专题02勾股定理的经典实际应用(五大题型)(原卷版+解析)

专题02勾股定理的经典实际应用（五大题型）重难点题型归纳【题型1梯子滑落问题】【题型2树枝旗子折断问题】【题型3航海是否有影响问题】【题型4风吹荷花问题】【题型5垂美四边形问题】（1）构造直角三角形解决问题；（2）垂美四边形【定义】对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，则①AB²＋CD²＝AD²＋BC².②S四ABCD＝AC·BD【题型1梯子滑落问题】【典例1】（2023春•随县期末）如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？【变式1-1】（2023春•郧阳区期末）如图，某工人在两墙AB，CD之间施工（两墙与地面垂直），架了一架长为2.5m的梯子DE，此时梯子底端E距离墙角C点0.7m，由于E点没有固定好，向后滑动到墙角B处，使梯子顶端D沿墙下滑了0.4m到F处，求梯子底端E向后滑动的距离BE的长．【变式1-3】（2022秋•雁塔区校级期中）如图，一架13米长的梯子AB斜靠在墙上，刚好梯顶A与地面的距离AO为12米．如果梯子底部水平滑动的距离BB′为3米，求梯顶下滑的距离AA′为多少米？【变式1-4】（2023春•淮南期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（）A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米【变式1-5】（2023春•庐阳区校级期中）如图，梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时BO为7m．如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移8m，则梯子AB的长为（）A．24 B．25 C．15 D．20【变式1-6】（2022秋•黔江区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（）A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m【题型2树枝旗子折断问题】【典例2-1】（2023春•鹤山市校级期中）在一棵树的10米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树20米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则这棵树高多少米？【典例2-2】（2023春•南宁期中）如图1，同学们想测量旗杆的高度．他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1.5米，如图1；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部6米，如图2．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点D处．（1）请你按小明的方案求出旗杆的高度；（2）已知小亮举起绳结离旗杆6.75米远，此时绳结离地面多高？​【变式2-1】（2023春•东港区校级期中）由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．【变式2-2】（2021秋•临渭区期末）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．【变式2-3】（2022秋•常州期末）数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子沿旗杆垂到地面时，测得多出部分BC的长为2m（如图1），再将绳子拉直（如图2），测得绳子末端的位置D到旗杆底部B的距离为6m，求旗杆AB的长．【变式2-4】（2022秋•城关区期末）如图所示，小刚想知道学校的旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了0.8m，当他把绳子下端拉开4m后，发现下端刚好接触地面，小刚算了算就知道了旗杆的高度．你知道他是怎样算出来的吗？【题型3航海是否有影响问题】【典例3-1】（2023春•黄冈期中）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【典例3-2】（2023春•邢台期中）如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为900米，C处与B村的距离为1200米，且AC⊥BC．（1）求A，B两村之间的距离；（2）为了安全起见，爆破点C周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．【变式3-1】（2023春•千山区期中）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C处将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西23°．（1）求甲巡逻艇的航行方向；（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？【变式3-2】（2023•灞桥区校级模拟）如图，海中有一小岛P，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在M处测得小岛P在北偏东60°方向上，航行16海里到N处，这时测得小岛P在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．【变式3-3】（2022春•天元区期中）某岛C周围4海里内有暗礁，一轮船沿正东方向航行，在A处测得该岛在东偏南15°处，继续航行10海里到达B处，又测得该岛位于东偏南30°处，若该船不改变航向，有无触礁危险？【变式3-4】（2021•黄州区校级自主招生）南海诸岛自古以来都是中国的领土，4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，军委主席习近平登上长沙舰检阅海军舰艇编队，包括辽宁号航母在内的48艘舰艇参加了阅兵仪式．如图，A、B是两处海港，其中A在B东偏南30〫方向千米处，辽宁号航母从海港A出发，沿东偏北45〫方向，以15千米/小时的速度匀速航行，两小时后，长沙舰从海港B出发，沿东偏北15〫的方向匀速航行，两舰恰好同时到达阅兵地点C．（1）长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了多少时间？（2）求长沙舰的航行速度．（结果保留根号）【变式3-5】（2023春•青阳县期末）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．【变式3-6】（2022春•大方县期中）如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（23m/s），中心最低气压为990百帕，台风中心沿大约东北（BC）方向以25km/h的速度向D移动在距离B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距离AD＝70km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心70km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几个小时内撤离才可脱离危险？【题型4风吹荷花问题】【典例4】（2022秋•南关区校级期末）如图，水池中离岸边D点4米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是2米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，则水池的深度AC为多少米．【变式4-1】（2022秋•朝阳区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm【变式4-2】（2022秋•兴平市期末）在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是尺．【变式4-3】（2023春•新化县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．【题型5垂美四边形问题】【典例5】（2022春•颍上县校级期末）我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接BE，CG，GE．①求证：四边形BCGE是垂美四边形；②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．【变式5-1】（2023•泸县校级三模）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝5，BC＝12，则AB2+CD2＝．【变式5-2】（2022秋•卧龙区校级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．【变式5-3】（2022秋•达川区校级月考）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝，BC＝3，则AB2+CD2＝23．

专题02勾股定理的经典实际应用（五大题型）重难点题型归纳【题型1梯子滑落问题】【题型2树枝旗子折断问题】【题型3航海是否有影响问题】【题型4风吹荷花问题】【题型5垂美四边形问题】（1）构造直角三角形解决问题；（2）垂美四边形【定义】对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，则①AB²＋CD²＝AD²＋BC².②S四ABCD＝AC·BD【题型1梯子滑落问题】【典例1】（2023春•随县期末）如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB＝25米，BE＝7米，梯子距离地面的高度AE＝＝24米．答：此时梯子顶端离地面24米；（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE＝（24﹣4）＝20米，∴BD+BE＝DE＝＝＝15，∴DB＝15﹣7＝8（米），即下端滑行了8米．答：梯子底端将向左滑动了8米．【变式1-1】（2023春•郧阳区期末）如图，某工人在两墙AB，CD之间施工（两墙与地面垂直），架了一架长为2.5m的梯子DE，此时梯子底端E距离墙角C点0.7m，由于E点没有固定好，向后滑动到墙角B处，使梯子顶端D沿墙下滑了0.4m到F处，求梯子底端E向后滑动的距离BE的长．【答案】梯子底端E向后滑动的距离BE的长为0.8m．【解答】解：由题意得：∠DCE＝90°，BF＝DE＝2.5m，CE＝0.7m，DF＝0.4m，在Rt△DCE中，由勾股定理得：DC＝＝＝2.4（m），∴CF＝DC﹣DF＝2.4﹣0.4＝2（m）在Rt△BCF中，由勾股定理得：BC＝＝＝1.5（m），∴BE＝BC﹣CE＝1.5﹣0.7＝0.8（m），答：梯子底端E向后滑动的距离BE的长为0.8m．【变式1-3】（2022秋•雁塔区校级期中）如图，一架13米长的梯子AB斜靠在墙上，刚好梯顶A与地面的距离AO为12米．如果梯子底部水平滑动的距离BB′为3米，求梯顶下滑的距离AA′为多少米？【答案】梯顶下滑的距离AA′为（12﹣）米．【解答】解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得：OB＝＝＝5（米），根据题意，得：OB′＝5+3＝8（米），又∵梯子的长度不变，在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得：OA′＝＝（米）．则AA′＝（12﹣）米，答：梯顶下滑的距离AA′为（12﹣）米．【变式1-4】（2023春•淮南期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（）A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米【答案】C【解答】解：如图，∠ACB＝∠ACB＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.5m，DE＝2m．在Rt△ABC中，AB＝＝＝2.5（m）．∵AB＝BE，∴BE＝2.5（m），∴BD＝＝＝1.5（m），∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的宽度为2.2米．故选：C．【变式1-5】（2023春•庐阳区校级期中）如图，梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时BO为7m．如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移8m，则梯子AB的长为（）A．24 B．25 C．15 D．20【答案】B【解答】解：设AO＝xm，依题意，得AC＝4，BD＝8，在Rt△AOB中，根据勾股定理AB2＝AO2+OB2＝x2+72在Rt△COD中，根据勾股定理CD2＝CO2+OD2＝（x﹣4）2+（7+8）2，x2+72＝（x﹣4）2+（7+8）2，解得x＝24，∴，故选：B．【变式1-6】（2022秋•黔江区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（）A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝2.5（m），∴A′B＝AB＝2.5米，在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD＝＝＝2（m），∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m），即小巷的宽为2.7米，故选：D．【题型2树枝旗子折断问题】【典例2-1】（2023春•鹤山市校级期中）在一棵树的10米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树20米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则这棵树高多少米？【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，设树的高度为x米，因两只猴子所经过的距离相等都为30米．由勾股定理得：x2+202＝[30﹣（x﹣10）]2，解得x＝15m．故这棵树高15m【典例2-2】（2023春•南宁期中）如图1，同学们想测量旗杆的高度．他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1.5米，如图1；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部6米，如图2．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点D处．（1）请你按小明的方案求出旗杆的高度；（2）已知小亮举起绳结离旗杆6.75米远，此时绳结离地面多高？​【答案】（1）11.25米；（2）2.25米．【解答】解：（1）如图2，设旗杆的长度为x米，则绳子的长度为（x+1.5）米，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+62＝（x+1.5）2，解得：x＝11.25，故旗杆的高度为11.25米；（2）由题可知，BD＝BC＝11.25米，DE＝6.75米．在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+6.752＝11.252，解得：BE＝9，∴EC＝BC﹣BE＝11.25﹣9＝2.25（米），∴DF＝EC＝2.25米．故绳结离地面2.25米高．【变式2-1】（2023春•东港区校级期中）由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D，由题意可得：BC＝13m，DC＝12m，故BD＝＝5（m），即AD＝9m，则AC＝＝＝15（m），故AC+AB＝15+4＝19（m）．答：这棵树原来的高度是19米．【变式2-2】（2021秋•临渭区期末）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．【答案】见试题解答内容【解答】解：设AB＝x，则AC＝x+1，由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5，∴Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即x2+52＝（x+1）2，解得x＝12，答：风筝距离地面的高度AB为12米．【变式2-3】（2022秋•常州期末）数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子沿旗杆垂到地面时，测得多出部分BC的长为2m（如图1），再将绳子拉直（如图2），测得绳子末端的位置D到旗杆底部B的距离为6m，求旗杆AB的长．【答案】8m．【解答】解：设旗杆AB的长为xm．根据题意，得∠ABD＝90°，BD＝6m，AD＝（x+2）m．在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∴AB2+BD2＝AD2．∴x2+62＝（x+2）2．解方程，得x＝8．答：旗杆AB的长为8m．【变式2-4】（2022秋•城关区期末）如图所示，小刚想知道学校的旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了0.8m，当他把绳子下端拉开4m后，发现下端刚好接触地面，小刚算了算就知道了旗杆的高度．你知道他是怎样算出来的吗？【答案】见试题解答内容【解答】解：设旗杆高为xm，那么绳长为（x+0.8）m，由勾股定理得x2+42＝（x+0.8）2，解得x＝9.6．答：旗杆的高度为9.6m．【题型3航海是否有影响问题】【典例3-1】（2023春•黄冈期中）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意，得PQ＝16×1.5＝24（海里），PR＝12×1.5＝18（海里），QR＝30（海里），∵242+182＝302，即PQ2+PR2＝QR2，∴∠QPR＝90°．由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，则∠SPR＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．【典例3-2】（2023春•邢台期中）如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为900米，C处与B村的距离为1200米，且AC⊥BC．（1）求A，B两村之间的距离；（2）为了安全起见，爆破点C周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．【答案】（1）A，B两村之间的距离为1500米；（2）AB段公路需要封锁，需要封锁的路段长度为420米．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝900米，BC＝1200米，∴AB＝＝＝1500（米）．答：A，B两村之间的距离为1500米；（2）公路AB有危险而需要封锁．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．以点C为圆心，750米为半径画弧，交AB于点E，F，连接CE，CF，∵S△ABC＝AB•CD＝BC•AC，∴CD＝＝＝720（米）．由于720米＜750米，故有危险，因此AB段公路需要封锁．∴EC＝FC＝750米，∴ED＝＝210（米），故EF＝420米，则需要封锁的路段长度为420米．【变式3-1】（2023春•千山区期中）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C处将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西23°．（1）求甲巡逻艇的航行方向；（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得：∠CBA＝90°﹣23°＝67°，AC＝120×＝12（海里），BC＝50×＝5（海里），∵AB＝13（海里），∵AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA＝67°，∴∠CAB＝23°，∴甲的航向为北偏东67°；（2）甲巡逻船航行3分钟的路程为：120×＝6（海里），乙巡逻船航行3分钟的路程为：50×＝2.5（海里），3分钟后，甲乙两巡逻船相距为：＝6.5（海里）．【变式3-2】（2023•灞桥区校级模拟）如图，海中有一小岛P，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在M处测得小岛P在北偏东60°方向上，航行16海里到N处，这时测得小岛P在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．【答案】渔船不改变航线继续向东航行，不会有触礁危险，理由见解析．【解答】解：渔船不改变航线继续向东航行，不会有触礁危险，理由如下：过点P作PA⊥MN，交MN的延长线于点A，由题意得：∠PMA＝90°﹣60°＝30°，∠PNA＝90°﹣30°＝60°，∴∠APN＝90°﹣∠PNA＝30°，设AN＝x海里，则PN＝2x海里，∴AP＝＝＝x（海里），AM＝MN+AN＝（16+x）海里，∵∠PMA＝30°，∴PM＝2AP＝2x（海里），在Rt△MAP中，PM2＝AP2+AM2，即（2x）2＝（x）2+（x+16）2，解得：x1＝8，x2＝﹣4（不合题意，舍去）；∴AP＝x＝8（海里），∵（8）2＝192，122＝144，∴8＞12，∴渔船不改变航线继续向东航行，不会有触礁危险．【变式3-3】（2022春•天元区期中）某岛C周围4海里内有暗礁，一轮船沿正东方向航行，在A处测得该岛在东偏南15°处，继续航行10海里到达B处，又测得该岛位于东偏南30°处，若该船不改变航向，有无触礁危险？【答案】见试题解答内容【解答】解：作CD⊥AB于D，则Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，∴BC＝2CD．又∵∠CAB＝15°，∴∠ACB＝15°．∴AB＝BC＝10．∴CD＝5＞4．故该轮船没有触礁的危险．【变式3-4】（2021•黄州区校级自主招生）南海诸岛自古以来都是中国的领土，4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，军委主席习近平登上长沙舰检阅海军舰艇编队，包括辽宁号航母在内的48艘舰艇参加了阅兵仪式．如图，A、B是两处海港，其中A在B东偏南30〫方向千米处，辽宁号航母从海港A出发，沿东偏北45〫方向，以15千米/小时的速度匀速航行，两小时后，长沙舰从海港B出发，沿东偏北15〫的方向匀速航行，两舰恰好同时到达阅兵地点C．（1）长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了多少时间？（2）求长沙舰的航行速度．（结果保留根号）【答案】（1）2；（2）（15+15）千米/小时．【解答】解：（1）由题意得：AB＝30千米，∠ABC＝30°+15°＝45°，∠BAC＝（90°﹣30°）+45°＝105°，∴∠C＝180°﹣45°﹣105°＝30°，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，AD＝BD＝×30＝30（千米），在Rt△ADC中，∠C＝30°，∴AC＝2AD＝60，CD＝AD＝30（千米），∴BC＝（30+30）千米，∴辽宁号航母从A到C的时间为60÷15＝4（小时），则长沙舰从B到C所用时间为4﹣2＝2（小时），答：长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了2小时．（2）长沙舰的速度为（30+30）÷2＝（15+15）千米/小时，答：长沙舰的航行速度为（15+15）千米/小时．【变式3-5】（2023春•青阳县期末）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，∴根据勾股定理得AB＝500米，∵AB•CD＝BC•AC，∴CD＝240米．∵240米＜250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁．【变式3-6】（2022春•大方县期中）如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（23m/s），中心最低气压为990百帕，台风中心沿大约东北（BC）方向以25km/h的速度向D移动在距离B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距离AD＝70km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心70km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几个小时内撤离才可脱离危险？【答案】台风中心经过9.6小时从B移动到D点；游人在6.8小时内撤离才可脱离危险．【解答】解：在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD＝＝＝240（km），∴240÷25＝9.6（小时），则台风中心经过9.6小时从B移动到D点；如图，∵距台风中心70km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，∴人们要在台风中心到达E点之前撤离，∵BE＝BD﹣DE＝240﹣70＝170（km），∴170÷25＝6.8（小时），答：游人在6.8小时内撤离才可脱离危险．【题型4风吹荷花问题】【典例4】（2022秋•南关区校级期末）如图，水池中离岸边D点4米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是2米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，则水池的深度AC为多少米．【答案】3米．【解答】解：设水池的深度为x米，由题意得：x2+42＝（x+2）2，解得：x＝3．答：水池的深度为3米．【变式4-1】（2022秋•朝阳区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】D【解答】解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．【变式4-2】（2022秋•兴平市期末）在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是3.75尺．【答案】3.75．【解答】解：若设湖水的深度x尺．则荷花的长是（x+0.5）米．在直角三角形中，根据勾股定理，得：（x+0.5）2＝x2+22，解之得：x＝3.75，∴湖水的深度为3.75尺．故答案为：3.75．【变式4-3】（2023春•新化县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．【答案】8.5m．【解答】解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，故x2＝42+（x﹣1）2，解得：x＝8.5，答：绳索AD的长度是8.5m．【题型5垂美四边形问题】【典例5】（2022春•颍上县校级期末）我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接BE，CG，GE．