B不重合），连结PC，OC.∴PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离.由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差.请用上述真命题解决下列问题．(1)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值是．图图3(2)如图4，在边长为2的菱形中，∠=60°，是边的中点，点是边上一动点，将△沿所在的直线翻折得到△，连接,①求线段A’M的长度;②求线段长的最小值.图图4【答案】(1)(2)1，【解析】（2）①②由①知，点A’在以点M为圆心，1为半径的圆上……4分连接CM交圆M于点A’，过点M向CD的延长线作垂线，垂足为点H.随练2、在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，发现：（1）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC边上任意一点（点E不与B、C重合），点F在线段AE上，过点F的直线MN⊥AE，分别交AB、CD于点M、N．此时，有结论AE=MN，请进行证明；（2）如图2：当点F为AE中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD，MN与BD交于点G，连接BF，此时有结论：BF=FG，请利用图2做出证明．（3）如图3：当点E为直线BC上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线MN分别交直线AB、CD于点M、N，请你直接写出线段AE与MN之间的数量关系、线段BF与FG之间的数量关系．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）AE=MN；BF=FG．【解析】（1）在图1中，过点D作PD∥MN交AB于P，则∠APD=∠AMN，∵正方形ABCD，∴AB=AD，AB∥DC，∠DAB=∠B=90°，∴四边形PMND是平行四边形且PD=MN，∵∠B=90°，∴∠BAE+∠BEA=90°，∵MN⊥AE于F，∴∠BAE+∠AMN=90°，∴∠BEA=∠AMN=∠APD，又∵AB=AD，∠B=∠DAP=90°，∴△ABE≌△DAP，∴AE=PD=MN；（2）在图2中，连接AG、EG、CG，由正方形的轴对称性△ABG≌△CBG，∴AG=CG，∠GAB=∠GCB，∵MN⊥AE于F，F为AE中点，∴AG=EG，∴EG=CG，∠GEC=∠GCE，∴∠GAB=∠GEC，由图可知∠GEB+∠GEC=180°，∴∠GEB+∠GAB=180°，又∵四边形ABEG的内角和为360°，∠ABE=90°，∴∠AGE=90°，在Rt△ABE和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点，∴BF=AE，FG=AE，∴BF=FG；（3）①AE与MN的数量关系是：AE=MN，理由是：如图3，过N作NQ⊥AB于Q，∵∠NMQ=∠AMF，∠AMF=∠AEB，∴∠AEB=∠NMQ，∵AB=BC=QN，∠ABE=∠NQM=90°，∴△AEB≌△NMQ，∴AE=MN；②BF与FG的数量关系是：BF=FG，理由是：如图4，连接AG、EG、CG，同理得：∠GAD=∠GCD，∠GEC=∠GCE，∵∠GCE+∠GCD=90°，∴∠GAD+∠GEC=90°，∵AD∥EC，∴∠DAE+∠AEC=180°，∴∠AEG+∠EAG=90°，∴∠AGE=90°，在Rt△ABE和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点，∴BF=AE，FG=AE，∴BF=FG．随练3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．从初始时刻开始，动点P，Q分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿A﹣B﹣﹣C﹣﹣E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B﹣﹣C﹣﹣E﹣﹣D的方向运动，到点D停止，设运动时间为xs，△PAQ的面积为ycm2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题：（1）当x=2s时，y=______cm2；当x=s时，y=______cm2．（2）当5≤x≤14时，求y与x之间的函数关系式．（3）当动点P在线段BC上运动时，求出S梯形ABCD时x的值．（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值．【答案】（1）2；9（2）当5≤x≤9时（如图1）y=x2﹣7x+，当9＜x≤13时（如图2）﹣x2+x﹣35，当13＜x≤14时（如图3）y=﹣4x+56（3）当x=7时，S梯形ABCD（4）x=、或．【解析】（1）当x=2s时，AP=2，BQ=2，∴y==2当x=s时，AP=4.5，Q点在EC上∴y==9故答案为：2；9（2）当5≤x≤9时（如图1）y=S梯形ABCQ﹣S△ABP﹣S△PCQ=（5+x﹣4）×4×5（x﹣5）（9﹣x）（x﹣4）y=x2﹣7x+当9＜x≤13时（如图2）y=（x﹣9+4）（14﹣x）y=﹣x2+x﹣35当13＜x≤14时（如图3）y=×8（14﹣x）y=﹣4x+56；（3）当动点P在线段BC上运动时，∵S梯形ABCD=×（4+8）×5=8∴8=x2﹣7x+，即x2﹣14x+49=0，解得：x1=x2=7∴当x=7时，S梯形ABCD（4）设运动时间为x秒，当PQ∥AC时，BP=5﹣x，BQ=x，此时△BPQ∽△BAC，故，即，解得x=；当PQ∥BE时，PC=9﹣x，QC=x﹣4，此时△PCQ∽△BCE，故，即，解得x=；当PQ∥BE时，EP=14﹣x，EQ=x﹣9，此时△PEQ∽△BAE，故，即，解得x=综上所述x的值为：x=、或随练4、已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，，，，，动点M从A点出发，以每秒钟1个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动，当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动．AABOC备用图xyABOCMNxy（1）求B点坐标；（2）设运动时间为t秒．①当t为何值时，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；②当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积；③若另有一动点P，在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动．在②的条件下，，D的长度也刚好最小．求动点P的速度．【答案】（1）（2）①；②当时，；③P的速度为每秒个单位长度【解析】该题考查的是一次函数综合．（1）作作于D，则四边形OABD是矩形，∴，∴，∴，∴．（2）①由题意知，，，∵四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半，∴，∴，②设四边形OAMN的面积为S，则，∵，且S随t的增大而减小，∴当时，S最小，最小面积为54，③如备用图，取N点关于y轴对称点，连接交AO于点P，此时，长度最小，当时，，，∴，，∴，、设直线的函数关系式，则，解得，∴∴，∴动点P的速度是个单位长度/秒．随练5、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．【答案】（1）不是，最小值为32（2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是△APK与△DFK（3）6π（4）【解析】（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和不是定值．设AP=x，则PB=8-x，根据题意得这两个正方形面积之和=x2+（8-x）2=2x2-16x+64=2（x-4）2+32，所以当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32．（2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是△APK与△DFK．依题意画出图形，如答图2所示．设AP=a，则PB=BF=8-a．∵PE∥BF，∴=，即=，∴PK=，∴DK=PD-PK=a-=，∴S△APK=PK•PA=••a=，S△DFK=DK•EF=••（8-a）=，∴S△APK=S△DFK．（3）当点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动时，不妨设点Q在DA边上，若点P在点A，点Q在点D，此时PQ的中点O即为DA边的中点；若点Q在DA边上，且不在点D，则点P在AB上，且不在点A．此时在Rt△APQ中，O为PQ的中点，所以AO=PQ=4．所以点O在以A为圆心，半径为4，圆心角为90°的圆弧上．PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90°的圆弧，如答图3所示：所以PQ的中点O所经过的路径的长为：×2π×4=6π．（4）点O所经过的路径长为3，OM+OB的最小值为．如答图4-1，分别过点G、O、H作AB的垂线，垂足分别为点R、S、T，则四边形GRTH为梯形．∵点O为中点，∴OS=（GR+HT）=（AP+PB）=4，即OS为定值．∴点O的运动路径在与AB距离为4的平行线上．∵MN=6，点P在线段MN上运动，且点O为GH中点，∴点O的运动路径为线段XY，XY=MN=3，XY∥AB且平行线之间距离为4，点X与点A、点Y与点B之间的水平距离均为2.5．如答图4-2，作点M关于直线XY的对称点M′，连接BM′，与XY交于点O．由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM′最小．在Rt△BMM′中，MM′=2×4=8，BM=7，由勾股定理得：BM′=MM′2+BM2=．∴OM+OB的最小值为．随练6、阅读下列材料：

已知：如图1，在中，，，，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造，求对角线PQ的最小值及此时的值是多少．AABCP图1QCBAP图2在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．

进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得PQ的最小值为3．

参考小明的做法，解决以下问题：

（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时，_______；

（2）如图3，延长PA到点E，使（n为大于0的常数）．以PE，PB为边作，那么对角线PQ的最小值为_______，此时_______；AAEBQCPAEPBCQ图3图4（3）如图4，如果P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使（n为大于0的常数），以PE，PC为边作，那么对角线PQ的最小值为______，此时_______．【答案】（1）（2）3；（3）；【解析】该题考查的是三角形综合．（1）∵四边形APBQ是平行四边形，∴AP//BQ，，当时PQ最短，此时，∴，∴．（2）同（1）得，当时PQ最短，∴．由（1）得，当时，，∵，∴，∴．（3）同（1）得时最短，此时PQ等于△ABC中AB边上的高h，，∴，∴．∵，∴，设，∴，∴，在△ACP中，，∴，∴．随练7、在中，，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ．（1）若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出的度数；M(M(P)QCBA图1APMCBQ图2（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且，请直接写出的范围【答案】（1）（2）（3）【解析】该题考察的是三角形综合．（1）∵，，M是AC的中点，∴，，∵将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ，∴，，∴，，∴△CMQ是等边三角形，∴，∴；补全图形，见图1； 图图1（2）猜想：．图图2证明：如图2，连结AD，PC．∵，M是AC的中点，∴．∵点D，P在直线BM上，∴PA=PC，DA=DC．又∵DP为公共边，∴△ADP≌△CDP．∴，．又∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴在四边形APQD中，．∵，∴．∴．（3）如图3，延长BM，CQ交于点D，连接AD，∵，且，∴，∵点P不与点B，M重合，∴，∵点P在线段BM上运动，最大为，最小等于，∴，∴的范围是．随练8、如图1，已知B点坐标是（6，6），BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，D在线段OA上，E在y轴的正半轴上，DE⊥BD，M是DE中点，且M在OB上．（1）点M的坐标是（_______，_______），DE=__________；（2）小明在研究动点问题时发现，如果有两点分别在两条互相垂直的直线上做匀速运动，连接这两点所得线段的中点将在同一条直线上运动，利用这一事实解答下列问题，如图2，如果一动点F从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时有一点G从点D出发以每秒个单位长度的速度向点O运动，点H从点E开始沿y轴正方向自由滑动，并始终保持GH=DE，P为FG的中点，Q为GH的中点，F与G两个点分别运动到各自终点时停止运动，分别求出在运动过程中点P、Q运动的路线长．（3）连接PQ，求当运动多少秒时，PQ最小，最小值是多少？【答案】（1）（2，2）；8（2）P点运动的路线长PP1+P1P2=5；点G运动的路线长为：（3）运动时间为秒时，PQ最小值=3【解析】（1）∵点B的坐标为（6，6），∴tan∠BOA=．∴∠BOA=30°．∵在Rt△EOD中，点M是ED的中点，∴OM=．∴∠MDO=∠BOA=30°，∵BD⊥ED，∴∠EDB=90°．∴∠EDO+∠BDA=90°．∵∠BDA+∠DBA=90°，∴∠EDO=∠DBA=30°∴AD=AB•tan30°=6×=2．∴OD=6．∴OE=ODtan30°=4×=4．∵M是DE的中点，∴点M的坐标为（2，2）．∵，即，∴DE=8．（2）根据题意画出点P、点Q运动的轨迹．OD=4，点D的运动时间==4秒；点F运动的时间=6÷1=6秒；∵点P是BD的中点，∴点P的坐标为（，）即点P的坐标为（5，3），P1的坐标为（3，1）∴PP1==，P1P2=P点运动的路线长PP1+P1P2=5；∵M是DE的中点，∠EOD=90°∴OM=．∴点M运动的路线为弧ME．∵∠BOA=30°，∴∠EOM=60°．∴点M运动的路线长=．∵GH=DE，∴点G运动的路线长为：．（3）∵点P、Q分别为FG和GH的中点，∴PQ=FH．∴当FH最小时，PQ最小，当FH⊥y轴时，FH最小值=6，如图2，连接FH．设此时运动时间为t秒，则AF=6﹣t，DG=∴OG=（4﹣t），在Rt△HOG中，由勾股定理得：OH2=GH2﹣OG2∴OH2=82﹣3（4﹣t）2．∵OH=AF，∴（6﹣t）2=64﹣3（4﹣t）2．解得：，（舍去）∴当运动时间为秒时，PQ最小值=3．拓展拓展1、如图，长方形OABC的顶点A、C、O都在坐标轴上，点B的坐标为（9，4），E为BC边上一点，CE=6．（1）求点E的坐标和△ABE的周长；（2）若P是OA上的一个动点，它以每秒1个单位长度的速度从点O出发沿射线OA运动，设点P运动的时间为t秒（t＞0）．①当t为何值时，△PAE的面积等于△PCE的面积的一半；②当t为何值时，△PAE为直角三角形．【答案】（1）12（2）当t为6或12秒；当t为6或秒【解析】（1）如图，∵长方形OABC中，点B的坐标为（9，4），∴CB=9，CO=4=AB，又∵CE=6，∴E（6，4），BE=3，∵∠B=90°，∴Rt△ABE中，AE==5，∴△ABE的周长：3+4+5=12；（2）①∵OP=1×t=t，∴AP=9﹣t，∵△PAE的面积等于△PCE的面积的一半，∴当P在OA之间时，根据×AP×AB=×CE×CO×，可得（9﹣t）×4=6×4×，解得t=6；当P在OA的延长线上时，根据×AP×AB=×CE×CO×，可得（t﹣9）×4=6×4×，解得t=12；综上所述，当t为6或12秒时，△PAE的面积等于△PCE的面积的一半；②如图，当∠PEA=90°时，△PAE为直角三角形，过点P作PF⊥BC于F，则CF=OP=t，EF=6﹣t，BF=6﹣t+3=9﹣t=AP，由勾股定理可得，PE2+AE2=AP2，即（PF2+EF2）+AE2=AP2，∴42+（6﹣t）2+52=（9﹣t）2，解得t=；当∠EPA=90°时，△PAE为直角三角形，EP⊥OA，此时，PE=OC=4，∴Rt△APE中，AP==3，∴OP=9﹣3=6，∴t=6；∵EA与AP不垂直，∴∠PAE不可能为直角；综上所述，当t为6或秒时，△PAE为直角三角形．拓展2、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）求菱形ABCD的周长；（2）记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．【答案】（1）200；（2）S=t2；最大值为480；（3）存在2个点P，使得∠DPO=∠DON；存在两个点P到OD的距离都是．【解析】（1）在菱形ABCD中，∵AC⊥BD∴AD==50．∴菱形ABCD的周长为200．（2）过点M作MP⊥AD，垂足为点P．①当0＜t≤40时，如答图1，∵sin∠OAD===，∴MP=AM•sin∠OAD=t．S=DN•MP=×t×t=t2；②当40＜t≤50时，如答图2，MD=70﹣t，∵sin∠ADO===，∴MP=（70﹣t）．∴S△DMN=DN•MP=×t×（70﹣t）=t2+28t=（t﹣35）2+490．∴S=当0＜t≤40时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480．当40＜t≤50时，S随t的增大而减小，当t=40时，最大值为480．综上所述，S的最大值为480．（3）存在2个点P，使得∠DPO=∠DON．方法一：如答图3所示，过点N作NF⊥OD于点F，则NF=ND•sin∠ODA=30×=24，DF=ND•cos∠ODA=30×=18．∴OF=12，∴tan∠NOD===2．作∠NOD的平分线交NF于点G，过点G作GH⊥ON于点H，则FG=GH．∴S△ONF=OF•NF=S△OGF+S△OGN=OF•FG+ON•GH=（OF+ON）•FG．∴FG===，∴tan∠GOF===．设OD中垂线与OD的交点为K，由对称性可知：∠DPK=∠DPO=∠DON=∠FOG∴tan∠DPK===，∴PK=．根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P′．∴存在两个点P到OD的距离都是．方法二：答图4所示，作ON的垂直平分线，交OD的垂直平分线EF于点I，连结OI，IN．过点N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分别为G，H．当t=30时，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，∴，即．∴NG=24，DG=18．∵EF垂直平分OD，∴OE=ED=15，EG=NH=3．设OI=R，EI=x，则在Rt△OEI中，有R2=152+x2①在Rt△NIH中，有R2=32+（24﹣x）2②由①、②可得：∴PE=PI+IE=．根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P′也满足条件．∴存在两个点P，到OD的距离都是．（注：只求出一个点P并计算正确的扣（1分）．）拓展3、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线BD上一动点（P与B、D不重合），∠APE=90°，且点E在BC边上，AE交BD于点F．（1）求证：①△PAB≌△PCB；②PE=PC；（2）在点P的运动过程中，的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理由；（3）设DP=x，当x为何值时，AE∥PC，并判断此时四边形PAFC的形状．【答案】（1）见解析（2）（3）四边形PAFC是菱形【解析】（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=∠ABC=45°．∵PB=PB，∴△PAB≌△PCB（SAS）．②由△PAB≌△PCB可知，∠PAB=∠PCB．∵∠ABE=∠APE=90°，∴∠PAB+∠PEB=180°，又∵∠PEC+∠PEB=180°，∴∠PEC=∠PAB=∠PCB，∴PE=PC．（2）在点P的运动过程中，的值不改变．由△PAB≌△PCB可知，PA=PC．∵PE=PC，∴PA=PE，又∵∠APE=90°，∴△PAE是等腰直角三角形，∠PAE=∠PEA=45°，∴．（3）∵AE∥PC，∴∠CPE=∠PEA=45°，∴在△PEC中，∠PCE=∠PEC=（180°﹣45°）=67.5°．在△PBC中，∠BPC=（180°﹣∠CBP﹣∠PCE）=（180°﹣45°﹣67.5°）=67.5°．∴∠BPC=∠PCE=67.5°，∴BP=BC=1，∴x=BD﹣BP=﹣1．∵AE∥PC，∴∠AFP=∠BPC=67.5°，由△PAB≌△PCB可知，∠BPA=∠BPC=67.5°，PA=PC，∴∠AFP=∠BPA，∴AF=AP=PC，∴四边形PAFC是菱形．拓展4、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在一，四象限，在运动过程中，设▱PCOD的面积为S．①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围．【答案】（1）t=；E（，0）（2）见解析（3）①t=1或t=或t=或t=5②＜S≤20【解析】（1）∵OB=6，C是OB的中点，∴BC=OB=3，∴2t=3即t=，∴OE=+3=，E（，0）；（2）如图，连接CD交OP于点G，在▱PCOD中，CG=DG，OG=PG，∵AO=PE，∴AG=EG，∴四边形ADEC是平行四边形．（3）①（Ⅰ）当点C在BO上时，第一种情况：如图，当点M在CE边上时，∵MF∥OC，∴△EMF∽△ECO，∴=，即=，∴t=1，第二种情况：当点N在DE边时，∵NF∥PD，∴△EFN∽△EPD，∴=，即=，∴t=，（Ⅱ）当点C在BO的延长线上时，第一种情况：当点M在DE边上时，∵MF∥PD，∴△EMF∽△EDP，∴=即=，∴t=，第二种情况：当点N在CE边上时，∵NF∥OC，∴△EFN∽△EOC，∴=即=，∴t=5．②＜S≤或＜S≤20．当1≤t＜时，S=t（6-2t）=-2（t-）2+，∵t=在1≤t＜范围内，∴＜S≤，当＜t≤5时，S=t（2t-6）=2（t-）2-，∴＜S≤20．拓展5、如图，AC是正方形ABCD的对角线．点E为射线CB上一个动点（点E不与点C，B重合），连接AE，点F在直线AC上，且EF=AE．（1）点E在线段CB上，如图1所示；①若∠BAE=10°，求∠CEF的度数；②用等式表示线段CD，CE，CF之间的数量关系，并证明．（2）如图2，点E在线段CB的延长线上；请你依题意补全图2，并直接写出线段CD，CE，CF之间的数量关系．【答案】（1）①10°；②CE+CF=CD（2）CD+CF=CE【解析】（1）①解：如图1所示，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=∠1=45°．∵∠BAE=10°，∴∠2=35°．∵EF=AE，∴∠F=∠2=35°，∵∠1是△CEF的外角，∴∠1=∠F+∠CEF．∴45°=35°+∠CEF．∴∠CEF=10°．②线段CD，CE，CF之间的数量关系是：CE+CF=CD．证明：∵∠BAE+∠2=45°，∠CEF+∠F=45°，∴∠BAE=∠CEF．方法一：如图2，过点E作ME⊥BC交AC于点M．∵ME⊥BC，∴AB∥ME，∵四边形ABCD是正方形，∴∠1=∠BAC=45°，则∠EMC=45°，故∠AME=∠ECF=135°，∵AE=EF，∴∠2=∠F，在△AEM和△FEC中，∴△AEM≌△FEC（AAS），∴AM=FC．∴FM=AC=CD．∵FM=MC+CF，∴MC+CF=CD．∴CE+CF=CD．方法二：如图3，在AB上取点M，使AM=EC．由方法一同理可得：△AEM≌△FEC，∴FC=EM=BE．∴EB=CF．∵EB+CE=CB，∴CF+CE=CD．∴CE+CF=CD．方法三：图4，延长BC，过点F作MF⊥BC，交BC的延长线于点M．由方法一同理可得：△ABE≌△EMF，∴BE=MF．∵MF=CM，∴BE=MF=CM=CF．∵EB+CE=CB，∴CF+CE=CD．∴CE+CF=CD．（2）解：如图5所示：线段CD，CE，CF之间的数量关系是：CD+CF=CE．理由：过点F作FM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠BCA=45°，∵AE=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠FEC+∠ECF=∠EFA，∠EAB+∠BAC=∠EAF，∴∠FEC+45°=45°+∠EAB，∴∠FEC=∠EAB，在△ABE和△EMF中，，∴△ABE≌△EMF（AAS），∴BE=FM，∵MF=CM，∴BE=MF=CM=CF．∵EB+BC=CE，∴CF+DC=CE．∴CD+CF=CE．拓展6、．已知：四边形ABCD中，AD∥BC，，，点E是射线CD上的一个动点（与C、D不重合），将△ADE绕点A顺时针旋转后，得到△ABE'，连接EE'．（1）如图1，；（2）如图2，如果将直线AE绕点A顺时针旋转后交直线BC于点F，过点E作EM∥AD交直线AF于点M，写出线段DE、BF、ME之间的数量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，如果，，求ME的长．【答案】（1）30°（2）见解析（3）【解析】该题考查四边形的综合问题（1）30°．…………1分（2）当点E在线段CD上时，；…2分当点E在CD的延长线上，时，；……………3分时，；时，．………………4分（3）作于点G，作于点H．由，，，得，易知四边形AGHD是矩形和两个全等的直角三角形，．则，．∵，∴点、B、C在一条直线上．设，则，．作于Q．在Rt△EQC中，，，∴，．∴．……5分作于点P．∵△ADE绕点A顺时针旋转120°后，得到△ABE'．∴△AEE'是等腰三角形，．∴在Rt△APE'中，．∴．……6分∴在Rt△EQE'中，．∴．∴．………………7分∴，，．∴在Rt△E'AF中，，∴．∴∴．∴．由（2）知：．∴．……8分拓展7、【试题背景】已知：l∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2．我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．【探究1】（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BE⊥l于点E，BE的反向延长线交直线k于点F，求正方形ABCD的边长．【探究2】（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，则矩形ABCD的宽为____．（直接写出结果即可）【探究3】如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且∠ADC=60°，△AEF是等边三角形，AE⊥k于点E，∠AFD=90°，直线DF分别交直线l、k于点G、点M．求证：EC=DF．【拓展】（4）如图3，l∥k，等边△ABC的顶点A、B分别落在直线l、k上，AB⊥k于点B，且AB=4，∠ACD=90°，直线CD分别交直线l、k于点G、点M，点D、点E分别是线段GM、BM上的动点，且始终保持AD=AE，DH⊥l于点H．猜想：DH在什么范围内，BC∥DE？并说明此时BC∥DE的理由．【答案】（1）（2）或（3）见解析（4）2＜DH＜4时BC∥DE，理由见解析【解析】（1）∵l∥k，BE⊥l，∴∠BFC=∠BEA=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC．∴∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴△ABE≌△BCF，∴AE=BF，∵d1=d3=1，d2=2，∴BE=3，AE=1，在直角△ABE中，AB=BE2+AE2=32+12=，即正方形的边长是；（2）过B作BE⊥l于点E，反向延长BE交k于点F．则BE=1，BF=3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠FBC=90°，又∵直角△ABE中，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠FBC=∠EAB，∴△AEB∽△BFC，当AB是较短的边时，如图（a），AB=BC，则AE=BF=，在直角△ABE中，AB=12+(2=；当AB是长边时，如图（b），同理可得：BC=；故答案为：或；（3）证明：如解答图②，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，且∠ADC=60°，∴AC=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，∵AE⊥k，∠AFD=90°，∴∠AEC=∠AFD=90°，∴直角△AEC≌直角△AFD，∴EC=DF；（4）当2＜DH＜4时（C点离l的距离为2，D点必在C点下方），BC∥DE．理由如下：如图③，当2＜DH＜4时，点D在线段CM上，连接AM．∵∠ABM=∠ACM=90°，AB=AC，AM=AM，∴Rt△ABM≌Rt△ACM，∴∠BAM=∠CAM，∴AM⊥BC，又∵AD=AE，AB=AC，∴Rt△ABE≌Rt△ACD，∴∠BAE=∠CAD，