专题03角平分线-2021-2022学年八年级数学下学期期末考试好题汇编(北师大版)(原卷版+解析)

专题03角平分线考向一：角平分线的性质考向一：角平分线的性质考向二：角平分线的判定考向三：作角平分线角平分线的性质1．（2020·贵州遵义·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于点D，若，△ABD的面积为60，则CD长(

)A．12 B．10 C．6 D．42．（2022·河南南阳·八年级期末）OC为∠AOB的平分线，M为OB上一点，P为OC上一点，如果OM=3，PM=2，OP=，那么点Р到射线OA的距离为（

）A．1 B． C．2 D．33．（2022·河南·永城市教育体育局教研室八年级期末）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA2，则PQ的长不可能是（

）A．4 B．3.5C．2 D．1.54．（2022·全国·八年级期末）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．（2022·云南红河·八年级期末）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．36．（2022·河南周口·八年级期末）如图，的三条角平分线交于点，边、、的长分别是40、30、20，则等于（

）A． B． C． D．7．（2022·湖北宜昌·八年级期末）如图，在中，，是的平分线，，，则的面积是__．8．（2022·上海·八年级期末）如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为___________.（用含的式子表示）9．（2021·海南省直辖县级单位·八年级期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C，已知PC＝5，则点P到OA的距离是________.10．（2022·广东江门·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，AB//CD，M为的中点，且平分．求证：平分．11．（2022·全国·八年级期末）在△ABC中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C．(1)如图①，求证：△ADE是等腰三角形；(2)如图②，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE相等的角（∠CDE除外）．角平分线的判定1．（2022·天津南开·八年级期末）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠CAB的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是（

）A．P是∠CAB与∠CBA两角平分线的交点B．P为∠CAB的角平分线与AB的垂直平分线的交点C．P为AC、AB两边上的高的交点D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点2．（2022·天津和平·八年级期末）如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（）A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC3．（2022·安徽铜陵·八年级期末）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AC边上一动点（不与A、C重合），过点A作AE垂直BD于点E，延长AE交BC的延长线于点F，连接CE，则为（

）A．30° B．36° C．45° D．60°4．（2022·江苏宿迁·八年级期末）如图，在中，，把折叠，使、两点重合，得到折痕，若，则______．5．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在和中，，，直线交于点M，连接．以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的是___________（填序号）．6．（2022·广东江门·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，AB//CD，M为的中点，且平分．求证：平分．7．（2022·安徽芜湖·八年级期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求证：FA平分∠BFE．三、作角平分线1．（2022·河南周口·八年级期末）在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB≠AC，若用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点D，使△ACD是等腰三角形，则下列作法中，正确的有（

）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③2．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB=10，BC=6，则线段CD的长为（）A． B．3 C． D．3．（2022·陕西延安·八年级期末）如图，在中，，，请用尺规作图法，在上求作一点，使得.（保留作图痕迹，不写作法）4．（2022·湖北襄阳·八年级期末）如图，在中，，，垂直平分．(1)作的平分线交于点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；(2)在所作的图中，求的度数．1．（2021·山西长治·八年级期末）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，P点到OA的距离PE＝2，点F是OB上任意一点，则线段PF的长的取值范围是（）A．PF＜2 B．PF＞2 C．PF≥2 D．PF≤22．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则BF的长为（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（2022·山东临沂·八年级期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD至E，使AD=DE，连接BE，若AB=4AC，△BDE的面积为12，则△ABC的面积是（

）A．6 B．9 C．12 D．154．（2022·江苏淮安·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G．若CG=4，AB=10，则△ABG的面积是（

）A．10 B．20 C．30 D．405．（2022·河南新乡·八年级期末）如图，在中，D为BC边上一点，于点E，于F，AD的垂直平分线HG分别交AD，AC于点H，G．若，则下列结论：①AD平分；②；③；④．其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2022·江西赣州·八年级期末）如图1，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥连接，平分；⑦为等边三角形．其中正确的有（

）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个7．（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，，，若，则的度数为（

）A．30° B．40° C．50° D．60°8．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图．在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，则下列结论：①PA平分∠BAC，②AS＝AR；③QP∥AR．正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③9．（2022·湖北·公安县教学研究中心八年级期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，，当最小时，的面积是（

）A．2 B．1 C．6 D．710．（2022·陕西延安·八年级期末）如图，在中，平分交BC于点D，，垂足为E.若，，则的面积为___________.11．（2022·山东临沂·八年级期末）如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm．12．（2022·上海·八年级期末）在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AD是△ABC中∠CAB的平分线，点E在直线AB上，如果DE=2CD，那么∠ADE=____________.13．（2022·河南·永城市教育体育局教研室八年级期末）如图，在锐角△ABC中，∠BAC40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BMMN有最小值时，_____________°．14．（2022·山东滨州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，于点E，点F在AC上，BE＝FC，BD＝DF，求证：AD平分∠CAB．15．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）作图题：(1)在方格纸中画出△ABC关于点O的对称图形△A′B′C′，并在所画图中标明字母．(2)图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点坐标为A（0，-2）、B（3，-1）、C（2，1）．请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△AB′C′(3)尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）16．（2022·云南红河·八年级期末）如图，已知中，，于点，的平分线分别交，于点．(1)试说明是等腰三角形；(2)若点恰好在线段的垂直平分线上，猜想：线段与线段的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，若，，求的面积．17．（2022·四川乐山·八年级期末）如图，和都是等边三角形，连接与，延长交于点H．(1)证明：；(2)求的度数；(3)连接，求证：平分．18．（2022·四川成都·八年级期末）如图1，在中，已知是边上的高，过点B作于点E，交于点F，且，，．(1)求的长；(2)求证：；(3)如图2，在（2）的条件下，在的延长线上取一点G，使，请猜想与的数量关系，并说明理由．专题03角平分线考向一：角平分线的性质考向一：角平分线的性质考向二：角平分线的判定考向三：作角平分线角平分线的性质1．（2020·贵州遵义·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于点D，若，△ABD的面积为60，则CD长(

)A．12 B．10 C．6 D．4【答案】C【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得DE=CD，再由△ABD的面积为60，可得DE=6，即可求解．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵，AD平分∠BAC，∴DE=CD，∵，△ABD的面积为60，∴，解得：DE=6，∴CD=6．故选：C【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．2．（2022·河南南阳·八年级期末）OC为∠AOB的平分线，M为OB上一点，P为OC上一点，如果OM=3，PM=2，OP=，那么点Р到射线OA的距离为（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理，角平分线的性质即可解答.【详解】解：根据题意作图如下：△OMP中，OP2=13，OM2=9，PM2=4，∵OP2=OM2+PM2，∴PM⊥OB，由角平分线的性质可得：点P到射线OA的距离等于点P到射线OB的距离，∴点Р到射线OA的距离为2，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）；掌握其性质是解题关键．3．（2022·河南·永城市教育体育局教研室八年级期末）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA2，则PQ的长不可能是（

）A．4 B．3.5C．2 D．1.5【答案】D【解析】【分析】根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时，PQ的值最小，此时根据角平分线性质得出PQ=PA，再逐一判断即可．【详解】解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=2，∴PQ=PA=2，所以的最小值为2，所以A，B，D不符合题意，D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，求解PQ最小值是解此题的关键．4．（2022·全国·八年级期末）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解析】【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．【详解】∵∠B、∠C的角平分线交于点F，∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，设∠DBF＝∠CBF＝α，∠ECF＝∠BCF＝β，∵，∴∠DFB＝∠CBF＝α，∠EFC＝∠BCF＝β，∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴DB＝DF，EF＝EC，∴△BDF与△CEF为等腰三角形，∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE，△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋BD＋CE＝AB＋AC，∵只有当△ABC是等腰三角形时，△ADE是等腰三角形，且BF＝CF，∴②③正确，①④不正确，∵∠A＝80°，∴∠FBC＋∠FCB＝＝50°，∴∠BFC＝180°－50°＝130°，故⑤正确．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．5．（2022·云南红河·八年级期末）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】首先连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．【详解】如图，连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，∴AE=AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD=BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE=CF，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，∵AB=11cm，AC=5cm，∴BE=3cm．故应选D．【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．解题关键在于注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．6．（2022·河南周口·八年级期末）如图，的三条角平分线交于点，边、、的长分别是40、30、20，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】过O分别作OE⊥CB，FO⊥AB，OD⊥AC，根据角平分线的性质可得EO＝DO＝FO，再根据三角形的面积公式可得S△ABO：S△BCO：S△CAO＝40：30：20＝4：3：2．【详解】解：过O分别作OE⊥CB，FO⊥AB，OD⊥AC，∵BO是∠ABC平分线，∴EO＝FO，∵CO是∠ACB平分线，∴EO＝DO，∴EO＝DO＝FO，∵S△ABO＝AB•FO，S△BCO＝CB•EO，S△CAO＝AC•DO，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝40：30：20＝4：3：2．故选：B【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．7．（2022·湖北宜昌·八年级期末）如图，在中，，是的平分线，，，则的面积是__．【答案】9【解析】【分析】如图，作于，由角平分线的性质可得，根据计算求解即可．【详解】解：如图，作于∵是的平分线，∴∴故答案为：9．【点睛】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．8．（2022·上海·八年级期末）如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为___________.（用含的式子表示）【答案】【解析】【分析】如图，过点E作三边的垂线，垂足分别为D，F，G，先根据角平分线的性质证得EF=DE，然后根据角平分线的判定证得，再根据三角形外角的性质和角平分线的性质求得∠EBA=，∠BAE=，最后根据三角形内角和求解．【详解】解：过点E作于点D，于点F，于点G，∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABC的外角，∴，∴AE也是∠BAC外角的平分线，∴∠EBA=，∠BAE=，∴∠EBA+∠BAE==，∴∠AEB==．故答案为：．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质和判定，正确理解三角形的有关性质是解本题的关键．9．（2021·海南省直辖县级单位·八年级期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C，已知PC＝5，则点P到OA的距离是________.【答案】5【解析】【分析】过P作PD⊥OA于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD=PC，已知PC=5，所以PD=5，即可求解．【详解】过P作PD⊥OA于D，如图，即点P到OA的距离为DP的长度，∵OP平分∠AOB，∴OP为的角平分线，又∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，PC=5，∴DP=PC=5，故答案为：5．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．10．（2022·广东江门·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，AB//CD，M为的中点，且平分．求证：平分．【答案】见解析【解析】【分析】先根据角平分线的性质，得出BM=NM，再根据M为BC的中点，即可得到MN=CM，再根据∠C=90°=∠MND，可得DM平分∠ADC．【详解】证明：过点M作于N∵平分，，∴又∴∵，∴．∴平分．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．11．（2022·全国·八年级期末）在△ABC中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C．(1)如图①，求证：△ADE是等腰三角形；(2)如图②，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE相等的角（∠CDE除外）．【答案】(1)见解析(2)图中所有与∠CDE相等的角有∠B，∠C，∠ADE和∠BAD【解析】【分析】（1）根据三角形外角性质即可得出，根据三角形全等的性质即可得出答案．（2）根据角平分线性质得到,利用等量代换即可得出答案．(1)证明：是的一个外角，又，，在和中，，，是等腰三角形．(2)解：由（1）得，，，DE平分∠ADC，，又∠BAD＝∠CDE，，，，所以图中与∠CDE相等的角有∠B，∠C，∠ADE和∠BAD．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，解题关键在于熟练掌握其相关证明的判定及性质．角平分线的判定1．（2022·天津南开·八年级期末）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠CAB的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是（

）A．P是∠CAB与∠CBA两角平分线的交点B．P为∠CAB的角平分线与AB的垂直平分线的交点C．P为AC、AB两边上的高的交点D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点【答案】B【解析】【分析】根据角平分线和线段垂直平分线的判定定理解答即可．【详解】解：∵P到∠CAB的两边的距离相等，∴P为∠CAB的角平分线；∵PA＝PB，∴P在AB的垂直平分线上，∴P为∠CAB的角平分线与AB的垂直平分线的交点．故选：B．【点睛】此题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握并能灵活运用是解题的关键．2．（2022·天津和平·八年级期末）如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（）A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC【答案】B【解析】【分析】过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，再根据角平分线的性质定理和判定定理，即可求解．【详解】解：如图，过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，∵△ABC的两个外角的平分线相交于点P，∴PD=PF，PE=PF，∴PD=PE，∴点P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC．故选：B【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．3．（2022·安徽铜陵·八年级期末）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AC边上一动点（不与A、C重合），过点A作AE垂直BD于点E，延长AE交BC的延长线于点F，连接CE，则为（

）A．30° B．36° C．45° D．60°【答案】C【解析】【分析】如图所示，过点C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，证明△AHC≌△BCG得到CH=CG，即可证明CE平分∠BEF，即可得到∠BEC=．【详解】解：如图所示，过点C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，∴∠AHC=∠BGC=90°，∵∠ACB=90°，AF⊥BE，∴∠AEB=∠BCD=∠BEF=90°，又∵∠ADE=∠BDC，∴∠CAH=∠CBG，又∵AC=BC，∴△AHC≌△BCG（AAS），∴CH=CG，∵CH⊥EF，CG⊥BE，∴CE平分∠BEF，∴∠BEC=．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，角平分线的定义，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．4．（2022·江苏宿迁·八年级期末）如图，在中，，把折叠，使、两点重合，得到折痕，若，则______．【答案】30°【解析】【分析】由折叠可知∠ADE=∠BDE=90°，∠A=∠ABE，根据角平分线的判定定理可知BE平分∠ABC，即可求解．【详解】解：由题意可知，∠ADE=∠BDE=90°，∠A=∠ABE又∵∴DE⊥AB，EC⊥BC又∴BE平分∠ABC，即∠ABE=∠CBE∵ABE+∠CBE+∠A=90°∴∠ABE=∠CBE=∠A=故答案为：30°【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理．5．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在和中，，，直线交于点M，连接．以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的是___________（填序号）．【答案】①②③【解析】【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OAC=∠OBD，AC=BD，①②正确；由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，得出∠AMB=∠AOB=α，可得③正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，利用全等三角形的对应高相等得出OG=OH，由角平分线的判定方法得∠AMO=∠DMO，假设OM平分∠BOC，则可求出∠AOM=∠DOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO=OD，而OC=OD，所以OA=OC，而OA＜OC，故④错误；即可得出结论．【详解】解：∵∠AOB=∠COD=α，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OAC=∠OBD，AC=BD，故①②正确；由三角形的内角和定理得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，∵∠OAC=∠OBD，∴∠AMB=∠AOB=α，，故③正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，△AOC≌△BOD，∴结合全等三角形的对应高可得：OG=OH，∴MO平分∠AMD，∴∠AMO=∠DMO，假设OM平分∠BOC，则∠BOM=∠COM，∵∠AOB=∠COD，∴∠AOB+∠BOM=∠COD+∠COM，即∠AOM=∠DOM，在△AMO与△DMO中，，∴△AMO≌△DMO（ASA），∴OA=OD，∵OC=OD，∴OA=OC，而OA＜OC，故④错误；正确的个数有3个；故答案为：①②③．【点睛】本题属于三角形的综合题，是中考填空题的压轴题，本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键．6．（2022·广东江门·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，AB//CD，M为的中点，且平分．求证：平分．【答案】见解析【解析】【分析】先根据角平分线的性质，得出BM=NM，再根据M为BC的中点，即可得到MN=CM，再根据∠C=90°=∠MND，可得DM平分∠ADC．【详解】证明：过点M作于N∵平分，，∴又∴∵，∴．∴平分．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．7．（2022·安徽芜湖·八年级期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求证：FA平分∠BFE．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据SAS证明结论即可；（2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根据角平分线的性质即可解决问题．(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）；(2)证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，∵，∴AM＝AN，∴点A在∠BFE平分线上，∴FA平分∠BFE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明．三、作角平分线1．（2022·河南周口·八年级期末）在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB≠AC，若用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点D，使△ACD是等腰三角形，则下列作法中，正确的有（

）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③【答案】A【解析】【分析】根据作图痕迹可知，图①作的是∠BAC的平分线，图②作的是CA=CD，图③作的是AC的垂直平分线，然后逐一判断即可解答．【详解】解：图①：由题意得：AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=45°，∵∠BAC=90°，AB≠AC，∴∠B≠∠C≠45°，∴∠C≠∠CAD，∴△ACD不是等腰三角形，故①错误；图②：由题意得：CA=CD，∴△ACD是等腰三角形，故②正确；图③：由题意得：点D在AC的垂直平分线上，∴DA=DC，∴△ACD是等腰三角形，故③正确，所以，上列作法中，正确的有：②③，故选：A．【点睛】本题考查了基本作图－解平分线、线段垂直平分线，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．2．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB=10，BC=6，则线段CD的长为（）A． B．3 C． D．【答案】B【解析】【分析】利用基本作图得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到则DE=DC，再利用勾股定理计算出AC=8，然后利用面积法得到•DE×10+•CD×6=×6×8，最后解方程即可．【详解】解：由作法得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE=DC，在Rt△ABC中，AC==8，∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，∴•DE×10+•CD×6=×6×8，即5CD+3CD=24，∴CD=3．故选：A．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了角平分线的性质．3．（2022·陕西延安·八年级期末）如图，在中，，，请用尺规作图法，在上求作一点，使得.（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【解析】【分析】只需要作∠DAC的角平分线与CD的交点即可．【详解】解：如图，即为所求.（作法不唯一，合理即可）∵AC=AD，AE平分∠DAC，∴DE=CE；【点睛】本题主要考查了三线合一定理，角平分线的尺规作图，熟知三线合一定理是解题的关键．4．（2022·湖北襄阳·八年级期末）如图，在中，，，垂直平分．(1)作的平分线交于点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；(2)在所作的图中，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法即可作∠DAC的平分线AE交BC于点E；（2）根据角平分线定义和三角形内角和定理即可求∠DAE的度数．(1)解：如图，线段即为所求；(2)解：垂直平分，，∴，，是的平分线，．【点睛】本题考查了作图一基本作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．1．（2021·山西长治·八年级期末）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，P点到OA的距离PE＝2，点F是OB上任意一点，则线段PF的长的取值范围是（）A．PF＜2 B．PF＞2 C．PF≥2 D．PF≤2【答案】C【解析】【分析】首先根据角平分线的性质，求出点P到OB的距离为2，再根据“垂线段最短”可知PF的取值范围．【详解】解：∵P点到OA的距离PE=2，∴P点到OB的距离2，∵垂线段最短，且点F在OB上，∴PF≥2．故选：C．【点睛】此题考查了角平分线的性质和垂线段最短，解题的关键是知道点到直线的距离垂线段最短．2．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则BF的长为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】【分析】过点D作DH⊥AC于点H，由题意易得AD平分∠CAB，则有DE=DH，然后根据等积法可进行求解．【详解】解：过点D作DH⊥AC于点H，如图所示：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠CAB，∵DE⊥AB，DE＝4，∴DE=DH=4，∵，∴，∴；故选D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握等腰三角形的性质及角平分线的性质定理是解题的关键．3．（2022·山东临沂·八年级期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD至E，使AD=DE，连接BE，若AB=4AC，△BDE的面积为12，则△ABC的面积是（

）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】D【解析】【分析】由角平分线的性质可得DG=DH，由三角形的面积关系可求解．【详解】解：如图，过点D作DG⊥AC，交AC的延长线于G，DH⊥AB于H，∵AD=DE，△BDE的面积为12，∴S△ABD=S△BDE=12，∵AD是∠BAC的平分线，DH⊥AB，DG⊥AC，∴DG=DH，∵AB=4AC，∴S△ABD=4S△ACD，∴S△ACD=3，∴S△ABC=12+3=15，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线是解题的关键．4．（2022·江苏淮安·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G．若CG=4，AB=10，则△ABG的面积是（

）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】B【解析】【分析】根据作图可知为的角平分线，过点作，则，继而根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：根据作图可知为的角平分线，如图，过点作，CG=4，AB=10，△ABG的面积是故选B．【点睛】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作图，理解题意中为的角平分线是解题的关键．5．（2022·河南新乡·八年级期末）如图，在中，D为BC边上一点，于点E，于F，AD的垂直平分线HG分别交AD，AC于点H，G．若，则下列结论：①AD平分；②；③；④．其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知：①正确；再利用垂直平分线的性质可知②正确；证明，可知③正确；仅利用，推不出，故④不正确．【详解】解：∵，，且，∴AD平分；故①正确；∵HG垂直平分AD，∴，，在和中，，∴，∴，故②正确；∵，∴，∵，∴，∴，故③正确；∵仅利用，，推不出，故④不正确．综上所述：正确的有①②③．故选：C．【点睛】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握这些性质及判定定理．6．（2022·江西赣州·八年级期末）如图1，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥连接，平分；⑦为等边三角形．其中正确的有（

）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】C【解析】【分析】证明①可先证明△ACD≌△BCE，可判断①，再证明△CQB≌△CPA，可判断②，再证明∠PQC=∠DCE=60°，可判断③，利用全等三角形的性质与三角形的内角和定理证明∠AOB=∠ACB，可判断④，证明∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，PD≠CD，可判断⑤，作CM⊥AD，CN⊥BE，证明CM=CN，可判断⑥，由可判断⑦，从而可得答案.【详解】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°∴∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，故①正确；由（1）中的全等得∠CBE=∠DAC，△CQB≌△CPA，∴AP=BQ，故②正确；又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴，③成立，∵△CQB≌△CPA，∴∠CBQ=∠CAP，∵∠APC=∠BPO，∴∠AOB=∠ACB=60°，故④正确；∵∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，∴PD≠CD，∴DE≠DP，故⑤DE=DP错误；作CM⊥AD，CN⊥BE，∵△ACD≌△BCE，∴CM=CN，∴OC平分∠AOE，故⑥正确，为等边三角形，故⑦正确，故正确的有①②③④⑥⑦共6个，故选：C．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及三角形全等的判定与性质；角平分线的判定，熟练应用等边三角形的性质证明三角形全等是正确解答本题的关键．7．（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，，，若，则的度数为（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【解析】【分析】过点D作于点F．由题意易证，即得出，说明AD为的角平分线，即可求出的大小，从而可求出的大小．【详解】如图，过点D作于点F．∴在和中，∴，∴，∴AD为的角平分线，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查三角形全等的性质和判定，角平分线的判定定理．作出常用的辅助线是解题关键．8．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图．在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，则下列结论：①PA平分∠BAC，②AS＝AR；③QP∥AR．正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【解析】【分析】根据角平分线的判定定理可推出①根据斜边直角边对应相等的两个直角三角形全等可推出②，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可推出③．【详解】解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，∴∠SAP=∠RAP，∴①正确在Rt△ARP和Rt△ASP中，∴Rt△ARP≌Rt△ASP（HL）∴AR=AS，∴②正确；连接AP．∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA，∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QP∥AR，∴③正确；∴正确的结论为①②③故选择D【点睛】此题考查角平分线判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．9．（2022·湖北·公安县教学研究中心八年级期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，，当最小时，的面积是（

）A．2 B．1 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】由点为线段上的一个动点，最短时，如图，由题意知，是的角平分线，由角平分线的性质可得，证明，则有，由求出的值，根据计算求解即可．【详解】解：由点为线段上的一个动点，最短时，，如图，由基本尺规作图可知，是的角平分线，∵，，∴，在和中∵∴∴，∴，∴故选B．【点睛】本题考查了角平分线的作法，角平分线的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．10．（2022·陕西延安·八年级期末）如图，在中，平分交BC于点D，，垂足为E.若，，则的面积为___________.【答案】6【解析】【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质可以得到DH=DE=3，即可求解．【详解】解：过点D作DH⊥AC于H，∵AD平分∠BAC，DE=3，∴DH=DE=3，∵AC=4，∴，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．11．（2022·山东临沂·八年级期末）如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm．【答案】3.5【解析】【分析】过C点作CF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到CF=CE，再证明Rt△ACE≌Rt△ACF得到AF=AE，证明△CBF≌△CDE得到BF=DE，然后利用等线段代换，利用AF=AE得到11+DE=18-DE，从而可求出DE的长．【详解】解：过C点作CF⊥AB于F，如图，∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，∴CF=CE，在Rt△ACE和Rt△ACF中，，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AF=AE，∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，∴∠CBF=∠D，在△CBF和△CDE中，，∴△CBF≌△CDE（AAS），∴BF=DE，∵AF=AE，∴AB+BF=AD-DE，即11+DE=18-DE，∴DE=3.5cm．故答案为：3.5．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．12．（2022·上海·八年级期末）在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AD是△ABC中∠CAB的平分线，点E在直线AB上，如果DE=2CD，那么∠ADE=____________.【答案】127.5°或7.5°【解析】【分析】过D作DF⊥AB于F，根据直角三角形DEF求出∠DEF=30°，求出结果．【详解】解：如图，过D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠CAB，DF⊥AB，DC⊥AC，∴DF=DC，∠ADF=67.5°，当点E在线段AB上时，∵DE=2CD=2DF，∠DFE=90°，∴DEF=30°，∠EDF=60°，∴∠ADE=∠ADF-∠EDF=67.5°-60°=7.5°；当点E在线段AB的延长线上时，同理可得∠ADE=∠ADF+∠EDF=67.5°+60°=127.5°；综上述：∠ADE=7.5°或127.5°．【点睛】本题考查角平分线的性质和直角三角形的性质，解决问题的关键是遇到角平分线作垂线段．13．（2022·河南·永城市教育体育局教研室八年级期末）如图，在锐角△ABC中，∠BAC40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BMMN有最小值时，_____________°．【答案】50【解析】【分析】在AC上截取AE=AN，可证△AME≌△AMN，当BMMN有最小值时，则BE是点B到直线AC的距离即BE⊥AC，代入度数即可求∠ABM的值；【详解】如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠EAM=∠NAM，∵AM=AM，∴△AME≌△AMN，∴ME=MN，∴BM+MN=BM+ME≥BE．∵BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，∴∠ABM=90°-∠BAC=90°-40°=50°；故答案为：50．【点睛】本题考查的是轴对称－最短路线问题，通过最短路线求出角度；解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最短路线，代入即可求出度数．14．（2022·山东滨州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，于点E，点F在AC上，BE＝FC，BD＝DF，求证：AD平分∠CAB．【答案】见解析【解析】【分析】利用HL证明Rt△BDE≌Rt△FDC，得到DE=DC，即可得到AD平分∠CAB．【详解】证明：∵，∴∠BED=∠C＝90°，在Rt△BDE和Rt△FDC中，∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），∴DE=DC，∵，DC⊥AC，∴AD平分∠CAB．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是熟记全等三角形的判定定理．15．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）作图题：(1)在方格纸中画出△ABC关于点O的对称图形△A′B′C′，并在所画图中标明字母．(2)图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点坐标为A（0，-2）、B（3，-1）、C（2，1）．请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△AB′C′(3)尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)①见解析；②见解析【解析】【分析】（1）分别连接△ABC的三个顶点A、B、C与点O，并延长相同单位，得到三点的对应点A′B′C′，顺次连接这三点即可得到所求△A′B′C′；（2）首先分别过点B、C作y轴的垂线，分别延长至各自到y轴的距离的相同长度，得到其对应点B′C′，顺次连接A，B′，C′即可得到所求△AB′C′；（3）①先分别以A、B为圆心，以大于AB为半径在线段的两边画相交弧，得到两个相交点，再用直尺连接这两个相交点，所得的直线即为线段AB的垂直平分线，继而即可求解；②首先以点A为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交AD、AC于一点，再分别以这两点为圆心，任意长为半径画圆弧，可得一个相交点，连接点A和这个相交点所得射线即为∠CAD的平分线，即射线AE即为所求．(1)如图所示：分别OA、OB、OC，并延长相同单位，得到三点的对应点A′B′C′，顺次连接这三点即可得到所求△A′B′C′,(2)如图所示：分别过点B、C作y轴的垂线，分别延长至各自到y轴的距离的相同长度，得到其对应点B′C′，顺次连接A，B′，C′即可得到所求△AB′C′；(3)如图，①先分别以A、B为圆心，以大于AB为半径在线段的两边画相交弧，得到两个相交点，再用直尺连接这两个相交点，所得的直线即为线段AB的垂直平分线，点D即为所求，②首先以点A为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交AD、AC于一点，再分别以这两点为圆心，任意长为半径画