爱提分中考复习 3一轮-函数-第04讲 反比例函数(学生版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学学生辅导讲义[学生版]学员姓名王晓与 年级初一辅导科目初中数学学科教师卫雅鑫上课时间2019-09-2411:30:00-12:30:00 知识图谱反比例函数知识精讲一．知识精讲1．反比例函数的概念：形如函数(为常数，)叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是x的函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．2．反比例函数的图像和性质反比例函数的图像：反比例函数(为常数，)的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数与()的图象关于轴对称，也关于轴对称．反比例函数的性质：反比例函数(为常数，)的图象是双曲线；当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大．反比例函数的对称性：反比例函数关于坐标原点中心对称，关于这两条直线轴对称．3．反比例函数的几何意义反比例函数(为常数，)中比例系数的几何意义,即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线,所得矩形面积为．4．用反比例函数来解决实际问题的步骤：由实验由实验获得数据用描点法画出图象根据所画图象判断函数类型用待定系数法求出函数解析式用实验数据验证二．方法点拨1．反比例函数与方程和不等式如图，双曲线与直线相交，则方程的解为交点的横坐标；不等式的解为．2．反比例函数与一次函数已知反比例函数与一次函数的一个交点，求函数解析式，只要把交点坐标分别代入到两个解析式即可．当反比例函数与正比例函数相交时，交点关于原点对称，即．3．反比例函数与三角形综合一般为定点与动点构成特殊三角形情况，利用等腰三角形，直角三角形，等边三角形，等腰直角三角形等固有特殊性质，进行求解，并且注意考虑到多种结论的情况．4．反比例函数与四边形综合四边形与反比例函数的综合问题与三角形部分基本上相同，不同的是涉及到平行四边形等特殊四边形的时候经常会出现两个顶点两个动点的情况需要进行分类讨论．5．反比例函数与面积问题反比例函数涉及到的面积问题一般都为三角形面积和矩形面积问题，对于三角形面积我们可以对三角形进行分割再去求解，对于矩形面积问题，我们要注意值的几何意义和正负的讨论．三点剖析一．考点：反比例函数的图像和性质，反比例函数的代数综合，反比例函数的几何综合，反比例函数与实际应用问题二．重难点：反比例函数的图像和性质，反比例函数的代数综合，反比例函数的几何综合反比例函数的图形和性质例题例题1、已知双曲线y=经过点（2，1），则k的值等于（）A.﹣1B.1C.2D.4例题2、若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A.y1＜y3＜y2B.y1＜y2＜y3C.y3＜y2＜y1D.y2＜y1＜y3例题3、如图，在直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论：①S△ADB=S△ADC；②当0＜x＜3时，y1＜y2；③如图，当x=3时，EF=；④当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4例题4、如图，矩形ABCD的边分别与两坐标轴平行，对角线AC经过坐标原点，点D在反比例函数（）的图象上．若点B的坐标为，则的值为（）A.B.C.或D.或例题5、如图，在反比例函数y=﹣的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=的图象上运动．若tan∠CAB=2，则k的值为（）A.2B.4C.6D.8随练随练1、已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过（3，﹣1），则当1＜y＜3时，自变量x的取值范围是________．随练2、已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是同一个反比例函数图象上的两点，若x2=x1+2，且=+，则这个反比例函数的表达式为____．随练3、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx-ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）A.A选项B.B选项C.C选项D.D选项随练4、函数y=x+的图象如图所示，关于该函数，下列结论正确的是____（填序号）．①函数图象是轴对称图形；②函数图象是中心对称图形；③当x＞0时，函数有最小值；④点（1，4）在函数图象上；⑤当x＜1或x＞3时，y＞4．随练5、如图，点A是双曲线在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为___________．随练6、如图，点A在双曲线y=的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为__________．反比例函数的代数综合例题例题1、如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象相交于点．（1）求m的值和一次函数的解析式；（2）结合图象直接写出：当时，不等式的解集．例题2、如图，已知与B是反比例函数的图象上的两个点，点是直线与轴的交点，则点的坐标是_______．AABCOxy例题3、在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点为．（1）求一次函数的解析式；（2）若点P在直线OA上，且满足，直接写出点P的坐标111OyxA例题4、如图，已知一次函数y1=kx+b图象与x轴相交于点A，与反比例函数y2=相交于B（-1，5）、C（，d）两点．点P（m，n）是一次函数y1=kx+b的图象上的动点．（1）求k、b的值；（2）设-1＜m＜，过点P作x轴的平行线与函数y2=的图像相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）m=1-a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．随练随练1、已知：如图，反比例函数与一次函数的图象交于、两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式．（2）若点P是直线上一点，且，请直接写出点P的坐标．随练2、如图，一次函数y=ax+b的图象与y轴、x轴分别交于点A（0，）、B（3，0），与反比例函数y=的图象在第一象限交于C、D两点．（1）求该一次函数的解析式．（2）若AC•AD=，求k的值．随练3、如图，A、B两点在函数y=（x＞0）的图象上．（1）求m的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．随练4、如图，在平面直角坐标系xOy中，点，在反比例函数（m为常数）的图象G上，连接AO并延长与图象G的另一个交点为点C，过点A的直线l与x轴的交点为点，过点C作CE∥x轴交直线l于点E．（1）求m的值及直线l对应的函数表达式；（2）求点E的坐标；（3）求证：．反比例函数的几何综合例题例题1、如图，点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k的值为（）A.1B.2C.3D.4例题2、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．例题3、已知反比例函数y=（m为常数）的图象在一、三象限．（1）求m的取值范围；（2）如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为（0，3），（-2，0）．①求出函数解析式；②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD=OP，则P点的坐标为____；若以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为____个．例题4、如图1，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC=5，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图2，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP．①求△AOP的面积；②在▱OABC的边上是否存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．例题5、如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．（1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y=-x+b过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．随练随练1、已知点A是反比例函数y=（x＞0）图象上的一点，点A′是点A关于y轴的对称点，当△AOA′为直角三角形时，点A的坐标是_____________．随练2、(2012初二下期末北京大学附属中学)如图，已知直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线分别交于点、，且点的坐标为。（1）分别求出直线AB及双曲线的解析式；（2）求出点的坐标；（3）利用图象直接写出：当在什么范围内取值时，；（4）在坐标轴上找一点M，使得以M、C、D为顶点的三角形是等腰三角形，请写出M的坐标．随练3、在平面直角坐标系xOy中，A为第一象限内的双曲线（）上一点，点A的横坐标为1，过点A作平行于y轴的直线，与x轴交于点B，与双曲线（交于点C，x轴上一点位于直线AC右侧，AD的中点为E．（1）当时，求△ACD的面积（用含，的代数式表示）；（2）若点E恰好在双曲线（）上，求m的值；（3）设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，当点D的坐标为时，若△BDF的面积为1，且CF//AD，求的值，并直接写出线段CF的长．随练4、如图，已知一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（1，-3），B（3，m）两点，连接OA、OB．（1）求两个函数的解析式；（2）求△ABO的面积．（3）是否存在点P,使以A、B、O、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。AABOxy随练5、阅读理解：对于任意正实数a、b，，∴．∴，只有当时，等号成立．结论：在（a、b均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值．根据上述内容，回答下列问题：（1）若，只有当________时，有最小值____________．（2）探索应用：已知，，点P为双曲线上的任意一点，过点P作PC垂直x轴于点C，PD垂直y轴于D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状随练6、在平面直角坐标系xOy中，A，B两点在函数的图象上，其中．轴于点C，轴于点D，且．（1）若，则AO的长为_____________，的面积为______________；（2）如图1，若点B的横坐标为，且，当时，求的值；（3）如图2，，轴于点E，函数的图象分别与线段BE，BD交于点M，N，其中．将的面积记为，的面积记为，若，求S与的函数关系式以及S的最大值．yyAxBCODyxBCODMNAE图1图2随练7、在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．

（1）已知点，，．①若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；②直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．（2）已知点，，，，其中，．①若E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；②直接写出E，F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围．反比例函数与实际应用问题例题例题1、环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？例题2、家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（kΩ）随温度t（℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ．（1）求当10≤t≤30时，R和t之间的关系式；（2）求温度在30℃时电阻R的值；并求出t≥30时，R和t之间的关系式；（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6kΩ？随练随练1、保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1月的利润为200万元．设2009年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该从2009年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．（1）分别求该化工厂治污期间及改造工程顺利完工后y与x之间对应的函数关系式．（2）治污改造工程顺利完工后经过几个月，该厂利润才能达到200万元？（3）当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？随练2、如图所示，制作一种产品的同时，需要将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟，据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为15℃，加热5分钟使材料温度达到60℃时停止加热．停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系．（1）分别求出该材料加热过程中和停止加热后y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；（2）根据工艺要求，在材料温度不低于30℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间是多少？拓展拓展1、如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y=（x＞0）的图象上，则点E的坐标是（，）拓展2、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB=1，点A在函数y=﹣（x＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y=（x＞0）的图象上，C1O1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（）A.B.C.D.拓展3、已知与是反比例函数图象上的两个点．则的值=__________拓展4、反比例函数y=（a＞0，a为常数）和y=在第一象限内的图象如图所示，点M在y=的图象上，MC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，当点M在y=的图象上运动时，以下结论：①S△ODB=S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．其中正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3拓展5、如图所示，OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，若OA2﹣AB2=18，则k的值为（）A.12B.9C.8D.6拓展6、如图，已知一次函数y=k1x+b（k1≠0）的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=（k2≠0）的图象在第一象限的交点为C，过点C作x轴的垂线，垂足为D，若OA=OB=OD=2．（1）求一次函数的解析式；（2）求反比例函数的解析式．拓展7、如图，点A（﹣2，n），B（1，﹣2）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；（3）若C是x轴上一动点，设t=CB﹣CA，求t的最大值，并求出此时点C的坐标．拓展8、利用图象解一元二次方程时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线和直线，两图象交点的横坐标就是该方程的解．

（1）填空：利用图象解一元二次方程，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线_____和直线，其交点的横坐标就是该方程的解．（2）已知函数的图象（如图所示），利用图象求方程的近似解（结果保留两个有效数字）．33636xyO拓展9、如图，直线与轴交于点，与双曲线在第一象限内交于点，两点，且，则的值为多少？拓展10、经过点的直线l：与反比例函数：的图象交于点，，与y轴交于点D．（1）求直线l对应的函数表达式及反比例函数G1的表达式；（2）反比例函数G2：，①若点E在第一象限内，且在反比例函数G2的图象上，若，且△AEB的面积为8，求点E的坐标及t值；②反比例函数G2的图象与直线l有两个公共点M，N（点M在点N的左侧），若，直接写出t的取值范围．拓展11、如图，反比例函数y=（x＞0）的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，AD：OD=1：2，则k的值为____．拓展12、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点B在x轴上，且B（﹣1，0），A点的横坐标是2，AB=3BC，双曲线（m＞0）经过A点，双曲线经过C点，则Rt△ABC的面积为．拓展13、如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数y=（x＞0）的图象经过点B．（1）求k的值；（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数y=（x＞0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．拓展14、仅用尺规不可能“三等分角”．但借助函数可以“三等分角”．下面介绍数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法：将给定的锐角置于直角坐标系汇总，边OB在x轴上，边OA与函数的图象交于点P，以点P为圆心，以为半径作弧交函数的图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到，则．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设、，求直线OM的解析式（用含a、b的代数式表示）；（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．说明Q点在直线OM上，并据此证明．OOyxHBQPRMAS拓展15、如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y=的图象上．（1）求反比例函数y=的表达式；（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP=S△AOB，求点P的坐标；（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．拓展16、如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．拓展17、定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”．例如：的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象，则是y与x的“反比例平移函数”．（1）若矩形的两边分别是、，当这两边分别增加、后，得到的新矩形的面积为，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为、．点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”的图象经过B、E两点．则这个“反比例平移函数”的表达式为；这个“反比例平移函数”的