专题04一元一次方程(中等类型)(原卷版+解析)

04一元一次方程【专题过关】类型一、行程应用【解惑】一位外卖员骑电动车需在规定时间内把水果送到某地，若每小时骑行55km，则早到10min，若每小时骑行50km，则迟到5min，求外卖员行驶的路程．若设外卖员行驶的路程为xkm，则列方程为（

）A．B． C． D．【融会贯通】1．（2023秋·重庆南岸·七年级校考期末）轮船从港顺流行驶到港，比从港原路逆流返回港少用3小时，若船在静水中的速度为27千米/时，水流的速度为2千米/时，求港和港相距多少千米？设港和港相距千米．根据题意，可列出的方程是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）星期天，小明一家从家里出发去奶奶家，爸爸骑自行车先走，速度为10千米/时，30分钟后妈妈开车和小明一起出发，速度为50千米/时，结果3人同时到达奶奶家，小明家距奶奶家的路程为千米．3．（2023·陕西榆林·校考二模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架它的代数成主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就《九章算术》中有这样个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，若走路慢白人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是．4．（2022秋·安徽淮北·七年级校考期中）如图，某公园的一个荷花塘是边长为的正方形，甲、乙两人同时从顶点A出发，甲以的速度沿正方形的边按顺时针方向慢跑，即A→D→C→B→A；乙以的速度沿正方形的边按逆时针方向慢跑，即A→B→C→D→A

(1)当他们第一次相遇时，求：①甲跑了多长时间；②他们相遇的地点离哪个点最近？求最近的距离；(2)请直接写出15min内（包含15min），他们一共相遇了次，最后一次相遇的地点离哪个顶点最近，求最近的距离．5.（2022秋·全国·七年级专题练习）一列火车匀速行驶，经过一条长300米的隧道需要20秒的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒．求这列火车的长度．小冉根据学习解决应用问题的经验对上面问题进行了探究，下面是小冉的探究过程，请补充完成：设这列火车的长度是x米，那么（1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是米，这段时间内火车的平均速度是米/秒；（2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是米，这段时间内火车的平均速度是米/秒；（3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是；（4）由此可以列出方程并求解出这列火车的长度（请列方程求解）类型二、配套应用【解惑】某车间有名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺栓个或螺母个，若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（

）A． B．C． D．【融会贯通】1．（2023秋·福建宁德·七年级校考期末）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1根木材可以制作20个桌面或者制作400条桌腿，现有12根木材，要使制作出来的桌面和桌腿恰好都配成桌子，应利用多少根木材来制作桌面？（

）A．10 B．8 C．6 D．22．（2023秋·山东日照·七年级校考期末）用铝片做听装易拉饮料瓶，每张铝片可制瓶身16个或瓶底43个，一个瓶身配两个瓶底。现有150张铝片，用多少张制瓶身，多少张制瓶底，可以正好制成成套的饮料瓶？解：设用x张做瓶身，可列方程为。3.（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织初一年级200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为套．4．（2023秋·河北邢台·七年级校联考期末）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需要3个甲种零件和1个乙种零件正好配套，已知车间每天能生产甲种零件540个或乙种零件120个，现要在10天中使所生产的甲、乙两种零件全部配套，那么应该安排多少天生产甲种零件，多少天生产乙种零件？5．（2023秋·贵州遵义·七年级统考期末）在“双减”政策背景下，为丰富课后延时服务，某中学开设了手工制作活动课，在活动课上，辅导老师组织兴趣小组学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒，已知该兴趣小组共有学生50人，其中女生人数比男生人数多2人，并且每名学生每节课能制作筒身8个或筒底24个．(1)该兴趣小组有男生、女生各多少人？(2)原计划男生负责制作筒底，女姓负责制作筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么男生应向女生支援多少人时，才能使每节课制作的筒身与筒底配套．类型三、工程应用【解惑】某工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，现由甲先做天，乙再加入合作，直至完成这项工程，求甲完成这项工程所用的时间．若设甲完成此项工程一共用天，则下列方程正确的是（）A． B． C． D．【融会贯通】1．（2023春·安徽宿州·九年级统考期中）某工人在规定的时间内做完一批零件，若每小时做个就可以超额完成个，若每小时做个就可以提前完成，则这批零件一共有多少个？设这批零件一共有个，则根据题意得到的正确方程是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·河南商丘·七年级统考期末）一项工作，甲单独做需9天完成，乙单独做需12天完成，如果两人合做几天后，余下的工作再由甲单独做2天完成，则甲、乙两人合做了天．3．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）某工程队承包了全段全长米的过江隧道任务，甲、乙两个班组分别从东西两端同时掘进，已知甲比乙平均每天多掘进，经过五天施工，两组共掘进米，为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进，乙组平均每天比原来多掘进，照此施工速度，能够比原来少天完成任务．4．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）某公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场．现在甲、乙两个加工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工这批产品多用20天，甲工厂每天可加工16件产品，乙工厂每天可加工24件产品．(1)求这个公司要加工新产品的件数．(2)在加工过程中，公司需支付甲工厂每天加工费80元，乙工厂每天加工费120元．公司还需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费．公司制定产品加工方案如下：可由一个工厂单独加工完成，也可由两个工厂合作同时完成．当两个工厂合作时，这名工程师轮流去这两个工厂．请你通过计算帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种既省钱，又省时间的加工方案．5．（2023秋·全国·七年级专题练习）甲、乙两人加工机器零件，已知甲、乙两人一天共加工零件35个，甲每天加工零件的个数比乙每天加工零件的个数多5个．(1)问甲、乙两人每天各加工多少个零件？(2)现在工厂需要加工零件600个，先由两人合作一段时间，剩下的全部由乙单独完成，恰好20天完成任务，求两人合作的天数．类型四、销售利润应用【解惑】某商品的标价为200元，若降价以九折出售仍可获利30元，则该商品的进货价是（

）A．180 B．150 C．130 D．120【融会贯通】1.（2023春·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）一家玩具店售出两件商品，一件盈利，一件亏损，且两件商品的售出价格均为240元，请问：实出这两件商品，店家是(

)A．不亏不赚 B．盈利20元 C．亏损20元 D．以上均错误2．（2023春·河南周口·七年级统考阶段练习）2022天猫双11期间，某商场进行促销活动，发布两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款156元，则所购商品的标价是元．3．（2023秋·山西太原·七年级校考期末）某店铺举行庆新年促销活动，将一批进价为80元/条的短裤按标价的八折出售，每条短裤的利润率为，则这批短裤每条的标价为元．4．（2023秋·全国·七年级专题练习）某顾客在商场搞活动期间，分别以折和折的优惠购买了甲、乙两种商品，共付款元，这两种商品原价总和为元，求甲、乙两种商品的原价．5．（2023秋·广西桂林·七年级统考期末）已知甲、乙两超市相同商品的标价都一样，为促销，两超市在元旦节期间分别推出如下促销方式：

在促销活动期间：(1)当购物总额是500元时，求甲、乙两家超市实付款分别是多少元？(2)某顾客在乙超市购物实际付款490元，若该顾客在甲超市购买同样的物品应付多少元？类型五、古代应用【解惑】中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，《孙子算经》中有这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何．这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一辆车，则剩余两辆车是空的；每两人共乘一辆车，则剩余九个人无车可乘，问车和人各多少．若我们设有辆车，则可列方程（

）A． B． C． D．【融会贯通】1．（2023秋·河南漯河·七年级统考期末）我国明代著名数学家程大位的《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设杆长为尺，根据题意列一元一次方程，正确的是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）我国古代《孙子算经》记载了这样一个数学问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车有几何？意思是”每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，则车有辆．3．（2023春·江西上饶·七年级统考期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图2所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图3是另一个三阶幻方，则的值为．

4．（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）古希腊数学家丢番图（公元3～4世纪），是代数学的创始人之一．在他的墓碑上记载着：“他生命的是幸福的童年；再活了他生命的，两䎦长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了．”(1)设丢番图的寿命为x岁，根据题意得儿子出生时丢番图的年龄为_________岁，儿子的寿命为_________岁；(2)用你喜欢的方式，求出丢番图和儿子的寿命分别为多少岁？5．（2022秋·湖北十堰·七年级十堰市实验中学校考期中）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，问有多少间房？多少人？类型六、方案应用【解惑】某校七年级一班分小组进行课外兴趣活动，若每组6人，则余4人，若每组7人，则不足5人，则全班的人数为（

）A．60人 B．58人 C．62人 D．59人【融会贯通】1．（2023春·浙江湖州·七年级校联考期中）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，图书y本，则可以列方程为（

）A． B．C． D．2．（2022秋·河北邯郸·七年级统考期末）已知七年级学生小张的小区、市图书馆和万达电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张周六上午带了100元现金先从小区门口乘出租车去了市图书馆，付车费8元；中午再从市图书馆乘出租车去了万达电影院，付车费元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，超过3公里后的部分按n元/公里计费．（1），；（2）乘坐出租车x公里（x超过3公里）时的车费为元．（用含x的式子表示）3．（2023秋·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）某超市在“五一”活动期间，推出如下购物优惠方案：①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；③一次性购物在350元（含350元）以上一律享受八折优惠；小明在该超市两次购物分别付款60元和288元．若小明把这两次购物改为一次性购物，则应付款元．4．（2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）按照“双减”政策，为丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案：A方案：买一个篮球送一条跳绳；B方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款．已知要购买篮球50个，跳绳x条（）(1)若按A方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）；若按B方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）．(2)购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？(3)当时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？5．（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）为了增强学生的身体素质，丰富学生的课余生活，我县各个学校都开展了各具特色的“阳光体育大课间活动”．七年级3班和4班的班长一起去体育用品商店，准备给每位同学购买一根跳绳．了解到该店跳绳的单价及优惠方案如下图所示．已知两个班共有学生79人，其中3班人数超过40人但不超过45人．(1)若3班有学生44人，以班级为单位每人购买一根跳绳，则两个班共付钱多少元？(2)若以班级为单位每人购买一根跳绳，两个班共付钱1340元．①问两个班级各有多少人？②两位班长通过讨论和计算，发现有一种购买方案最省钱．请你写出最省钱的购买方案，并通过计算说明理由．类型七、数字应用【解惑】一个两位数个位上的数是1，十位上的数是．把1与对调，新两位数比原两位数大9．根据题意列出的方程为（

）A． B．C． D．【融会贯通】1．（2023·全国·七年级假期作业）三个连续奇数的和是15，那么其中最大的奇数是（

）A．5 B．7 C．9 D．112．（2022秋·广东梅州·八年级广东梅县东山中学校考阶段练习）一个两位数，个位上数字是十位上数字的2倍，且这两个数字之和等于12，则这个两位数是3．（2023春·上海徐汇·六年级上海市西南位育中学校考阶段练习）甲数减去乙数的差为45，且这两个数的比是，则较大的数为4．（2023秋·全国·七年级专题练习）有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小，十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的，求这个两位数．5．（2023·江苏·七年级假期作业）阅读与理解：用下面的方法可以把循环小数化成分数：设，，可得方程：，解得，即．参考以上方法，解决下面的问题．(1)把化成分数．(2)把化成分数．(3)把化成分数．(4)通过阅读，解题，你有什么发现与收获吗？类型八、几何应用【解惑】如图，长方形的周长为26，其内部用一些正方形铺满，则正方形的边长为(

)

A．3 B．4 C．5 D．6【融会贯通】1．（2022秋·山西忻州·七年级校考阶段练习）如图，4块相同的长方形纸板拼成了一个图案，设每块纸板的宽为，根据题意列出的方程为（

）

A． B． C． D．以上都不对2．（2023秋·广西桂林·七年级统考期末）如图，一个长方形恰好被分成6个正方形，已知最小的正方形A的边长为a，则这个长方形的周长为．（结果用含a的代数式表示）3．（2023秋·河北秦皇岛·七年级统考期末）如图，在长方形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动；点沿边从点开始向点以的速度移动，如果同时出发，用（）表示移动的时间，那么：

（1）如图1，当时，线段的长度等于线段的长度；（2）如图2，当时，与的长度之和是长方形周长的；（3）如图3，点到达后继续运动，到达点后停止运动；到达后也继续运动，当点停止运动的同时点也停止运动，当时，线段的长度等于线段长度的一半．4．（2022秋·湖北武汉·七年级校考期中）依次剪张正方形纸片拼成如图示意的图形，图形中正方形①的边长为1，正方形③的边长为．

(1)请用含的式子直接写出正方形⑤的边长；(2)若正方形⑥与正方形④的周长相等，求正方形②和正方形⑤的面积比．5．（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）如图，在矩形中，，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒的速度向B移动，到B停止移动，点Q以每秒的速度向D移动．

(1)P，Q两点出发多少秒时，四边形PBCQ的面积为；(2)是否存在某一时刻，使为正方形．若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由．类型九、和差倍分应用【解惑】蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿，现有蜘蛛和蜻蜓若干只，它们共有120条腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的2倍．问蜘蛛和蜻蜓各有多少只？”若设蜘蛛有x只，则x满足的方程为（

）A． B．C． D．【融会贯通】1．（2023·浙江宁波·校考二模）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题；今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设鸡x只，根据题意，可列出的方程是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·黑龙江绥化·六年级统考期末）甲数的与乙数的相等，如果甲数是90，则乙数是．3．（2023秋·全国·七年级专题练习）小明、小杰两人共有100本图书，如果小杰送给小明15本，两人的图书就一样多．如果设小明原来有本图书，根据题意，可以列出方程：．4．（2023·陕西·统考中考真题）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．5．（2023春·上海·六年级上海市进才实验中学校考期中）某中学六年级三个班的同学分别向贫困地区的希望小学捐款图书，已知三个班级学生捐款图书册数之比为，如果他们共捐了198册，那么这三个班级各捐多少册?类型十、电费、水费应用【解惑】小红所在城市的居民用水实行“阶梯价格”收费，收费办法是：每户用水不超过，每立方米水费元；超过，每立方米加收1.05元，小红家今年3月份用水，缴纳水费89.6元，根据题意列出关于的方程，正确的是（

）A． B．C． D．【融会贯通】1．（2022秋·山东枣庄·七年级校考期末）小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费元；超过5吨，超过部分每吨加收3元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于的方程正确的是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）李某经营两个门市，今年12月份用水情况和水务公司自来水收费标准如下表．表一：月用水量不超过12吨的部分超过12吨且不超过18吨的部分超过18吨的部分收费标准2元/吨2.5元/吨3元/吨表二：12月份用水情况费用门市A、门市B都有用水量，一共用水30吨，且门市B的用水量小于12吨．共缴水费65元则门市A的用水量是吨．3．（2022秋·黑龙江大庆·七年级大庆市第三十六中学校考期末）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户月份交水费元，则所用水为吨．月用水量不超过吨的部分超过吨不超过吨的部分超过吨的部分收费标准（元/吨）4．（2023秋·湖南益阳·七年级统考期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如下图．价目表每月用水量单价不超过的部分3元超过不超过的部分4元超过的部分6元注：水费按月结算(1)若某户居民1月份用水，则水费为_________元．(2)若某户居民某月用水，请用含x的代数式表示水费．(3)若某户居民3，4月份共用水，且4月份用水量超过，3月份用水量超过，共交水费94元，则该户居民3、4月份各用水多少m³?5．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）为鼓励居民节约用电，某市电力公司实行“阶梯电价”收费，收费标准如下表：每户每月用电量（度）电费（元/度）不超过200度超过200度且不超过500度的部分超过500度的部分(1)小明家今年3月份用电310度，求小明家3月份应缴电费多少元？(2)小明家今年7月份用电增大，7月份的平均电价为元/度，求小明家今年7月份用电多少度？

04一元一次方程【专题过关】类型一、行程应用【解惑】一位外卖员骑电动车需在规定时间内把水果送到某地，若每小时骑行55km，则早到10min，若每小时骑行50km，则迟到5min，求外卖员行驶的路程．若设外卖员行驶的路程为xkm，则列方程为（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】根据规定时间=快骑时间+提前时间=慢骑时间-迟到时间，列出等式即可．【详解】根据规定时间=快骑时间+提前时间=慢骑时间-迟到时间，列方程，得，故选C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答时注意单位的统一是解题的关键．【融会贯通】1．（2023秋·重庆南岸·七年级校考期末）轮船从港顺流行驶到港，比从港原路逆流返回港少用3小时，若船在静水中的速度为27千米/时，水流的速度为2千米/时，求港和港相距多少千米？设港和港相距千米．根据题意，可列出的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】轮船从A港顺流行驶到B港，则由B港返回A港就是逆水行驶，求出顺流行驶的速度和逆流行驶的速度，再根据“轮船从港顺流行驶到港，比从港原路逆流返回港少用3小时”得出等量关系，据此列出方程即可．【详解】设A港和B港相距x千米，可得方程．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．2．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）星期天，小明一家从家里出发去奶奶家，爸爸骑自行车先走，速度为10千米/时，30分钟后妈妈开车和小明一起出发，速度为50千米/时，结果3人同时到达奶奶家，小明家距奶奶家的路程为千米．【答案】6.25//【分析】设小明家到奶奶家的路程为，根据3人同时到达奶奶家列出方程即可求解．【详解】解：设小明家到奶奶家的路程为，由题意得：解得；故答案为：【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．注意时间的单位换算．3．（2023·陕西榆林·校考二模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架它的代数成主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就《九章算术》中有这样个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，若走路慢白人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是．【答案】【分析】根据两人行走的路程相等列方程即可．【详解】解：设走路快的人要走x步才能追上，则走路慢的人走步，依题意，得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是根据走路快的人所走的路程表示出行走时间．4．（2022秋·安徽淮北·七年级校考期中）如图，某公园的一个荷花塘是边长为的正方形，甲、乙两人同时从顶点A出发，甲以的速度沿正方形的边按顺时针方向慢跑，即A→D→C→B→A；乙以的速度沿正方形的边按逆时针方向慢跑，即A→B→C→D→A

(1)当他们第一次相遇时，求：①甲跑了多长时间；②他们相遇的地点离哪个点最近？求最近的距离；(2)请直接写出15min内（包含15min），他们一共相遇了次，最后一次相遇的地点离哪个顶点最近，求最近的距离．【答案】(1)①；②离点B最近，最近距离为(2)28；点B最近，最近距离为【分析】（1）①设第1次相遇的时间为，再利用路程和为正方形的周长建立方程求解即可；②计算乙运动的路程，从而可得答案；（2）由每32秒相遇一次，第1次相遇点在边上，离点B最近处，第2次相遇点在上，离点D最近处，第3次相遇点为出发点A，第4次相遇点同第1次，以此类推，再计算两人相遇了多少次即可．【详解】（1）解：①设第1次相遇的时间为，依题意有，解得．答：第一次相遇时，甲跑了；②∵．．即第1次相遇点在边上，离点B最近，最近距离为．（2）∵，∵每32秒相遇一次，第1次相遇点在边上，离点B最近处，第2次相遇点在上，离点D最近处，第3次相遇点为出发点A，第4次相遇点同第1次，以此类推，而（次）∴最后一次相遇离点B最近，最近距离为．【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，行程问题中的规律探究，确定相等关系，掌握探究的方法是解本题的关键．5.（2022秋·全国·七年级专题练习）一列火车匀速行驶，经过一条长300米的隧道需要20秒的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒．求这列火车的长度．小冉根据学习解决应用问题的经验对上面问题进行了探究，下面是小冉的探究过程，请补充完成：设这列火车的长度是x米，那么（1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是米，这段时间内火车的平均速度是米/秒；（2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是米，这段时间内火车的平均速度是米/秒；（3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是；（4）由此可以列出方程并求解出这列火车的长度（请列方程求解）【答案】（1）x，；（2）（x+300）；；（3）相等；（4）这列火车的长度300m．【分析】（1）火车长度为xm，根据题意列出代数式即可；（2）根据题意列出代数式即可；（3）上述问题中火车的平均速度不发生变化；（4）根据速度相等列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】(1)根据题意得：从车头经过灯下到车尾经过灯下火车所走的路程为xm，这段时间内火车的平均速度m/s.故答案为x,；(2)从车头进入隧道到车尾离开隧道火车所走的路程为(x+300)m，这段时间内火车的平均速度为m/s.故答案为(x+300);；(3)速度没有发生变化，即火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是相等．故答案为相等；(4)根据题意得：，解得：x=300.答：这列火车的长度300m.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,解答本题注意理解“完全通过”的含义,完全通过:火车所走的路程=隧道长度+火车长度.类型二、配套应用【解惑】某车间有名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺栓个或螺母个，若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据每天生产的螺栓和螺母按配套，可得出方程．【详解】由题意得分配名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母．依题意得：．故选：．【点睛】此题考查了根据实际问题抽象一元一次方程，解题的关键是要保证配套，则生产的螺母的数量是生产的螺栓数量的倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的倍螺母数量．【融会贯通】1．（2023秋·福建宁德·七年级校考期末）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1根木材可以制作20个桌面或者制作400条桌腿，现有12根木材，要使制作出来的桌面和桌腿恰好都配成桌子，应利用多少根木材来制作桌面？（

）A．10 B．8 C．6 D．2【答案】A【分析】设应利用根木材来制作桌面，则利用根木材来制作桌腿，根据制作的桌腿总数量是制作的桌面总数量的4倍，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论.【详解】解：设应利用根木材来制作桌面，则利用根木材来制作桌腿，依题意得：，解得：，故选：A.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.2．（2023秋·山东日照·七年级校考期末）用铝片做听装易拉饮料瓶，每张铝片可制瓶身16个或瓶底43个，一个瓶身配两个瓶底。现有150张铝片，用多少张制瓶身，多少张制瓶底，可以正好制成成套的饮料瓶？解：设用x张做瓶身，可列方程为。【答案】【分析】设用x张铝片做瓶身，则用张铝片做瓶底，通过理解题意可知本题的等量关系，即瓶底个数=瓶身个数的两倍。根据这个等量关系，可列出方程，再求解。【详解】设用x张铝片做瓶身，则用张铝片做瓶底，根据题意得：，故答案为：。【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，正确理解：一个瓶身配两个瓶底是解题的关键。3.（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织初一年级200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为套．【答案】80【分析】根据题意可设2x人搬桌子，则可搬桌子x张，有（200-2x）人搬椅子，可搬椅子2（200-2x）把，要想搬的桌椅配套数尽可能的多，可得x=2（200-2x），然后列出方程求解即可．【详解】解：设搬桌子的有2x人，则搬椅子的有（200-2x）人，由题意可得：x=2（200-2x），解得x=80，∴最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为80，故答案为：80．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．4．（2023秋·河北邢台·七年级校联考期末）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需要3个甲种零件和1个乙种零件正好配套，已知车间每天能生产甲种零件540个或乙种零件120个，现要在10天中使所生产的甲、乙两种零件全部配套，那么应该安排多少天生产甲种零件，多少天生产乙种零件？【答案】应该安排4天生产甲种零件，则安排6天生产乙种零件．【分析】根据题意表示出甲乙两件的个数，再利用每台豆浆机需3个甲种零件和1个乙种零件正好配套得出等式，求出答案．【详解】解：设应该安排x天生产甲种零件，则安排天生产乙种零件，根据题意可得：，解得：，则（天），答：应该安排4天生产甲种零件，则安排6天生产乙种零件．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．5．（2023秋·贵州遵义·七年级统考期末）在“双减”政策背景下，为丰富课后延时服务，某中学开设了手工制作活动课，在活动课上，辅导老师组织兴趣小组学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒，已知该兴趣小组共有学生50人，其中女生人数比男生人数多2人，并且每名学生每节课能制作筒身8个或筒底24个．(1)该兴趣小组有男生、女生各多少人？(2)原计划男生负责制作筒底，女姓负责制作筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么男生应向女生支援多少人时，才能使每节课制作的筒身与筒底配套．【答案】(1)七年级2班有男生有24人，则女生有26人(2)男生应向女生支援4人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底相同【分析】（1）设七年级2班有男生有x人，则女生有人，根据等量关系列出方程，再解即可；（2）设男生应向女生支援y人，根据制作筒底的数量=筒身的数量×2，根据等量关系列出方程，再解即可．【详解】（1）设七年级2班有男生有人，则女生有人，由题意得：，解得：，女生：（人）答：七年级2班有男生有24人，则女生有26人；（2）设男生应向女生支援人，由题意得：，解得：，答：男生应向女生支援4人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底相同．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．类型三、工程应用【解惑】某工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，现由甲先做天，乙再加入合作，直至完成这项工程，求甲完成这项工程所用的时间．若设甲完成此项工程一共用天，则下列方程正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设甲完成此项工程一共用天，则乙完成此项工程共用天，根据甲完成的部分乙完成的部分整个工作量，即可列出关于的一元一次方程．【详解】解：设甲完成此项工程一共用天，则乙完成此项工程共用天，根据题意得：，故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键．【融会贯通】1．（2023春·安徽宿州·九年级统考期中）某工人在规定的时间内做完一批零件，若每小时做个就可以超额完成个，若每小时做个就可以提前完成，则这批零件一共有多少个？设这批零件一共有个，则根据题意得到的正确方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据工作总量等于工作效率乘以工作时间，设这批零件一共有个，则每小时做个就可以超额完成个，工作总量为：，工作时间为：，再根据每小时做个就可以提前完成，列出方程，即可．【详解】设这批零件一共有个，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握工作总量等于工作效率乘以工作时间，列出方程．2．（2023秋·河南商丘·七年级统考期末）一项工作，甲单独做需9天完成，乙单独做需12天完成，如果两人合做几天后，余下的工作再由甲单独做2天完成，则甲、乙两人合做了天．【答案】4【分析】设甲、乙两人合做了x天，甲单独做需9天完成，乙单独做需12天完成，则甲每天完成任务的，乙每天完成任务的，再由各部分的工作量之和等于总工作量列方程，解这个方程即可．【详解】解：设甲、乙两人合做了x天，可得方程：，解得：，答：甲、乙两人合做了4天．故答案为：4．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．列方程解应用题的关键是正确找出题目中的相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个部分，把列方程的问题转化为列代数式的问题．3．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）某工程队承包了全段全长米的过江隧道任务，甲、乙两个班组分别从东西两端同时掘进，已知甲比乙平均每天多掘进，经过五天施工，两组共掘进米，为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进，乙组平均每天比原来多掘进，照此施工速度，能够比原来少天完成任务．【答案】29【分析】设乙组原来平均每天掘进，则甲组原来平均每天掘进，根据“经过五天施工，两组共掘进米”列出方程，解得，则乙组原来平均每天掘进，甲组原来平均每天掘进，则按照原来进度还需要（天），根据题意可得在剩余的工程中，甲组平均每天掘进，乙组平均每天掘进，照此施工速度，还需：（天），再用现在的天数减去原来的天数即可解答．【详解】解：设乙组原来平均每天掘进，则甲组原来平均每天掘进，根据题意得，，解得：，则，∴乙组原来平均每天掘进，甲组原来平均每天掘进，则按照原来进度还需要：（天），∵在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进，乙组平均每天比原来多掘进，∴现在甲组平均每天掘进，乙组平均每天掘进6m，照此施工速度，还需：（天），∵（天），∴照此施工速度，能够比原来少29天完成任务．故答案为：29．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系，列出方程是解题关键．4．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）某公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场．现在甲、乙两个加工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工这批产品多用20天，甲工厂每天可加工16件产品，乙工厂每天可加工24件产品．(1)求这个公司要加工新产品的件数．(2)在加工过程中，公司需支付甲工厂每天加工费80元，乙工厂每天加工费120元．公司还需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费．公司制定产品加工方案如下：可由一个工厂单独加工完成，也可由两个工厂合作同时完成．当两个工厂合作时，这名工程师轮流去这两个工厂．请你通过计算帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种既省钱，又省时间的加工方案．【答案】(1)这个公司要加工960件新产品(2)该公司应选择第③种方案，由两个工厂合作同时完成时，既省钱，又省时间【分析】（1）设这个公司要加工x件新产品，根据甲工厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工这批产品多用20天，甲工厂每天可加工16件产品，乙工厂每天可加工24件产品，列出方程式，解出即可；（2）分别计算三种情况所需要的天数和费用，进行比较即可．【详解】（1）解：设这个公司要加工x件新产品，根据题意，得，解得，答：这个公司要加工960件新产品；（2）解：方案①：由甲工厂单独加工需耗时（天，需要费用（元）；方案②：由乙工厂单独加工需耗时（天），需要费用（元）；方案③：由两厂共同加工需耗时（天），需要费用（元）．所以该公司应选择第③种方案，由两个工厂合作同时完成时，既省钱，又省时间．【点睛】本题主要考查一元一次方程和最优方案问题，要认真读题，列出相应的方程．5．（2023秋·全国·七年级专题练习）甲、乙两人加工机器零件，已知甲、乙两人一天共加工零件35个，甲每天加工零件的个数比乙每天加工零件的个数多5个．(1)问甲、乙两人每天各加工多少个零件？(2)现在工厂需要加工零件600个，先由两人合作一段时间，剩下的全部由乙单独完成，恰好20天完成任务，求两人合作的天数．【答案】(1)甲每天加工零件个数为20个，乙每天加工15个(2)两人合作的天数15天【分析】（1）设乙每天加工零件个数为x个，则甲每天加工个，根据甲、乙两人一天共加工零件35个列出方程，解方程即可；（2）设两个人合作的天数为y天，根据甲、乙两人共加工600个零件，列出方程解方程即可．【详解】（1）解：设乙每天加工零件个数为x个，则甲每天加工个，根据题意得：，解得：，（个），答：甲每天加工零件个数为20个，乙每天加工15个；（2）解：设两个人合作的天数为y天，根据题意得：，解得：，答：两人合作的天数15天．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，准确计算．类型四、销售利润应用【解惑】某商品的标价为200元，若降价以九折出售仍可获利30元，则该商品的进货价是（

）A．180 B．150 C．130 D．120【答案】B【分析】设该商品的进货价是x元，根据售价减进价等于利润即可列出关于x的方程，解方程即得答案.【详解】解：设该商品的进货价是x元，根据题意得：，解得：；故选：B.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键.【融会贯通】1.（2023春·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）一家玩具店售出两件商品，一件盈利，一件亏损，且两件商品的售出价格均为240元，请问：实出这两件商品，店家是(

)A．不亏不赚 B．盈利20元 C．亏损20元 D．以上均错误【答案】C【分析】设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，根据销售收入减去进价等于利润，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再由两件商品的销售收入和成本，即可得出商店卖这两件商品总的收入．【详解】解：设盈利的商品的进价是x元，根据进价与得润的和等于售价列得方程:，解得，类似地，设另一件亏损商品的进价为y元，它的商品利润是元，列方程，解得：，∴这两件商品的进价是元，而两件商品的售价为元.∴元，因此，这两件商品亏损20元，故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．（2023春·河南周口·七年级统考阶段练习）2022天猫双11期间，某商场进行促销活动，发布两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款156元，则所购商品的标价是元．【答案】103或88/88或103【分析】设所购商品的标价是x元，然后根据两人共付款156元的等量关系，分所购商品的标价小于90元和大于90元两种情况，分别列出方程求解即可．【详解】解：设所购商品的标价是x元，则①所购商品的标价小于90元，，解得；②所购商品的标价大于90元，，解得．故所购商品的标价是103或88元．故答案为：103或88．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键．3．（2023秋·山西太原·七年级校考期末）某店铺举行庆新年促销活动，将一批进价为80元/条的短裤按标价的八折出售，每条短裤的利润率为，则这批短裤每条的标价为元．【答案】120【分析】设这批短裤每条的标价为元，根据题意列方程求解，即可得到答案．【详解】解：设这批短裤每条的标价为元，由题意得：，解得：，即这批短裤每条的标价为120元，故答案为：120．【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意正确列方程是解题关键．4．（2023秋·全国·七年级专题练习）某顾客在商场搞活动期间，分别以折和折的优惠购买了甲、乙两种商品，共付款元，这两种商品原价总和为元，求甲、乙两种商品的原价．【答案】甲商品的原价为元，乙商品的原价为元．【分析】根据题意的数量关系列方程即可．【详解】解：设甲商品的原价为元，则乙商品的原价为元，根据题意得：，解得：，则．答：甲商品的原价为元，乙商品的原价为元．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出关于的一元一次方程是解题的关键．5．（2023秋·广西桂林·七年级统考期末）已知甲、乙两超市相同商品的标价都一样，为促销，两超市在元旦节期间分别推出如下促销方式：

在促销活动期间：(1)当购物总额是500元时，求甲、乙两家超市实付款分别是多少元？(2)某顾客在乙超市购物实际付款490元，若该顾客在甲超市购买同样的物品应付多少元？【答案】(1)甲超市440元，乙超市450元(2)484元【分析】（1）分别根据两个超市的优惠方案，分别打八八折和九折计算即可；（2）首先判断出购物总额多于500元，设购物总额为x元，根据实际付款490元，列出方程，解之，再按甲超市的优惠方案计算即可．【详解】（1）解：当购物总额是500元时，甲超市：元；乙超市：元；（2）∵在乙超市购物总额是500元时，实付款为450元，∴当实际付款490元时，购物总额多于500元，设购物总额为x元，由题意可得：，解得：，∴购物总额为550元，∴若该顾客在甲超市购买同样的物品应付元．【点睛】本题考查了有理数的乘法，一元一次方程的应用，解题的关键是根据实际付款推算出购物总额的情况．类型五、古代应用【解惑】中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，《孙子算经》中有这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何．这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一辆车，则剩余两辆车是空的；每两人共乘一辆车，则剩余九个人无车可乘，问车和人各多少．若我们设有辆车，则可列方程（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设有辆车，根据每3人共乘一车，最终剩余2辆车（其余车辆均坐满），则共有人；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，列出方程即可．【详解】解：设有辆车，则可列方程：．故选：A．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．【融会贯通】1．（2023秋·河南漯河·七年级统考期末）我国明代著名数学家程大位的《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设杆长为尺，根据题意列一元一次方程，正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】设杆长为尺，则绳索为尺，根据将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，即可得出关于x一元一次方程．【详解】解：设杆子为x尺，则绳索为尺，根据题意得：，故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．2．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）我国古代《孙子算经》记载了这样一个数学问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车有几何？意思是”每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，则车有辆．【答案】15【分析】利用人的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可．【详解】解：设共有x辆车，则有人，根据题意得，解得，，故答案为：【点睛】本题考查了一元一次方程解决实际问题，正确列出一元一次方程是解题的关键．3．（2023春·江西上饶·七年级统考期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图2所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图3是另一个三阶幻方，则的值为．

【答案】【分析】根据幻方中的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，可得关于，的一元一次方程，解之即可．【详解】解：根据题意可知，，，将代入中，解得：故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．4．（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）古希腊数学家丢番图（公元3～4世纪），是代数学的创始人之一．在他的墓碑上记载着：“他生命的是幸福的童年；再活了他生命的，两䎦长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了．”(1)设丢番图的寿命为x岁，根据题意得儿子出生时丢番图的年龄为_________岁，儿子的寿命为_________岁；(2)用你喜欢的方式，求出丢番图和儿子的寿命分别为多少岁？【答案】(1)(2)丢番图的寿命为84岁，儿子的寿命为42岁【分析】（1）根据他生命的是幸福的童年；再活了他生命的，两䎦长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；再过5年，他有了儿子列式即可，再根据儿子只活了他全部年龄的一半列式；（2）设丢番图的寿命为岁，则根据题中的描述他的年龄的童年生命的年儿子的年龄年，可列出方程，即可求解．【详解】（1）解：设丢番图的寿命为x岁，根据题意得儿子出生时丢番图的年龄为岁，儿子的寿命为岁,故答案为：，；（2）设丢番图的寿命为岁，根据题意得：，解得：，当时，可得儿子的寿命为，答：丢番图的寿命为84岁，儿子的寿命为42岁．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出丢番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解．5．（2022秋·湖北十堰·七年级十堰市实验中学校考期中）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，问有多少间房？多少人？【答案】有8间房，63人【分析】设店中共有间房，根据住店的人数不变，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论.【详解】解：设有间房，由题意得：，解得．人．答：有8间房，63人.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.类型六、方案应用【解惑】某校七年级一班分小组进行课外兴趣活动，若每组6人，则余4人，若每组7人，则不足5人，则全班的人数为（

）A．60人 B．58人 C．62人 D．59人【答案】B【分析】根据若每组6人，则余4人，若每组7人，则不足5人的等量关系，列方程，即可求解．【详解】设有x个兴趣小组由题意得：解得：∴全班的人数为：（人）故选：B【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．【融会贯通】1．（2023春·浙江湖州·七年级校联考期中）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，图书y本，则可以列方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设这个班有学生x人，图书y本，根据每人分3本，则剩余20本可知图书数为本，班级人数为人；根据每人分4本，则缺25本可知图书数为本，班级人数为人，由此列出方程即可．【详解】解：设这个班有学生x人，图书y本，由题意得，，，故选B．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．2．（2022秋·河北邯郸·七年级统考期末）已知七年级学生小张的小区、市图书馆和万达电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张周六上午带了100元现金先从小区门口乘出租车去了市图书馆，付车费8元；中午再从市图书馆乘出租车去了万达电影院，付车费元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，超过3公里后的部分按n元/公里计费．（1），；（2）乘坐出租车x公里（x超过3公里）时的车费为元．（用含x的式子表示）【答案】8【分析】（1）根据题意，不超过3公里计费为m元，由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，可由此得出m,由出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．当时，由收费与路程之间的关系就可以求出结论；（2）根据该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，超过3公里后按n元/公里计费，即可求解．【详解】解：（1）∵由图示可知小张的小区和市图书馆相距2公里，付费8元，∴，∵从市图书馆乘出租车去万达电影院，路程5公里，付费元，∴，解得：．故答案为：8，；（2）乘坐出租车x公里（x超过3公里）时的车费（用含x的代数式表示）为：元．故答案为：．【点睛】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解答时关键是理解出租车的付费方式．3．（2023秋·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）某超市在“五一”活动期间，推出如下购物优惠方案：①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；③一次性购物在350元（含350元）以上一律享受八折优惠；小明在该超市两次购物分别付款60元和288元．若小明把这两次购物改为一次性购物，则应付款元．【答案】304或336【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100元，即是60元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过350元一律9折；一种是购物不低于350元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数．【详解】解：第一次购物显然没有超过100元，即在第一次消费60元的情况下，他的实质购物价值只能是60元．第二次购物消费288元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：第一种情况：他消费超过100元但不足350元，这时候他是按照9折付款的．设第二次实质购物价值为x元，那么依题意有：，解得：．第二种情况：他消费不低于350元，这时候他是按照8折付款的．设第二次实质购物价值为a元，那么依题意有：，解得：．即在第二次消费288元的情况下，他的实际购物价值可能是320元或360元．综上所述，他两次购物的实质价值为或，均超过了350元．因此均可以按照8折付款：（元），（元）．故答案为:304或336．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物的288元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．4．（2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）按照“双减”政策，为丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案：A方案：买一个篮球送一条跳绳；B方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款．已知要购买篮球50个，跳绳x条（）(1)若按A方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）；若按B方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）．(2)购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？(3)当时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？【答案】(1)，(2)购买150根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多(3)按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款3950元【分析】（1）由题意按A方案购买可列式：，在按B方案购买可列式：；（2）由（1）列等式求解即可；（3）先算全按同一种方案进行购买，计算出两种方案所需付款金额，再根据A方案是买一个篮球送跳绳，B方案是篮球和跳绳都按定价的付款，考虑可以按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，计算出所需付款金额，进行比较即可．【详解】（1）解：A方案购买可列式：元；按B方案购买可列式：元；故答案为：，；（2）由（1）可知，当A、B两种方案所需要的钱数一样多时，即解得．答：购买150根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多．（3）当时，按A方案购买需付款：（元）；按B方案购买需付款：（元）；按A方案购买50个篮球配送50个跳绳，按B方案购买50个跳绳合计需付款：（元）；∵，∴省钱的购买方案是：按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款3950元．【点睛】此题考查的是列代数式并求值，也可作为一元一次方程来考查，因此做此类题需要掌握解应用题的能力．5．（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）为了增强学生的身体素质，丰富学生的课余生活，我县各个学校都开展了各具特色的“阳光体育大课间活动”．七年级3班和4班的班长一起去体育用品商店，准备给每位同学购买一根跳绳．了解到该店跳绳的单价及优惠方案如下图所示．已知两个班共有学生79人，其中3班人数超过40人但不超过45人．(1)若3班有学生44人，以班级为单位每人购买一根跳绳，则两个班共付钱多少元？(2)若以班级为单位每人购买一根跳绳，两个班共付钱1340元．①问两个班级各有多少人？②两位班长通过讨论和计算，发现有一种购买方案最省钱．请你写出最省钱的购买方案，并通过计算说明理由．【答案】(1)1334元(2)①七年级3班有41人，则七年级4班有38人；②最优惠的方案是两个班合起来买，多买2根，一共购买81根，最省钱，理由见解析【分析】（1）根据两个班的人数和跳绳的单价列式计算即可；（2）①设七年级3班有人，则七年级4班有人，根据两个班共付钱1340元列出方程解方程即可；②分别求出三种不同的购买方案需要花的钱数，然后进行比较即可．【详解】（1）解：（元）．答：两个班共付钱1334元．（2）解：3班人数超过40人但不超过45人，4班人数不少于34人但不到39人，①设七年级3班有人，则七年级4班有人，根据题意得：，解得：，经检验是方程的解，且符合题意，（人），答：七年级3班有41人，则七年级4班有38人．②Ⅰ：以班级为单位购买，四班多买3根，可以八折优惠，即：（元）；Ⅱ：两个班合起来买79根，可以八折优惠，即：（元）；Ⅲ：两个班合起来买，再多买2根，可以七五折优惠，即：，∵，最优惠的方案是两个班合起来买，多买2根，一共购买81根，最省钱．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程，准确计算．类型七、数字应用【解惑】一个两位数个位上的数是1，十位上的数是．把1与对调，新两位数比原两位数大9．根据题意列出的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先表示出原来的两位数和新两位数，根据新两位数比原两位数大9建立方程即可．【详解】解：由题意得：原两位数是，新两位数是则，故选：B．【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．【融会贯通】1．（2023·全国·七年级假期作业）三个连续奇数的和是15，那么其中最大的奇数是（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】B【分析】设出一个奇数，表示出另外两个数，列出方程解出这三个数，再计算它们的积．【详解】解：设中间的奇数为m，则，解得．则三个奇数分别为3，5，7，∴最大的奇数为7，故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．找到三个连续奇数间的数量关系是解题的关键．2．（2022秋·广东梅州·八年级广东梅县东山中学校考阶段练习）一个两位数，个位上数字是十位上数字的2倍，且这两个数字之和等于12，则这个两位数是【答案】48【分析】设十位上的数字是x，则个位上的数字是，利用个位数字加十位数字的和是12作为等量关系列方程求解．【详解】解：设十位上的数字是x，则个位上的数字是．由题意得：，解得：，则，所以该数为：48．故答案为：48．【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意正确列出方程是解决本题的关键．3．（2023春·上海徐汇·六年级上海市西南位育中学校考阶段练习）甲数减去乙数的差为45，且这两个数的比是，则较大的数为【答案】135【分析】设甲数为，乙数为，根据题意列一元一次方程，求解即可得到答案．【详解】解：设甲数为，乙数为，由题意得：，解得：，所以，较大的数为，故答案为：135．【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意正确列方程是解题关键．4．（2023秋·全国·七年级专题练习）有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小，十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的，求这个两位数．【答案】这个两位数为【分析】设十位上的数字为，则个位上的数字为，再根据十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的列出方程求解即可．【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为．依题意，得，去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为，得，所以．故这个两位数为．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键．5．（2023·江苏·七年级假期作业）阅读与理解：用下面的方法可以把循环小数化成分数：设，，可得方程：，解得，即．参考以上方法，解决下面的问题．(1)把化成分数．(2)把化成分数．(3)把化成分数．(4)通过阅读，解题，你有什么发现与收获吗？【答案】(1)(2)(3)(4)见详解【分析】（1）把循环小数化成一般写法，然后设循环小数，根据等式的性质，在等式两边同时乘变为第二个算式，再根据等式的性质，在方程两边同时减去，然后解方程即可；（2）把循环小数化成一般写法，然后设循环小数，根据等式的性质，在等式两边同时乘变为第二个算式，再根据等式的性质，在方程两边同时减去，然后解方程即可；（3）把循环小数化成一般写法，然后设循环小数，根据等式的性质，在等式两边同时乘、1000变为第二、三个算式，再根据等式的性质，得到关于的方程，然后解方程即可；（4）根据题意和解题过程说出自己的发现即可．【详解】（1）解：设，，，，，解得：；（2）设，，，，；（3）设，，，，，，；（4）我发现纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是，的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分．【点睛】本题考查了将无限循环小数化为分数的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据等式的性质建立一元一次方程是关键．类型八、几何应用【解惑】如图，长方形的周长为26，其内部用一些正方形铺满，则正方形的边长为(

)

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据，，，用只含有一个未知数的代数式表示出长方形的周长，即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值，进而求得答案．【详解】设正方形a的边长为a，正方形b的边长为b，正方形c的边长为c，正方形d的边长为d∵，∴．∴．∴．∴．∴．故选：C．【点睛】本题主要考查列一元一次方程解决问题，能运用数形结合思想，用含有未知数的代数式表示出等量关系得到一元一次方程是解题的关键．【融会贯通】1．（2022秋·山西忻州·七年级校考阶段练习）如图，4块相同的长方形纸板拼成了一个图案，设每块纸板的宽为，根据题意列出的方程为（

）

A． B． C． D．以上都不对【答案】B【分析】根据图形可知大长方形的长等于小长方形的长加上小长方形宽的2倍，小长方形的长等于小长方形宽的2倍，据此列出方程即可．【详解】解：设每块纸板的宽为，由题意得：，故选B．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确读懂图形是解题的关键．2．（2023秋·广西桂林·七年级统考期末）如图，一个长方形恰好被分成6个正方形，已知最小的正方形A的边长为a，则这个长方形的周长为．（结果用含a的代数式表示）

【答案】【分析】设正方形，的边长为b，分别表示出各个正方形的边长，根据大长方形的长相等列出方程，求出，再表示出大长方形的周长，代入化简即可．【详解】解：设正方形，的边长为b，∵最小的正方形A的边长为a，∴正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，则，整理得：，∴这个长方形的周长为，故答案为：．【点睛】本题考查了整式的加减的应用，一元一次方程，列代数式，解题的关键是找到等量关系．3．（2023秋·河北秦皇岛·七年级统考期末）如图，在长方形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动；点沿边从点开始向点以的速度移动，如果同时出发，用（）表示移动的时间，那么：

（1）如图1，当时，线段的长度等于线段的长度；（2）如图2，当时，与的长度之和是长方形周长的；（3）如图3，点到达后继续运动，到达点后停止运动；到达后也继续运动，当点停止运动的同时点也停止运动，当时，线段的长度等于线段长度的一半．【答案】/2秒/3秒．【分析】（1）根据题意得出，，再根据列出方程即可求解；（2）根据题意得出，，再利用与的长度之和是长方形周长的，列出方程即可求解；（3）根据题意得出，，再利用线段的长度等于线段长度的一半，列出方程求解即可．【详解】解：（1）由题意得：，，则，，，解得：；故答案为：；（2）∵在长方形中，，，长方形的周长为：()，∵，，与的长度之和是长方形周长的，∴，解得：；故答案为：；（3）由题可知，，，，，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用以及两点间的距离，熟练掌握动点问题中用表示线段长度是解题的关键．4．（2022秋·湖北武汉·七年级校考期中）依次剪张正方形纸片拼成如图示意的图形，图形中正方形①的边长为1，正方形③的边长为．

(1)请用含的式子直接写出正方形⑤的边长；(2)若正方形⑥与正方形④的周长相等，求正方形②和正方形⑤的面积比．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据图形可知正方形⑤的边长为正方形①与④的边长之和；（2）根据推理从而建立，即可算出面积比．【详解】（1）由题意正方形①的边长是，则正方形③的边长是，∴正方形④的边长是，∴正方形⑤的边长是，（2）由题意正方形①的边长是，则正方形③的边长是，∴正方形②的边长是，∴正方形⑥的边长是，∵正方形⑥与正方形④的周长相等，∴，解得：，∴正方形②和正方形⑤的面积比．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用与正方形的性质，结合图形用两种不同的形式表示同一个正方形的边长得出方程是解题的关键．5．（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）如图，在矩形中，，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒的速度向B移动，到B停止移动，点Q以每秒的速度向D移动．

(1)P，Q两点出发多少秒时，四边形PBCQ的面积为；(2)是否存在某一时刻，使为正方形．若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由．【答案】(1)4秒(2)不存在，理由见解析【分析】（1）设t秒后四边形的面积为，根据梯形的面积公式可列方程，然后解方程即可求解；（2）根据正方形的性质进行判断即可．【详解】（1）设t秒后四边形的面积为，根据题意，得：，由梯形的面积公式得，，即解得：（秒），答：P、Q两点出发后4秒时，四边形的面积为；（2）不存在．因为要使四边形为正方形，则需要满足，此时Q点运动的时间是秒，但同时P点运动3秒，，∵，∴不存在该时刻．使四边形成为正方形．【点睛】本题考查矩形的判定与性质、正方形的性质、解一元一次方程，熟练掌握矩形的性质和正方形的性质，学变“动”为“静”的解题思路是解答的关键．类型九、和差倍分应用【解惑】蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿，现有蜘蛛和蜻蜓若干只，它们共有120条腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的2倍．问蜘蛛和蜻蜓各有多少只？”若设蜘蛛有x只，则x满足的方