专题01等腰三角形-2021-2022学年八年级数学下学期期末考试好题汇编(北师大版)(原卷版+解析)

专题01等腰三角形考向一：等腰三角形的判定与性质考向一：等腰三角形的判定与性质考向二：等腰三角形中的旋转模型与翻折变换考向三：等腰三角形中的存在性问题一、等腰三角形的判定与性质1．（2021·云南红河·八年级期末）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为(

)A．40° B．100° C．或 D．40°或100°2．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）若a，b为等腰△ABC的两边，且满足|a﹣4|+＝0，则△ABC的周长为（）A．8 B．10 C．8或12 D．8或103．（2022·福建厦门·八年级期末）如图，在中，，于D，于E，则下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．4．（2022·浙江嘉兴·八年级期末）如图，在中，，AD是BC边上的高，点E在AD上，且，若的面积为S，则的面积是（

）A． B． C． D．5．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则BF的长为（

）A．5 B．6 C．7 D．86.（2022·湖北襄阳·八年级期末）如图，，，三点在同一直线上，和均为等边三角形，连结，，若，那么______．7．（2022·山东济南·八年级期末）如图，△ABC中，AC＝DC＝4，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为________．8．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）若是△ABC的两边且(1)试求的值，并求第三边的取值范围．(2)若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．二、等腰三角形中的旋转模型与翻折变换1．（2022·河南南阳·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△，此时点恰好在AB边上，连接B，则△的周长为（）A． B．1+ C．2+ D．3+2．（2021·甘肃·金昌市第五中学八年级期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝4，则BE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD=1，AC=3，△OCD周长的最小值是___________．4．（2022·福建·莆田二中八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为_____．5．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，等边中，，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段点B逆时针旋转60°得到，连接．在点M运动过程中，线段长度的最小值是___________．6．（2022·江苏盐城·八年级期末）已知：∠AOB＝120°，OC平分∠AOB．(1)把三角尺的60°角的顶点落在射线OC上的任意一点P处，绕点P转动三角尺，某一时刻，恰好使得OE＝OF（图1），此时PE与PF相等吗？为什么？(2)把三角尺继续绕点P转动，两边分别交OA、OB于点E、F（图2），求证：△PEF为等边三角形．7．（2022·河南南阳·八年级期末）解决问题(1)感知：如图1，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝x，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，连接CD．则线段BC与DE的数量关系是_____，△BCD的面积为______（用含x的式子表示）；(2)应用：如图2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝x，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，用含x的式子表示△BCD的面积，并说明理由．(3)拓展：如图3所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，将边AB绕点B顺时针旋转，当AB⊥BD，连接CD，若△BCD的面积为9，则CD的长为_______.三、等腰三角形中的存在性问题1．（2022·河南南阳·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．5 B．6 C．7 D．82．（2020·河南郑州·八年级期末）如图，在中，，在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个3．（2021·河南郑州·八年级期末）如图，等边三角形ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，E是BC延长线上一点，且CE＝BC．请从图中找出除△ABC外所有的等腰三角形，并说明理由．4．（2022·云南德宏·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=18cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．(1)用含t的式子表示线段AP、AQ的长．(2)当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形?(3)当t为何值时，PQ∥BC?5．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与重合），连接，作，与交于．(1)当时，_______°，_________°；当点从向运动时，逐渐变________（填“大”或“小”）；(2)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由．6．（2020·河北·八年级期末）在中，，，点是线段上一动点（不与，重合）.（1）如图1，当点为的中点，过点作交的延长线于点，求证：；（2）连接，作，交于点.若时，如图2．①______；②求证：为等腰三角形；（3）连接CD，∠CDE=30°，在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若不可以，请说明理由．7．（2022·湖南岳阳·八年级期末）如图，在中，，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且，(1)求证：是等腰三角形；(2)当时，求的度数；(3)可能是等腰直角三角形吗？为什么？8．（2022·河南南阳·八年级期末）在△AMN中，∠MAN＞90°，AM的垂直平分线交MN于B，交AM于E，AN的垂直平分线交MN于C，交AN于F．(1)若AM＝AN，∠MAN＝120°，则△ABC的形状是；(2)去掉（1）中的“∠MAN＝120°”的条件，其他不变，判断△ABC的形状，并证明你的结论；(3)当∠M与∠N满足怎样的数量关系时，△ABC是等腰三角形？直接写出所有可能的情况．1．（2020·贵州遵义·八年级期末）等腰三角形的两边长为2cm，5cm，则该等腰三角形的周长为(

)A．9cm B．12cm C．9cm或12cm D．6cm或12cm2．（2022·四川德阳·八年级期末）如图，中，，是的角平分线，的垂直平分线分别交、、于点、、，则下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．3．（2022·河南周口·八年级期末）如图，直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．54．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图所示，在中，，F是BC边上任意一一点，过F作于D，于E，若，则（

）．A．2 B．4 C．6 D．85．（2021·重庆市黔江区教育科学研究所八年级期末）如图．，点，，，，在射线上，点，，，在射线上．，，，均为等边三角形，若，则的边长为（

）A． B． C． D．6．（2021·辽宁盘锦·八年级期末）等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为_____．7．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）在△ABC中，∠B＝25°，∠A＝100°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形时，其顶角的度数是多少度呢？请画出图形，在相应图形下方直接写出答案．8．（2022·辽宁朝阳·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B．(1)求点A和点B的坐标；(2)若点P在x轴上，且，求点P的坐标．(3)在y轴是否存在点M，使三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M坐标，若不存在，请说明理由．9．（2022·福建·福州立志中学八年级期末）如图，在中，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．(1)出发2秒后，求的周长；(2)问t为何值时，为以C为顶点的等腰三角形；(3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为秒，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把的周长分成相等的两部分．10．（2020·江西南昌·八年级期末）如图，在中，，，将一个足够大的直角三角尺PMN（，）按如图方式放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，且与CB边的夹角，斜边PN交AC边于点D．（1）当时，判断的形状，并加以说明；（2）当时，求此时CP的长；（3）当时，求证：；（4）当点P在滑动时，是否存在是等腰三角形的情形？若存在，请求出夹角的值；若不存在，请说明理由．11．（2022·江苏扬州·八年级期末）我们定义：若一条线段将三角形分割成2个等腰三角形，则这条线段是这个三角形的“黄金线”．若两条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，则这两条线段是这个三角形的“钻石线”．例如：如图1，在中，，，过点作，和都是等腰三角形，则线段是的“黄金线”．延长至点，使，连接，两条线段、将分割成3个等腰三角形，则这两条线段、是的“钻石线”．(1)如图2，已知锐角中，，，若存在线段是的“黄金线”，则其中钝角等腰三角形的顶角是________；(2)如图3，已知中，，，点是的中点，过点作，交的延长线于点，边上的一点恰好在的垂直平分线上，求证：线段、是的“钻石线”；(3)若一个等腰三角形有“黄金线”，则这个等腰三角形的底角度数是_______．专题01等腰三角形考向一：等腰三角形的判定与性质考向一：等腰三角形的判定与性质考向二：等腰三角形中的旋转模型与翻折变换考向三：等腰三角形中的存在性问题一、等腰三角形的判定与性质1．（2021·云南红河·八年级期末）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为(

)A．40° B．100° C．或 D．40°或100°【答案】D【解析】【分析】分顶角为40°和底角为40°，根据三角形内角和定理计算求值即可；【详解】解：当顶角为40°时，这个等腰三角形顶角为40°，当底角为40°时，这个等腰三角形顶角为180°-40°-40°=100°，∴这个等腰三角形顶角为40°或100°，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理；分类讨论是解题关键．2．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）若a，b为等腰△ABC的两边，且满足|a﹣4|+＝0，则△ABC的周长为（）A．8 B．10 C．8或12 D．8或10【答案】B【解析】【分析】根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据b是腰长和底边长两种情况讨论求解．【详解】解：根据题意，a-4=0，b-2=0，解得a=4，b=2，（1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、4，不能组成三角形；（2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、4、4，能组成三角形，周长为2+4+4=10．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程式正确解答本题的关键．3．（2022·福建厦门·八年级期末）如图，在中，，于D，于E，则下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，故A,C正确；根据垂直的定义得到∠ADC＝∠BEC＝90°，根据三角形的内角和得到∠CBE＝∠DAC，故D正确；由AB≠BC，BE⊥AC，得到CE≠AE．故B错误．【详解】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，故A,C正确；∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠C，∠DAC＝90°﹣∠C，∴∠CBE＝∠DAC，故D正确；∵AB≠BC，BE⊥AC，∴CE≠AE，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．4．（2022·浙江嘉兴·八年级期末）如图，在中，，AD是BC边上的高，点E在AD上，且，若的面积为S，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一性质证得BD=CD=BC，再根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：∵AB=AC，AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，BD=CD=BC，∵，的面积为S，∴S△ABE=AE·BD=·AD·BC=·AD·BC=，故选：D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的高、三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键．5．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则BF的长为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】【分析】过点D作DH⊥AC于点H，由题意易得AD平分∠CAB，则有DE=DH，然后根据等积法可进行求解．【详解】解：过点D作DH⊥AC于点H，如图所示：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠CAB，∵DE⊥AB，DE＝4，∴DE=DH=4，∵，∴，∴；故选D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握等腰三角形的性质及角平分线的性质定理是解题的关键．6.（2022·湖北襄阳·八年级期末）如图，，，三点在同一直线上，和均为等边三角形，连结，，若，那么______．【答案】##21度【解析】【分析】由等边三角形的性质得出，根据可求出答案．【详解】解：是等边三角形，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．7．（2022·山东济南·八年级期末）如图，△ABC中，AC＝DC＝4，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为________．【答案】8【解析】【分析】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．根据垂直定义得到∠ADB＝∠ADH＝90°，求得∠ABD＝∠H，得到AB＝AH，根据等腰三角形的性质得到BD＝DH，推出∠CDH＝∠H，求得CD＝CH＝AC，推出当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×4×4＝8．【详解】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．如图：∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，∵AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH，∵AD⊥BH，∴BD＝DH，∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD，∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC，∵E为AC的中点，即AE＝EC，∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，∴S△ABE＝S△CDH∵S△OBD−S△AOE＝S△ADB−S△ABE＝S△ADH−S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝4，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×4×4＝8．∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为8，故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质，三角形的面积的计算等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．8．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）若是△ABC的两边且(1)试求的值，并求第三边的取值范围．(2)若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．【答案】(1)(2)10或11【解析】【分析】（1）利用非负数的性质可求得a、b的值，根据三角形三边关系可求得c的范围；（2）分腰长为3或4两种情况进行计算.(1)解：∵，，，，；(2)解：当腰长为3时，此时三角形的三边为3、3、4，满足三角形三边关系，周长为：3+3+4=10；当腰长为4时，此时三角形的三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长为：4+4+3=11；综上可知等腰三角形的周长为10或11；【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形三边的关系，非负数的性质，分类讨论是解题的关键．二、等腰三角形中的旋转模型与翻折变换1．（2022·河南南阳·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△，此时点恰好在AB边上，连接B，则△的周长为（）A． B．1+ C．2+ D．3+【答案】D【解析】【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理得到，．再根据旋转的性质得到，则可判断△CA为等边三角形，所以∠AC=60°，，从而可求出．判断△CB为等边三角形，从而得到B的长，进而可求出△的周长．【详解】∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=1，∴，．∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△，此时点恰好在AB边上，∴，，，．∵∠A=60°，∴△CA为等边三角形，∴∠AC=60°，，∴∠BC=60°，，∴△CB为等边三角形，∴B=BC=，∴．故选D．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．熟悉相关性质是解题的关键．2．（2021·甘肃·金昌市第五中学八年级期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝4，则BE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】根据旋转的性质可得AB=AE，∠BAE=60°，然后判断出△AEB是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得BE=AB．【详解】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴AB=AE，∠BAE=60°，∴△AEB是等边三角形，∴BE=AB，∵AB=4，∴BE=4．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握图形旋转的性质是解答本题的关键.3．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD=1，AC=3，△OCD周长的最小值是___________．【答案】5【解析】【分析】如图，连接BD，OB，由折叠的性质可得EF是BD的对称轴，可得OB=OD，当点B，点O，点C共线时，△OCD周长最小值=2+BC=5．【详解】解：如图，连接BD，OB，∵将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，∴EF是BD的对称轴，∴OB=OD，∵AD=1，AC=3，∴CD=2，∵△OCD周长=CD+OD+OC=2+BO+OC，∴当点B、O、C共线时，△OCD周长最小值=2+BC=5，故答案为：5．【点睛】本题考查了翻折变换，考查了折叠的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．4．（2022·福建·莆田二中八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为_____．【答案】15°##15度【解析】【分析】作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，先证明△BCD是等边三角形，从而得到AC=CD，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°，进而求得∠CDP＝15°，根据轴对称性可得∠CBP的度数．【详解】如图，作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，∵点B与点D是关于MN的对称点，∠BCN＝30°，∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°，∵点B与点D是关于MN的对称点，，且△BCD是等边三角形，∴由等边三角形的轴对称性可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案为：15°．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题等知识，明确AP+BP的最小值为AD长是解题的关键．5．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，等边中，，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段点B逆时针旋转60°得到，连接．在点M运动过程中，线段长度的最小值是___________．【答案】3【解析】【分析】取BC的中点G，连接MG，从而得出BG=CG=6，根据旋转的性质可得BN=BM，∠MBN=60°，然后根据等边三角形的性质可得AB=BC，BH=，∠ABC=60°，∠BCH=30°，然后利用SAS证出△NBH≌△MBG，从而得出HN=GM，故HN的最小值即为GM的最小值，根据垂线段最短，即可当GM⊥CH时，GM最小，求出此时的GM即可．【详解】解:如图，取BC的中点G，连接MG∴BG=CG==6由旋转的性质可得BN=BM，∠MBN=60°∵等边中，CH为AB边上的高∴AB=BC=12，BH=，∠ABC=60°，∠BCH=∴BH=BG，∠MBN=∠ABC∴∠MBN－∠MBA=∠ABC－∠MBA∴∠NBH=∠MBG在△NBH和△MBG中∴△NBH≌△MBG(SAS)∴HN=GM∴长度的最小值即为GM长度的最小值根据垂线段最短，当GM⊥CH时，GM最小此时在Rt△CGM中，∠GCM=30°∴GM=即长度的最小值为3．故答案为：3．【点睛】此题考查的是旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、求线段的最小值和直角三角形的性质，掌握旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、垂线段最短和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键．6．（2022·江苏盐城·八年级期末）已知：∠AOB＝120°，OC平分∠AOB．(1)把三角尺的60°角的顶点落在射线OC上的任意一点P处，绕点P转动三角尺，某一时刻，恰好使得OE＝OF（图1），此时PE与PF相等吗？为什么？(2)把三角尺继续绕点P转动，两边分别交OA、OB于点E、F（图2），求证：△PEF为等边三角形．【答案】(1)相等，理由见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）直接利用边角边即可证明；（2）在OB上取OD=OP，连接PD，进而可得是等边三角形，进而可证，则可得，即可得证．(1)解：，理由如下：∵平分，∴，∵，，∴，∴；(2)证明：在OB上取OD=OP，连接PD，∵OC平分，，是等边三角形，，，，，即：，，，，，是等边三角形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．7．（2022·河南南阳·八年级期末）解决问题(1)感知：如图1，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝x，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，连接CD．则线段BC与DE的数量关系是_____，△BCD的面积为______（用含x的式子表示）；(2)应用：如图2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝x，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，用含x的式子表示△BCD的面积，并说明理由．(3)拓展：如图3所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，将边AB绕点B顺时针旋转，当AB⊥BD，连接CD，若△BCD的面积为9，则CD的长为_______.【答案】(1)BC=DE，x2；(2)S△BCD=x2，理由见解析；(3)【解析】【分析】（1）可证明：BDE≌△ABC，进而得出结果；（2）可证明△ABC≌△BDE，进而求得结果；（3）作AF⊥BC于F，作DE⊥CB于E，△ABF≌△BDE，进而求得DE=BF=3，BC=6，BE=AF=4，进一步求得结果．(1)解：由题意得：△BDE≌△ABC，∴DE=BC=x，∴S△BCD=BC•DE=x2，故答案是：BC=DE，x2；(2)解：如图1，S△BCD=x2，理由如下：作DE⊥CB于E，∴∠E=∠ACE=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°，∴∠A=∠DBE，在Rt△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴DE=BC=x，∴S△BCD=BC•DE=x2；(3)解：如图2，作AF⊥BC于F，作DE⊥CB于E，由（2）知：△ABF≌△BDE，∴DE=BF，BE=AF，∵AC=AB，∴BF=BC，∴S△BCD=BC•DE，∴BF2=9，∴BF=3，∴AF==4，BC=2BF=6，在Rt△CDE中，CE=BC+BE=6+4=10，DE=3，∴CD=．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“一线三等角”模型．三、等腰三角形中的存在性问题1．（2022·河南南阳·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．【详解】解：如图：可以画出7个等腰三角形；故选C【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．2．（2020·河南郑州·八年级期末）如图，在中，，在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D【解析】【分析】分别以A为顶点、B为顶点、P为顶点讨论即可．【详解】解：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA=AP；第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB=PB；第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB=PB；第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PA；第5个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PB；第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA=∠PAB；∴符合条件的点P有6个点．故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．3．（2021·河南郑州·八年级期末）如图，等边三角形ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，E是BC延长线上一点，且CE＝BC．请从图中找出除△ABC外所有的等腰三角形，并说明理由．【答案】见解析【解析】【分析】根据等边三角形的性质，求出∠ACB=60°，CD=AD=AC=BC，∠DBC=30°，求出CE=CD，求出∠E=∠CDE=30°，推出BD=DE即可．【详解】△BDE和△CDE是等腰三角形，理由是：∵等边三角形ABC，DB⊥AC，∴∠ACB＝60°，CD＝AD＝AC＝BC，∠DBC＝30°，∵CE＝BC，∴CE＝CD，即△CDE是等腰三角形，∴∠CDE＝∠E，∵∠CDE+∠E＝∠ACB，∴∠CDE＝∠E＝∠ACB＝30°，∴∠DBC＝∠E，∴BD＝DE，即△BDE是等腰三角形．【点睛】本题主要考查对等腰三角形的判定，三角形外角性质，等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解答本题的基础．4．（2022·云南德宏·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=18cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．(1)用含t的式子表示线段AP、AQ的长．(2)当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形?(3)当t为何值时，PQ∥BC?【答案】(1)AP=18-2t，AQ=t；(2)当t=6s时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形；(3)当t=s时，PQ∥BC．【解析】【分析】（1）由题意，可知∠B=30°，AC=9cm．BP=2t，AP=AB-BP，AQ=t．（2）若△APQ是以PQ为底的等腰三角形，则有AP=AQ，即18-2t=t，求出t即可．（3）先根据直角三角形的性质求出∠B的度数，再由平行线的性质得出∠QPA的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．(1)解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°．又∵AB=18cm，∴BP=2t，AP=AB-BP=18-2t，AQ=t；(2)解：∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形，∴AP=AQ，即18-2t=t，解得t=6，∴当t=6s时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形；(3)解：当PQ⊥AC时，PQ∥BC．∵∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，∵PQ∥BC，∴∠QPA=30°，∴AQ=AP，∴t=（18-2t），解得t=，∴当t=s时，PQ∥BC．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定及平行线的判定与性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．5．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与重合），连接，作，与交于．(1)当时，_______°，_________°；当点从向运动时，逐渐变________（填“大”或“小”）；(2)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由．【答案】(1)25，115，小(2)当的度数为110°或80°时，的形状是等腰三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，可得，从而得到，即可求解；（2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解．(1)解：∵，∴，∵，∴，∴，当点从向运动时，逐渐变小，故答案为：25，115，小；(2)解：当的度数为110°或80°时，的形状是等腰三角形，理由如下：当时，则，∵，∴，∵，∠ADB=∠DAC+∠C，∴；当时，，∵，∠ADB=∠DAC+∠C，∴；当时，∠AED=∠ADE=40°（不合题意）；综上所述，当的度数为110°或80°时，是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．6．（2020·河北·八年级期末）在中，，，点是线段上一动点（不与，重合）.（1）如图1，当点为的中点，过点作交的延长线于点，求证：；（2）连接，作，交于点.若时，如图2．①______；②求证：为等腰三角形；（3）连接CD，∠CDE=30°，在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若不可以，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①120°；②证明见解析；（3）可以是等腰三角形，此时的度数为或．【解析】【分析】（1）先证明△ACD与△BFD全等，即可得出结论；（2）①先根据等边对等角及三角形的内角和求出∠B的度数，再由平行线的性质可得出∠ADE的度数，最后根据平角的定义可求出∠CDB的度数；②根据等腰三角形的性质以及平行线的性质可得出∠A=∠EDA，从而可得出结论；（3）先假设△ECD可以是等腰三角形，再分以下三种情况：I.当时，；II.当时，；III.当时，，然后再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和以及三角形外角的性质求解即可．【详解】（1）证明：，是的中线，．，．，，；（2）①解：∵AC=BC，∠ACB=120°，∴∠A=∠B=（180°-120°）÷2=30°，又DE∥BC，∴∠ADE=∠B=30°，∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=120°，故答案为：；②证明：，．，．，为等腰三角形．（3）解：可以是等腰三角形，理由如下：I.当时，，如图3，．，．II.当时，，如图4，，．．III.当时，．∴，，此时，点与点重合，不合题意．综上所述，可以是等腰三角形，此时的度数为或．【点睛】本题主要考查三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，掌握基本性质与判定定理是解题的关键．7．（2022·湖南岳阳·八年级期末）如图，在中，，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且，(1)求证：是等腰三角形；(2)当时，求的度数；(3)可能是等腰直角三角形吗？为什么？【答案】(1)见解析(2)65°(3)不可能是等腰直角三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）根据AD+EC=AB，可知EC=DB，再利用SAS证明△BED≌△CFE，得DE=EF，即可证明结论；（2）由（1）知△BED≌△CFE，得∠BDE=∠FEC，则∠DEB+∠FEC=∠DEB+∠BDE=180°-∠B=115°，再根据平角的定义可得答案；（3）假设△DEF是等腰直角三角形，则∠DEF=90°，可得到∠B=90°，则假设不成立．(1)证明：证明：∵AD+EC=AB=AD+DB，∴EC=DB，又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BED与△CFE中，∵BD=CE，∠B=∠C，BE=CF∴△BED≌△CFE（SAS），∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；(2)∵∠A=50°，∴∠B=∠C=65°，由（1）知△BED≌△CFE，∴∠BDE=∠FEC，∴∠DEB+∠FEC=∠DEB+∠BDE=180°-∠B=115°，∴∠DEF=180°-（∠DEB+∠FEC）=65°；(3)不可能，理由如下：假设△DEF是等腰直角三角形，则∠DEF=90°，∴∠DEB+∠FEC=90°，∴∠DEB+∠BDE=90°，∴∠B=90°，∴∠C=90，∴∠A+∠B+∠C>180°，与三角形内角和定理相矛盾，∴△DEF不可能是等腰直角三角形．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明△BED≌△CFE是解题的关键．8．（2022·河南南阳·八年级期末）在△AMN中，∠MAN＞90°，AM的垂直平分线交MN于B，交AM于E，AN的垂直平分线交MN于C，交AN于F．(1)若AM＝AN，∠MAN＝120°，则△ABC的形状是；(2)去掉（1）中的“∠MAN＝120°”的条件，其他不变，判断△ABC的形状，并证明你的结论；(3)当∠M与∠N满足怎样的数量关系时，△ABC是等腰三角形？直接写出所有可能的情况．【答案】(1)等边三角形；(2)△ABC是等腰三角形，证明见解析(3)当∠M=∠N或2∠M+∠N=90°或∠M+2∠N=90°时，△ABC是等腰三角形．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠B=∠C=30°，根据线段垂直平分线的性质得到AM=BM，AN=NC，根据等边三角形的性质定理证明结论；（2）根据三角形的外角性质、等腰三角形的判定定理解答；（4）分三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．(1)解：△ABC是等边三角形，理由：∵AM=AN，∠MAN=120°，∴∠M=∠N=30°，∵BE是线段AM的垂直平分线，∴BM=BA，∴∠MAB=∠M=30°，∴∠CBA=∠M+∠MAB=60°，同理，CA=NC，∴∠NAC=∠N=30°，∴∠BCA=∠N+∠NAC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，故答案为：等边三角形；(2)解：△ABC是等腰三角形，理由：∵AM=AN，∴∠M=∠N，∵∠MAB=∠M，∠ABC=∠M+∠MAB，∠NAC=∠N，∠ACB=∠N+∠NAC，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；(3)解：当∠M=∠N时，AB=AC；当2∠M+∠N=90°时，即∠BAN=90°，∴CF∥BA，∴∠NCF=∠NBA，∠BAC=∠ACF，∵AN的垂直平分线交MN于C，交AN于F．∴∠NCF=∠ACF，∴∠NBA=∠BAC，∴CA=BC；同理，当∠M+2∠N=90°时，BA=BC；综上所述，当∠M=∠N或2∠M+∠N=90°或∠M+2∠N=90°时，△ABC是等腰三角形．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．1．（2020·贵州遵义·八年级期末）等腰三角形的两边长为2cm，5cm，则该等腰三角形的周长为(

)A．9cm B．12cm C．9cm或12cm D．6cm或12cm【答案】B【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当腰长是2cm时，因为2+2<5，不符合三角形的三边关系，应排除；当腰长是5cm时，因为5+5>2，符合三角形三边关系，此时周长是12cm；综上所述，该等腰三角形的周长为12cm．故选：B.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．2．（2022·四川德阳·八年级期末）如图，中，，是的角平分线，的垂直平分线分别交、、于点、、，则下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD＝CD，由线段垂直平分线的性质可得OA＝OC，OC＝OB，进而求解．【详解】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，故选项A不合题意；∵OE是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，∴OC＋OD＝OA＋OD＝AD，故选项B不合题意；∵AD⊥BC，BD＝CD，∴OC＝OB，又OA＝OC，∴OA＝OB，故选项C不合题意；无法证明OF＝OB，故选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．3．（2022·河南周口·八年级期末）如图，直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】分AO=AB，BO=BA，OB=OA三种情况讨论．【详解】∵直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，∴当OB=OA时，有两个B点是B1、B2，OB1=OA时，∠OB1A=∠OAB1=∠1=25°，OB2=OA时，∠OB2A=∠OAB2=（180°-∠1）=65°；当AO=AB时，有一个B点是B3，即AO=AB3，∠AB3O=∠1=50°；当BO=BA时，有一个B点是B4，即B4O=B4A,∠OAB4=∠1=50°．∴使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的个数是4个．故选C．【点睛】本题考查了因动点产生的等腰三角形问题，解决问题的关键是三角形的三边两两相等都有可能，有三种可能情况，分类讨论．4．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图所示，在中，，F是BC边上任意一一点，过F作于D，于E，若，则（

）．A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】【分析】过C作CG⊥AB，利用等腰三角形的性质和三角形的面积公式得出FD+FE=CG，进而解答即可．【详解】解：过C作CG⊥AB，连接AF，∵S△ABF+S△ACF=S△ABC∵AB=AC∴FD+FE=CG==4．故选B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，正确理解题意是解题的关键．5．（2021·重庆市黔江区教育科学研究所八年级期末）如图．，点，，，，在射线上，点，，，在射线上．，，，均为等边三角形，若，则的边长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据等边三角形的性质和，可求得，进而证得是等腰三角形，可求得的长，再证得是等腰三角形，可得，同理得规律，即可求得结果．【详解】解：∵，是等边三角形，∴，，∴，∴，则是等腰三角形，∴，∵，∴=1，，∵是等边三角形，∴，，∴，∴是等腰三角形，可得=2，同理得、，根据以上规律可得：，即的边长为，故选：B．【点睛】本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键．6．（2021·辽宁盘锦·八年级期末）等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为_____．【答案】50°或80°【解析】【分析】根据题意，分类讨论：①等腰三角形的顶角为50°，②等腰三角形的底角为50°，根据三角形内角和定理即可求出顶角，即可得．【详解】解：①等腰三角形的顶角为50°，②等腰三角形的底角为50°，则等腰三角形的顶角为：，故答案为：50°或80°．【点睛】本题考查了等腰三角形，解题的关键是分类讨论．7．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）在△ABC中，∠B＝25°，∠A＝100°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形时，其顶角的度数是多少度呢？请画出图形，在相应图形下方直接写出答案．【答案】图见解析，100°或70°或55°【解析】【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解．【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°，②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°，∴∠ACB=180°-25°-100°=55°，如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°，如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°，综上所述，顶角为100°或55°或70°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观．8．（2022·辽宁朝阳·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B．(1)求点A和点B的坐标；(2)若点P在x轴上，且，求点P的坐标．(3)在y轴是否存在点M，使三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)A;B(2)或(3)存在,M坐标为和【解析】【分析】（1）分别代入y＝0，x＝0，求出与之对应的x，y值，进而可得出点A，B的坐标；（2）设点P的坐标为，由三角形的面积公式结合，可得出，进而可得出点P的坐标；（3）由OA，OB的长可求出AB的长，分AB＝AM，BA＝BM，MA＝MB三种情况，利用等腰三角形的性质可求出点M的坐标．(1)∵当时，，解得：，∴点A的坐标为；∵当时，，∴点B的坐标为．(2)设点P的坐标为，∵，∴∴，∴点P的坐标为或．(3)∵OB＝4，OA＝2，∴AB＝．分三种情况考虑（如图所示）：①当AB＝AM时，OM＝OB＝4，∴点M1的坐标为（0，−4）；②当BA＝BM时，BM＝2，∴点M2的坐标为（0，4＋2），点M3的坐标为（0，4−2）；③当MA＝MB时，设OM＝a，则BM＝AM＝4−a，∴AM2＝OM2＋OA2，即（4−a）2＝a2＋22，∴a＝，∴点M4的坐标为（0，）．综上所述：在y轴上存在点M，使三角形MAB是等腰三角形，点M坐标为和（0，）．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点A，B的坐标；（2）利用两三角形面积间的关系，找出OP的长；（3）分AB＝AM，BA＝BM，MA＝MB三种情况，利用等腰三角形的性质求出点M的坐标．9．（2022·福建·福州立志中学八年级期末）如图，在中，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．(1)出发2秒后，求的周长；(2)问t为何值时，为以C为顶点的等腰三角形；(3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为秒，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把的周长分成相等的两部分．【答案】(1)7＋（cm）(2)t为3s，5.4s时，为以C为顶点的等腰三角形(3)t为2或6秒【解析】【分析】（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．（2）因为AB与CB已知，由勾股定理得AC＝4cm，要让△BCP为等腰三角形，有两种情况，点P在AC边上或者点P在AB边上，只要保证PC=BC就可以．（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t−3，t＋2t−3＝6；当P点在AB上，Q在AC上，则AC＝t−4，AQ＝2t−8，t−4＋2t−8＝6．(1)解：如图1，由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，∴出发2秒后，则CP＝2，∵∠C＝90°，∴PB＝（cm），∴△ABP的周长为：AP＋PB＋AB＝2＋5＋＝7＋（cm）．(2)①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP＝3cm，此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；②若P在AB边上时，CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，则CD=2.4cm，在Rt△PCD中，PD＝＝=1.8（cm），所以BP＝2PD＝3.6cm，所以P运动的路程为9−3.6＝5.4cm，则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；综上所述，当t为3s，5.4s时，△BCP为等腰三角形(3)如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t−3，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t＋2t−3＝3，∴t＝2；如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t−4，AQ＝2t−8，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t−4＋2t−8＝6，∴t＝6，∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．【点睛】此题考查了，勾股定理，等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，综合运用以上知识并能分类讨论是解题的关键．10．（2020·江西南昌·八年级期末）如图，在中，，，将一个足够大的直角三角尺PMN（，）按如图方式放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，且与CB边的夹角，斜边PN交AC边于点D．（1）当时，判断的形状，并加以说明；（2）当时，求此时CP的长；（3）当时，求证：；（4）当点P在滑动时，是否存在是等腰三角形的情形？若存在，请求出夹角的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）为直角三角形，证明见解析；（2）CP=2；（3）见解析；（4）存在，当=45°或90°或0°时，是等腰三角形【解析】【分