期末考试点对点压轴题训练(四)(B卷26题)(原卷版+解析)

期末考试点对点压轴题训练（四）（B卷26题）1．如图所示，点D是线段BC的中点，AD⊥BC，点N是线段BC延长线上一点，在∠ACN内部有一动点E，且∠BEC＝2∠BAD，点F在线段CE的延长线上，AC与BE交于点P，过点A作AM⊥BE于点M．（1）求证：∠ACE＝∠ABE；（2）求证：EA平分∠BEF；（3）当点E在∠ACN内部运动时，的值是否会发生变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由．2．如图，和都是等边三角形，连接，，与交于点，连接，与交于点．(1)求证：；(2)求的大小；(3)若，，求的长度．3．探究等边三角形“手拉手”问题．（1）如图1，已如△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；（2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上；（3）如图3，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由．4．如图1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°．点D是AC中点，连接BD，过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E，过点C作CF⊥BD于点F．（1）求证：∠EAD＝∠CBD；（2）求证：BF＝2AE；（3）如图2，将△BCF沿BC翻折得到△BCG，连接AG，请猜想并证明线段AG和AB的数量关系．5．如图1，已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，D、E分别在BC、AC边上，点F是AD的中点，连接CF．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）判断BE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），即∠BCD＝∠ACE＝α，点F是AD的中点，其他条件不变，判断BE与CF的关系是否不变？若不变，请说明理由；若要变，请求出相应的正确结论．6．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，分别以AB，AC为边向三角形外作等边△ABD和等边△ACE，解答下列各题，并要求标注推导理由：（1）如图1，求证：AD∥BC；（2）如图2，连接CD、BE，求证：DC＝BE；（3）如图3，连接DE，交AB于点F，求证：DF＝EF．7．如图，已知是等边三角形．(1)如图1，D是上一点，以为边作等边，连接，求证：；(2)在（1）的条件下，于F，若，求的长；(3)如图2，为穿越的一条射线，点P是点C关于的对称点，连接并延长交于Q，连接．已知，观察、猜测并证明，，之间的关系．8．（1）问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将ADF绕点A顺时针旋转90°与ABG重合（D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线上），∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由．（2）知识迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，连接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．（3）实践创新：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，点E在AB上，连接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的长．（用含a，b，c的式子表示）9．以为斜边在它的同侧作和，其中，，、交于点．（1）如图1，平分，求证：；（2）如图2，过点作，分别交、于点、点，连接，过作，交于点，连接，交于点，求证：；（3）如图3，点为边的中点，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，当，时，求的最小值．10．如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接．(1)如图1，连接，当点在外部时，试说明；(2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由；(3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长．11．在ABC中，AB＝AC，AE是ABC的中线，G、H分别为射线BA、AC上一点，且满足∠GEH+∠BAC＝180°．(1)如图1，若∠CAE＝45°，且G、H分别在线段BA、AC上，求证：AEH≌BEG；(2)在（1）的条件下，AG＝3，求线段CH的长度；(3)如图2，延长AE至点D，使DE＝AE，过点E作EF⊥BD于点F，当点G在线段BA的延长线上，点H在线段AC的延长线上时，探求线段BF、CH、BG三者之间的数量关系，并说明理由．12．在△ABD中∠A＝45°，BC⊥AD于点C，E为AB上一点，连接DE交BC于点F，且∠ADE＝∠CBD．（1）如图1，求证：DE＝BD．（2）如图2，作AM⊥BD于点M，交BC于点H，判断AH与BD的数量关系，并证明．（3）在（2）的条件下，当CH：BH＝4：7，△ADE的面积为时，①求线段AD的值；②设AH＝a，用含a的代数式表示线段BM的值．13．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E在边AB上移动（不与端点重合）．连接CE，以CE为一边在其右侧作△CEF，其中∠CEF＝90°，CE＝EF，点G为FC的中点，过点F作FH⊥AD，垂足为点H，连接GD，GH，FA．（1）求证：∠EAF＝135°；（2）请判断线段GD和GH之间有何关系？写出你的结论并证明；（3）在点E移动过程中，△EAF的面积有最大值吗？如果有，求出△EAF面积的最大值及此时BE的长；如果没有，说明理由．期末考试点对点压轴题训练（四）（B卷26题）1．如图所示，点D是线段BC的中点，AD⊥BC，点N是线段BC延长线上一点，在∠ACN内部有一动点E，且∠BEC＝2∠BAD，点F在线段CE的延长线上，AC与BE交于点P，过点A作AM⊥BE于点M．（1）求证：∠ACE＝∠ABE；（2）求证：EA平分∠BEF；（3）当点E在∠ACN内部运动时，的值是否会发生变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不变化，2．【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，进而判断出∠BEC＝∠BAC，即可得出结论；（2）过点A作AQ⊥CF于Q，判断出∠AMB＝∠AQC＝90°，进而判断出△AMB≌△AQC（AAS），得出AM＝AQ，再判断出Rt△AME≌Rt△AQE（HL），即可得出结论；（3）由（2）知，BM＝CQ，ME＝EQ，判断出CE＝CQ﹣EQ＝BM﹣ME，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵点D是BC的中点，AD⊥BC，∴BD＝CD，AB＝AC，∵AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∵∠BEC＝2∠BAD，∴∠BEC＝∠BAC，∵∠APB＝∠CPE，∴180°﹣∠BAC﹣∠APB＝180°﹣∠BEC﹣∠CPE，∴∠ACE＝∠ABE；（2）如图，过点A作AQ⊥CF于Q，∴∠AQC＝90°，∵AM⊥BE，∴∠AMB＝90°，∴∠AMB＝∠AQC＝90°，由（1）知，AB＝AC，∠ACE＝∠ABE，∴△AMB≌△AQC（AAS），∴AM＝AQ，在Rt△AME和Rt△AQE中，，∴Rt△AME≌Rt△AQE（HL），∴∠AEM＝∠AEQ，∴EA平分∠BEF；（3）当点E在∠ACN内部运动时，的值是不发生变化，其值为2，理由：由（2）知，BM＝CQ，ME＝EQ，∴CE＝CQ﹣EQ＝BM﹣ME，∵BE＝BM+ME，当点E在∠ACN内部运动时，的值是不发生变化，其值为2．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题关键．2．如图，和都是等边三角形，连接，，与交于点，连接，与交于点．(1)求证：；(2)求的大小；(3)若，，求的长度．【答案】(1)见解析；(2)；(3)【分析】（1）根据推出≌即可解答；（2）如图，过点作于，作于，先根据（1）中≌，可得，由三角形的面积公式可得高，由角平分线的逆定理可得平分，根据三角形内角和定理可得，所以，从而得结论；（3）如图，作辅助线构建等边三角形和全等三角形，证明≌，得，根据角平分线的性质得，由同高三角形面积的关系可得，从而可得结论．【详解】（1）证明：如图，和为等边三角形，，，，，在和中，，≌，；（2）解：如图，过点作于，作于，≌，，，，，，，，，，，，；（3）解：如图，在上截取，连接，过点作于，作于，则是等边三角形，，，，，≌，，平分，，，，，的面积的面积，，，，，．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质和判定定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．3．探究等边三角形“手拉手”问题．（1）如图1，已如△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；（2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上；（3）如图3，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CE∥AB，理由见解析；（2）见解析；（3）BE＝AE+EC．理由见解析．【分析】（1）结论：CE∥AB．证明△BAD≌△CAE（SAS）可得结论．（2）利用全等三角形的性质证明∠ADB＝∠AEC＝120°，证明∠ADB+∠ADE＝180°即可解决问题．（3）结论：BE＝AE+EC．在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，设AC交BE于点O．利用全等三角形的性质证明△AEH是等边三角形即可．【详解】（1）解：结论：CE∥AB．理由：如图1中，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE＝60°，∴AB∥CE．（2）证明：如图2中，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，∵△ADE是等边三角形，∴∠AED＝∠ADE＝60°，∵∠BEC＝60°，∴∠AEC＝∠AED+∠BEC＝120°，∴∠ADB＝∠AEC＝120°，∴∠ADB+∠ADE＝120°+60°＝180°，∴B，D，E共线．（3）解：结论：BE＝AE+EC．理由：在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，设AC交BE于点O．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠BAC＝60°，∵∠BEC＝60°，∴∠BAO＝∠OEC＝60°，∵∠AOB＝∠EOC，∴∠ABH＝∠ACE，∵BA＝CA，BH＝CE，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，∴∠HAE＝∠BAC＝60°，∴△AEH是等边三角形，∴AE＝EH，∴BE＝BH+EH＝EC+AE，即BE＝AE+EC．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定及等边三角形，熟练掌握判定方法及性质是解题的关键，注意平时常用的辅助线作法．4．如图1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°．点D是AC中点，连接BD，过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E，过点C作CF⊥BD于点F．（1）求证：∠EAD＝∠CBD；（2）求证：BF＝2AE；（3）如图2，将△BCF沿BC翻折得到△BCG，连接AG，请猜想并证明线段AG和AB的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）：AG＝AB，理由见解析【分析】（1）根据角度的等量代换即可求解．（2）证明△AEC≌△BPC后，运用角度等量代换，求得CF＝PF；证明△AED≌△CFD即可求解．（3）证明△AEB≌△BHA，根据线段的等量代换以及运用等腰三角形三线合一的证明即可求解．【详解】（1）证明：∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∵∠ADE＝∠BDC，∴∠EAD+∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CBD+∠BDC＝90°，∴∠EAD＝∠CBD；（2）证明：如图1，连接CE，在BF上截取BP＝AE，连接CP，∵∠EAD＝∠CBD，AC＝BC，∴△AEC≌△BPC（SAS），∴CE＝CP，∠ACE＝∠BCP，∴∠ACE+∠DCP＝∠BCP+∠DCP，∴∠ECP＝∠DCB＝90°，∵CE＝CP，CF⊥BD，∴∠CEP＝∠CPF＝∠PCF＝45°，∴CF＝PF，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD，∵∠AED＝∠CFD＝90°，∠ADE＝∠CDF，∴△AED≌△CFD（AAS），∴AE＝CF，∴AE＝PF，∴BF＝BP+PF＝2AE；（3）结论：AG＝AB，证明如下：如图2，取BG的中点H，连接CE，CH，AH，∴BH＝＝＝AE，∵∠HBC＝∠PBC＝∠EAC，∴∠EAC+∠CAB＝∠HBC+∠CBA，∴∠EAB＝∠HBA，∵AB＝BA，∴△AEB≌△BHA（SAS），∴∠BHA＝∠AEB＝90°，∴AH⊥BG，∵BH＝HG，∴AG＝AB．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及运用等边三角形三线合一的证明，运用全等可以进行角度与线段的等量代换进行题目求解，全等三角形的判定SSS、SAS、ASA、AAS、HL要熟记．5．如图1，已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，D、E分别在BC、AC边上，点F是AD的中点，连接CF．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）判断BE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），即∠BCD＝∠ACE＝α，点F是AD的中点，其他条件不变，判断BE与CF的关系是否不变？若不变，请说明理由；若要变，请求出相应的正确结论．【答案】（1）证明见解析；（2）BE=2CF，BE⊥CF，理由见解析；（3）把△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角后，（2）中的关系依然成立，理由见解析．【分析】（1）直接利用SAS证明三角形全等即可；（2）由△ADC≌△BEC可证得BE=AD，再利用直角三角形的性质可证明BE=CF，由直角三角形的性质可得CF=DF，可证明∠FCD=∠ADC，可证得∠EBC+∠FCD=90即BE⊥CF；（3）如图2：延长CF到G使FG=CF，连结AG、DG，可证明四边形ACDG为平行四边形，进一步可证明△GAC≌△ECB可得GC=BE，可得BE=CF，再结合∠ACB=90°，可证明BE⊥CF．【详解】（1）证明：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，=90°在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC（SAS）；（2）解：BE=2CF，BE⊥CF．理由如下：∵△ADC≌△BEC∴BE=AD，∠EBC=∠DAC，∵F为线段AD的中点，∴CF=AF=DF=AD∴BE=2CF，即∵AF=CF，∴∠DAC=∠FCA，∴∠BCF+∠ACF=90°∴∠BCF+∠EBC=90°，即BE⊥CF；（3）把△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角后，（2）中的关系依然成立，理由如下：如图2，延长CF到G使FG=CF，连结AG、DG，如图2，∵AF=DF，FG=FC，∴四边形ACDG为平行四边形，∴AG=CD，AG//CD，∴∠GAC+∠ACD=180°，即∠GAC=180°﹣∠ACD，∴CD=CE=AG，∵△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），∴∠BCD=α，∴∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°+α=90°+90°﹣∠ACD=180°﹣∠ACD，∴∠GAC=∠ECB，在△AGC和△CEB中，∴△AGC≌△CEB，∴CG=BE，∠2=∠1，∴BE=2CF，而∠2+∠BCF=90°，∴∠BCF+∠1=90°，∴CF⊥BE．【点睛】本题属于旋转综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质,、等腰直角三角形和平行四边形的性质，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．6．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，分别以AB，AC为边向三角形外作等边△ABD和等边△ACE，解答下列各题，并要求标注推导理由：（1）如图1，求证：AD∥BC；（2）如图2，连接CD、BE，求证：DC＝BE；（3）如图3，连接DE，交AB于点F，求证：DF＝EF．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）由等边三角形的性质和平行线的判定可得；（2）利用等边三角形的性质判断△DAC≌△BAE即可得；（3）过点D作DG∥AE交AB于点G，连接DG，利用等边三角形的性质证明△DBG≌△ABC，得到DG＝AC，得到四边形AEGD为平行四边形，进而可证．【详解】证明：（1）∵△ADB为等边三角形，∴∠DAB＝60°＝∠ABC，∴AD∥BC，（2）∵△ADB和△ACE为等边三角形，∴AC＝AE，AD＝AB，∠DAB＝∠CAE＝60°，∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC＝BE，（3）过点D作DG∥AE交AB于点G，连接EG，则∠GAE＝∠DGA，∵△ADB和△ACE为等边三角形，∴AB＝BD，AC＝AE，∠DBA＝∠ABC＝∠CAE＝60°，∵∠GAE＝∠BAC+∠CAE＝60°+∠BAC，∠DGA＝∠DBA+∠BDG＝60°+∠BDG，∴∠BAC＝∠BDG，在△DBG和△ABC中，，∴△DBG≌△ABC（ASA）∴DG＝AC，∴四边形AEGD为平行四边形，∴DF＝FE．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，解题时过点D作DG∥AE，根据等边三角形的性质得到△DBG≌△ABC是解题关键．7．如图，已知是等边三角形．(1)如图1，D是上一点，以为边作等边，连接，求证：；(2)在（1）的条件下，于F，若，求的长；(3)如图2，为穿越的一条射线，点P是点C关于的对称点，连接并延长交于Q，连接．已知，观察、猜测并证明，，之间的关系．【答案】(1)见解析；(2)9；(3)BQ=AQ+CQ，【分析】（1）根据等边三角形的性质得到BC=BA，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，求得∠CBD=∠EBA，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到DF=EF，根据线段垂直平分线的性质得到AE=AD，根据直角三角形的性质即可得到结论；（3）在BQ上截取QH=AQ，连接AH，根据轴对称的性质得到PQ=CQ，QM⊥PC，PM=CM，推出△AQH是等边三角形，求得∠HAQ=∠BAC=60°，AH=AQ，根据全等三角形的性质即可得到结论．（1）证明：∵△ABC，△BDE都是等边三角形，∴BC=BA，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，∴∠CBD=∠EBA，在△BCD和△BAE中，，∴△BCD≌△BAE(SAS)；（2）∵△BDE是等边三角形，DE⊥AB，∴DF=EF，∴AB垂直平分DE，∴AE=AD，∵△BCD≌△BAE，∴AE=CD，∴AD=CD，∵△ABC是等边三角形，∴BD⊥AC，∴∠ABD=30°，∵∠BAC=60°，∴∠ADF=30°，∴AD=2AF，∴AB=2AD=4AF=12，∴BF=AB-AF=9；（3）BQ=AQ+CQ，证明：在BQ上截取QH=AQ，连接AH，∵点P是点C关于BN的对称点，∴PQ=CQ，QM⊥PC，PM=CM，∵∠P=30°，∴∠QCP=∠P=30°，∴∠PQM=∠CQM=60°，∴△AQH是等边三角形，∴∠HAQ=∠BAC=60°，AH=AQ，∴∠BAH=∠QAC，∵AB=AC，∴△ABH≌△ACQ(SAS)，∴BH=CQ，∴BQ=BH+HQ=CQ+AQ．【点睛】本题考查了几何变换综合题，全等三角形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．8．（1）问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将ADF绕点A顺时针旋转90°与ABG重合（D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线上），∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由．（2）知识迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，连接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．（3）实践创新：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，点E在AB上，连接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的长．（用含a，b，c的式子表示）【答案】（1）EF＝GE，理由见详解；（2）BE−DF＝EF，理由见详解；（3）BE＝，理由见详解【分析】（1）根据SAS直接可证△GAE≌△FAE即得GE＝EF；（2）在BE上取BG＝DF，连接AG，由∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，得∠B＝∠ADF，从而SAS证△ABG≌△ADF，再通过SAS证△GAE≌△FAE，得GE＝EF，从而解决问题；（3）作CF⊥AD，交AD的延长线于F，取FG＝BE，连接CG，由（2）同理可两次全等证明出DE＝GD即可．【详解】解：（1）EF＝GE，理由如下：∵△ADF绕点A顺时针旋转90°与△ABG重合，∴AG＝AF，∵AE平分∠GAF，∴∠GAE＝∠FAE，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝EF；（2）BE−DF＝EF，理由如下：如图2，在BE上取BG＝DF，连接AG，∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠FAD，AG＝AF，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠GAF＝2∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝EF，∴BE−DF＝EF；（3）如图，作CF⊥AD，交AD的延长线于F，取FG＝BE，连接CG，∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CB⊥AB，∴CF＝CB，∠EBC＝∠GFC，∵BE＝GF，∴△CBE≌△CFG（SAS），∴∠BCE＝∠FCG，CG＝CE，∵∠DAB＝60°，∴∠FCB＝120°，∵∠DCE＝60°，∴∠DCF＋∠BCE＝60°，∴∠DCG＝60°，又∵CG＝CE，∴△ECD≌△GCD（SAS），∴GD＝DE，∵Rt△ACF≌Rt△ACB（HL），∴AF＝AB，∴b＋a−BE＝c＋BE，∴BE＝．【点睛】本题主要考查了全等的判定与性质，结合问题引入，构造出全等三角形是解题的关键．9．以为斜边在它的同侧作和，其中，，、交于点．（1）如图1，平分，求证：；（2）如图2，过点作，分别交、于点、点，连接，过作，交于点，连接，交于点，求证：；（3）如图3，点为边的中点，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，当，时，求的最小值．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）8【分析】（1）过点P作PT⊥BC于点T，根据等腰直角三角形和角平分线的性质可得AP=PT=TC，证明Rt△ABP≌Rt△TBP，进而问题可求证；（2）过点C作CR⊥AF交AF延长线于点R，首先证明△ABE≌△CAR，由全等三角形的性质得AE=CR，再证△ABG≌△ACD，可得AG=AD，根据等腰直角三角形的性质可得AE=GE=DE，等量代换得CR=GE，然后证明△EHG≌△RHC，即可得出结论；（3）过点A作AO⊥BC于点O，连接OM、BK，先证明△MBQ≌△MOK，可得∠MBQ=∠MOK=45°，可得点K在OA所在的直线上移动，则有PK+CK=PK+BK≥BP，可得当且仅当B、K、P三点共线时PK+CK取得最小值，然后根据含30°直角三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：过点P作PT⊥BC于点T，如图所示：∵，平分，∴，∵BP=BP，∴Rt△ABP≌Rt△TBP（HL），∴AB=BT，∵，，∴，∵，∴，∴AP=PT=TC，∵，∴；（2）证明：过点C作CR⊥AF交AF延长线于点R，如图所示：∵，∴，∴，∴，∵，∴△ABE≌△CAR（AAS），∴，∵，∴，∴，即，∵，，∴，∵，∴△ABG≌△ACD（ASA），∴AG=AD，∴△AGD为等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵，∴△EHG≌△RHC（AAS），∴；（3）解：过点A作AO⊥BC于点O，连接OM、BK，如图所示：∵，，∴，∵点M是AB的中点，∴，，∴，∵线段绕点逆时针旋转得到线段，∴，∴，∴，即，∴△MBQ≌△MOK（SAS），∴，∴点K在OA所在的直线上移动，∵OA垂直平分BC，∴，∴PK+CK=PK+BK≥BP，∴当且仅当B、K、P三点共线时PK+CK取得最小值，∵，∴，在Rt△BAP中，∠BAP=90°，AP=4，∴，∴的最小值为8．【点睛】本题主要考查几何变换综合题、旋转的性质、全等三角形的性质与判定、角平分线的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题．10．如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接．(1)如图1，连接，当点在外部时，试说明；(2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由；(3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长．【答案】(1)见解析(2)△AEF是等腰三角形；理由见解析(3)【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可；（2）△AEF是等腰三角形．证明∠AEF＝∠AFE＝67.5°即可；（3）延长AF到T，使得FT＝CF，连接AT，DT．证明△ADT是等腰三角形，推出点E是三角形的重心，可得ET＝2EF＝4，再证明EA＝ET，可得结论．【解析】（1）证明：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ACB＝∠CDE＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∠ADC＋∠ADE＝90°，∴∠BCD＝∠ADE，∵CA＝CB，AC＝AD，∴DA＝CB，∵在△ADE和△BCD中，∴△ADE≌△BCD（SAS）．（2）解：结论：△AEF是等腰三角形．理由如下：∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝67.5°，∵△ADE≌△BCD，∴∠DAE＝∠B＝45°，∴∠EAF＝∠DCF，∵∠AFE＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CDF＝67.5°，∴∠AFE＝180°−45°−67.5°＝67.5°，∴∠AFE＝∠AEF＝67.5°，∴△AEF是等腰三角形．（3）解：延长CE到T，使得FT＝CF，连接AT，DT，延长DE交AT于点M，如图所示：∵AF＝DF，CF＝FT，，∴（SAS）∴AC＝DT，∠CAD＝∠ADT，∵AC＝AD，∴DA＝DT，∵∠ACD＋∠DCB＝90°，∠CAD＋2∠ACD＝180°，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∴∠DCB＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ADT＝2∠DCB，∵∠DCB＝∠EDT，∴∠ADE＝∠TDE，∵DA＝DT，∴DE⊥AT，∴DE平分AT，∵AF＝FD，∴点E是△ADT是重心，∴ET＝2EF＝4，∵DE垂直平分线段AT，∴EA＝ET＝4，∵△ADE≌△BCD，∴BD＝AE＝4．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的重心的性质，属于中考压轴题．11．在ABC中，AB＝AC，AE是ABC的中线，G、H分别为射线BA、AC上一点，且满足∠GEH+∠BAC＝180°．(1)如图1，若∠CAE＝45°，且G、H分别在线段BA、AC上，求证：AEH≌BEG；(2)在（1）的条件下，AG＝3，求线段CH的长度；(3)如图2，延长AE至点D，使DE＝AE，过点E作EF⊥BD于点F，当点G在线段BA的延长线上，点H在线段AC的延长线上时，探求线段BF、CH、BG三者之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)3(3)，理由见解析【分析】（1）利用等腰三角形的性质和已知条件，先证∠BAC＝90°，，，再结合∠GEH+∠BAC＝180°，证明∠GEH＝90°，进而证明∠AEH＝∠BEG，最后利用ASA即可证明AEH≌BEG；（2）利用（1）中结论，参照（1）中方法利用ASA即可证明CEH≌AEG，即可得出；（3）作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，连接EJ．先利用AAS证明JEG≌CEH，推出，再证明BFE≌BIE，推出BF＝BI，即可得出．【解析】（1）证明：如图所示：∵AB＝AC，AE是ABC的中线，∴∠C＝∠B，AE⊥BC，又∵∠CAE＝45°，∴∠C＝∠CAE＝45°，∴∠B＝∠C＝∠CAE＝∠BAE＝45°，∴∠BAC＝90°，，，∵∠GEH+∠BAC＝180°，∠BAC＝90°，∴∠GEH＝90°，∴∠AEH+∠AEG＝∠AEG+∠BEG＝90°，∴∠AEH＝∠BEG，在AEH和BEG中，，∴AEH≌BEG；（2）解：由（1）知∠C＝∠BAE＝45°，，∠GEH＝90°，AE⊥BC，∴∠AEC＝∠GEH＝90°，∴∠AEH+∠CEH＝∠AEH+∠AEG＝90°，∴∠CEH＝∠AEG，在CEH和AEG中，，∴CEH≌AEG，∴；（3）解：，理由如下：如图，作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，连接EJ．则EI是线段BJ的垂直平分线，∴，∵E是BC的中点，∴，∴．∵∠GEH+∠BAC＝180°，∠GAH+∠BAC＝180°，∴∠GEH＝∠GAH，又∵∠GOA＝∠HOE，∴∠JGE＝∠CHE，∵，，∴∠EJB＝∠ABC＝∠ACB，∴∠EJG＝∠ECH，在JEG和CEH中，，∴JEG≌CEH，∴，∵AE⊥BC，DE＝AE，∴BD＝AB，∴∠ABE＝∠DBE，∵EI⊥AB，EF⊥BD，∴∠BIE＝∠BFE＝90°，又∵BE＝BE，∴BFE≌BIE，∴BF＝BI，∴．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形内角和定理的应用等，解题的关键是添加辅助线、构造全等三角形．12．在△ABD中∠A＝45°，BC⊥AD于点C，E为AB上一点，连接DE交BC于点F，且∠ADE＝∠CBD．（1）如图1，求证：DE＝BD．（2）如图2，作AM⊥BD于点M，交BC于点H，判断AH与BD的数量关系，并证明．（3）在（2）的条件下，当CH：BH＝4：7，△ADE的面积为时，①求线段AD的值；②设AH＝a，用含a的代数式表示线段BM的值．【答案】（1）见详解；（2）AH=BD，理由见详解；（3）①，②【分析】（1）由题意易得∠ABC=∠A=45°，然后根据三角形外角及角的和差关系可得∠DEB=∠DBE，进而问题可求证；（2）由（1）可得AC=BC，根据题意可得∠ACH=∠BCD=∠AMB=90°，然后根据等角的余角相等可得∠CAH=∠CBD，进而可得△ACH≌△BCD，则问题可求解；（3）①过点E作EG⊥AD于点G，由题意易得∠DGE=∠BCD=90°，则有△DGE≌△BCD，然后可得CH=CD=GE，设CH=CD=GE=4x，BH=7x，则有AC=BC=11x，进而根据三角形面积公式可建立方程求解；②由①可