专题13坐标与旋转变换(原卷版+解析)

专题13坐标与旋转变换考点1：点的旋转；考点2：线段旋转；考点3：图形旋转。题型01点的旋转题型01点的旋转1．如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（）A．（3，2） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，3），以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A'，则点A'的坐标为（）A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（2，1） D．（0，2）3．（易错题）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，1），点A（4，1），以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转60°得到点B，在M1（﹣1，−3），M2（−33，0），M3（1，3−1），M4（2，2A．M1 B．M2 C．M3 D．M44．在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标．5．平面直角坐标系中，将点A（3，4）绕点B（1，0）旋转90°，得到点A的对应点A'的坐标为．6．（易错题）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（﹣3，3），将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为．题型02线段旋转题型02线段旋转7．如图，线段OA在平面直角坐标系内，A点坐标为（2，5），线段OA绕原点O逆时针旋转90°，得到线段OA'，则点A'的坐标为（）A．（﹣5，2） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）8．如图，在直角坐标系中，线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，则点C的对应点C1的坐标是（）A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，4） D．（﹣3，3）9．（易错题）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（）A．（2，5） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）10．如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是．11．（易错题）如图，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标，在某平面斜坐标系中，已知θ＝60°，点M的斜坐标为（3，2），点N与点M关于y轴对称，则点N的斜坐标为．12．（易错题）如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是．13．（易错题）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，1），点P（0，3），OM是第一象限的角平分线，过点A作直线AB垂直于y轴，交OM于点B，将线段PB绕点B顺时针旋转90°得到P1B．（Ⅰ）求PP1的长；（Ⅱ）求点P1的坐标．题型03图形旋转题型03图形旋转14．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（﹣1，0），现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C的坐标是（）A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，2） D．（﹣3，2）15．如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，5），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（）A．（203，103） B．（163，453） C．（203，4516．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=3x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点CA．（﹣1，3） B．（﹣2，3） C．（−3，1） D．（−17．（易错题）如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，点A在第二象限，点D在第一象限，AB＝23，OD＝4，将矩形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则点C对应点的坐标是（）A．（−3，1） B．（﹣1，3）C．（﹣1，3）或（1，−3） D．（−3，1）或（1，18．如图，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是19．如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，则点B′的坐标为．20．（易错题）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点B'坐标是．21．（易错题）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B″的坐标为．22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．

专题13坐标与旋转变换考点1：点的旋转；考点2：线段旋转；考点3：图形旋转。题型01点的旋转题型01点的旋转1．如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（）A．（3，2） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）解：作PQ⊥y轴于Q，如图，∵P（2，3），∴PQ＝2，OQ＝3，∵点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，∴点P′的坐标为（3，﹣2）．答案：D．2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，3），以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A'，则点A'的坐标为（）A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（2，1） D．（0，2）解：如图，作AE⊥y轴于E，A′F⊥x轴于F．∵∠AEO＝∠OFA′＝90°，∠AOE＝∠AOA′＝∠A′OF＝30°∴∠AOE＝∠A′OF，∵OA＝OA′，∴△AOE≌△A′OF（AAS），∴OF＝OE=3，A′F＝AE∴A′（3，1）．答案：A．3．（易错题）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，1），点A（4，1），以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转60°得到点B，在M1（﹣1，−3），M2（−33，0），M3（1，3−1），M4（2，2A．M1 B．M2 C．M3 D．M4解：∵点A（4，1），点P（0，1），∴PA⊥y轴，PA＝4，由旋转得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，如图，过点B作BC⊥y轴于C，∴∠BPC＝30°，∴BC＝2，PC＝23，∴B（2，1+23），设直线PB的解析式为：y＝kx+b，则2k+b=1+23∴k=3∴直线PB的解析式为：y=3x当x＝﹣1时，y=−3∴点M1（﹣1，−3）不在直线PB当x=−33时，∴M2（−33，0）在直线当x＝1时，y=3∴M3（1，3−1）不在直线PB当x＝2时，y＝23+∴M4（2，23）不在直线PB上．答案：B．4．在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标（﹣5，4）．解：如图，点A（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点B的坐标（﹣5，4）．答案：（﹣5，4）．5．平面直角坐标系中，将点A（3，4）绕点B（1，0）旋转90°，得到点A的对应点A'的坐标为（﹣3，2）或（5，﹣2）．解：如图，点A（3，4）绕点B（1，0）顺时针或逆时针旋转90°，得到点A的对应点A'的坐标为（5，﹣2），A″（﹣3，2）．答案：（﹣3，2）或（5，﹣2）．6．（易错题）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（﹣3，3），将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为（2，2）．解：如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F．∵∠AEC＝∠ACB＝∠CFB＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∠BCF+∠B＝90°，∴∠ACE＝∠B，在△AEC和△CFB中，∠AEC=∠CFB∠ACE=∠B∴△AEC≌△CFB（AAS），∴AE＝CF，EC＝BF，∵A（﹣3，3），C（﹣1，0），∴AE＝CF＝3，OC＝1，EC＝BF＝2，∴OF＝CF﹣OC＝2，∴B（2，2），答案：（2，2）．题型02线段旋转题型02线段旋转7．如图，线段OA在平面直角坐标系内，A点坐标为（2，5），线段OA绕原点O逆时针旋转90°，得到线段OA'，则点A'的坐标为（）A．（﹣5，2） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）解：过点A作AB⊥x轴于点B，过点A′作A′C⊥x轴于点C，如图，∵A点坐标为（2，5），∴OB＝2，AB＝5．由题意：∠AOA′＝90°，OA＝OA′．∴∠AOB+∠A′OC＝90°．∵∠A′OC+∠A′＝90°，∴∠A′＝∠AOB．在△A′OC和△OAB中，∠A′=∠AOB∠A′CO=∠OBA=90°∴△A′OC≌△OAB（AAS）．∴A′C＝OB＝2，OC＝AB＝5，∴A′（﹣5，2）．答案：A．8．如图，在直角坐标系中，线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，则点C的对应点C1的坐标是（）A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，4） D．（﹣3，3）解：连接AP，A1P．∵线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，∴A的对应点为A1，∴∠APA1＝90°，∴旋转角为90°，∴点C绕点P逆时针旋转90°得到的C1点的坐标为（﹣2，3），答案：A．9．（易错题）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（）A．（2，5） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′＝90°，∴AO＝A′O．作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，∴∠ACO＝∠A′C′O＝90°．∵∠COC′＝90°，∴∠AOA′﹣∠COA′＝∠COC′﹣∠COA′，∴∠AOC＝∠A′OC′．在△ACO和△A′C′O中，∠ACO=∠A′C′O∠AOC=∠A′OC′∴△ACO≌△A′C′O（AAS），∴AC＝A′C′，CO＝C′O．∵A（﹣2，5），∴AC＝2，CO＝5，∴A′C′＝2，OC′＝5，∴A′（5，2）．答案：B．10．如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是y＝2x﹣4．解：∵A（2，0），B（0，1）∴OA＝2，OB＝1过点C作CD⊥x轴于点D，则易知△ACD≌△BAO（AAS）∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝2∴C（3，2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C坐标代入得0=2k+b2=3k+b∴k=2∴直线AC的解析式为y＝2x﹣4．答案：y＝2x﹣4．11．（易错题）如图，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标，在某平面斜坐标系中，已知θ＝60°，点M的斜坐标为（3，2），点N与点M关于y轴对称，则点N的斜坐标为（﹣3，5）．解：如图作ND∥x轴交y轴于D，作NC∥y轴交x轴于C．MN交y轴于K．∵NK＝MK，∠DNK＝∠BMK，∠NKD＝∠MKB，∴△NDK≌△MBK，∴DN＝BM＝OC＝3，DK＝BK，在Rt△KBM中，BM＝3，∠MBK＝60°，∴∠BMK＝30°，∴DK＝BK=12BM∴OD＝5，∴N（﹣3，5），答案：（﹣3，5）12．（易错题）如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是（1，1）或（4，4）．解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示，∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），∴E点的坐标为（1，1）；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示，∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），∴M点的坐标为（4，4）．综上所述：这个旋转中心的坐标为（1，1）或（4，4）．答案：（1，1）或（4，4）．13．（易错题）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，1），点P（0，3），OM是第一象限的角平分线，过点A作直线AB垂直于y轴，交OM于点B，将线段PB绕点B顺时针旋转90°得到P1B．（Ⅰ）求PP1的长；（Ⅱ）求点P1的坐标．解：（Ⅰ）∵∠AOB＝45°，AB⊥y轴，∴∠OBA＝45°，∴OA＝AB＝1，∴PB=P∵∠PBP1＝90°，PB＝P1B，∴PP1=2PB=（Ⅱ）过P1点作P1E⊥x轴于E，交直线AB于F点，则P1F⊥AB，∵∠PBA+∠P1BF＝90°，∠PBA+∠APB＝90°，∴∠APB＝∠P1BF，在△PAB和△P1BF中，∠PAB=∠P1∴△PAB≌△P1FB（AAS），∴P1F＝AB＝1，BF＝PA＝2，∵AF∥OE，∴EF＝OA＝1，∴P1（3，2）．题型03图形旋转题型03图形旋转14．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（﹣1，0），现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C的坐标是（）A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，2） D．（﹣3，2）解：观察图象，可知C′（﹣2，3），答案：B．15．如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，5），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（）A．（203，103） B．（163，453） C．（203，45解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，∵A（2，5），∴OC＝2，AC=5由勾股定理得，OA=OC∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，∴OB＝2OC＝2×2＝4，由旋转的性质得，BO′＝OB＝4，∠A′BO′＝∠ABO，∴O′D＝4×5BD＝4×2∴OD＝OB+BD＝4+8∴点O′的坐标为（203，4答案：C．16．（易错题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=3x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点CA．（﹣1，3） B．（﹣2，3） C．（−3，1） D．（−解：作CH⊥x轴于H，如图，∵点B的坐标为（2，0），AB⊥x轴于点B，∴A点横坐标为2，当x＝2时，y=3x＝23∴A（2，23），∵△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，∴BC＝BA＝23，∠ABC＝60°，∴∠CBH＝30°，在Rt△CBH中，CH=12BCBH=3CHOH＝BH﹣OB＝3﹣2＝1，∴C（﹣1，3）．答案：A．17．（易错题）如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，点A在第二象限，点D在第一象限，AB＝23，OD＝4，将矩形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则点C对应点的坐标是（）A．（−3，1） B．（﹣1，3）C．（﹣1，3）或（1，−3） D．（−3，1）或（1，解：在矩形ABCD中，∵CD＝AB＝23，∠DCO＝90°，∵OD＝4，∴∠DOC＝60°，OC＝2，①当顺时针旋转至△OD′C′时，如图，∠D′OC′＝∠DOC＝60°，OC′＝OC＝2，过C′作C′E⊥OD′于E，则OE=12OC′＝1，C′E=32∴C′（1，−3②当逆时针旋转至△OD″C″时，如图，∠D″OC″＝∠DOC＝60°，OC″＝OC＝2，过C″作C″F⊥OD″于F，则OF=12OC″＝1，C″F=32∴C″（﹣1，3），综上所述：点C对应点的坐标是（1，−3），（﹣1，3答案：C．18．如图，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是解：直线y=−43x+4与x轴，y轴分别交于A（3，0），∵旋转前后三角形全等，∠O′AO＝90°，∠B′O′A＝90°∴OA＝O′A，OB＝O′B′，O′B′∥x轴，∴点B′的纵坐标为OA长，即为3，横坐标为OA+OB＝OA+O′B′＝3+4＝7，故点B′的坐标是（7，3），答案：（7，3）．19．如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，则点B′的坐标为（﹣4，8）．解：过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，∴∠B′MO＝∠BNO＝90°，∵OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，∴AN＝3，∴ON＝8，∵将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，∴∠BOB′＝90°，OB＝OB′，∴∠BOA′+∠B′OA′＝∠BOA+∠BOA′，∴∠BOA＝∠B′OA′，∴△NOB≌△MOB′（AAS），∴OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，∴B′（﹣4，8），答案：（﹣4，8）．20．（易错题）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点B'坐标是（﹣2，3）或（2，﹣3）．解：