05解直角三角形及其应用大题综合-【黄金冲刺】考前10天中考数学极限满分冲刺(浙江专用)原卷版+解析

05解直角三角形及其应用大题综合1．（2023·浙江绍兴·统考一模）某校数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学知识测量铁塔的高度，他们先在点D处用测角仪测得塔顶B的仰角为，再沿方向前行40米到达点A处，在点A处测得塔顶B的仰角为，已知测角仪高为米．请根据他们的测量数据，求此塔的高．（结果精确到，参考数据：，，）2．（2023·浙江台州·统考一模）图1是一个太阳能面板，其侧面如图2，点C是的中点，，支架可绕点C旋转，当太阳光线与面板垂直时，吸收光能的效率最高．若太阳光与地面夹角为，要想吸收光能的效率最高，求A端离地面的高度．（参考数据：）3．（2023·浙江丽水·统考一模）如图1，是一台小型输送机，其示意图如图2所示．已知两个支架的端点的距离，传输带与支架所成的角，支架端点离地面的高度，求支架端点离地面的高度．（结果精确到0.1m；参考数据，，）．4．（2023·浙江台州·统考一模）虎年岁末，台州进入轻轨时代，极大地方便了市民的出行，如图1是台州市城铁路线恩泽医院站出入口的自动扶梯，图2是其截面示意图，已知扶梯与购票厅地面的夹角，扶梯的长度为，求扶梯的底端C距离入口平台的高度．（结果精确到，参考数据：，，）正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．5．（2023·浙江台州·统考一模）如图1是一种可折叠的台灯，图2是台灯的结构图，是可以绕点A旋转的支架，是可以绕点B旋转的支架，C为灯泡的位置．量得，当，时，求点C到的距离．（参考数据，，，）6．（2023·浙江宁波·统考一模）如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）．经测量，可在和之间发生变化，（包含和），．(1)当时，求此时的长；(2)当从变为时，这个千斤顶升高了多少？（，，）7．（2023·浙江宁波·统考二模）图示为某校园的闸口，其双翼展开时为两个圆心角的扇形，，C、D处于同一水平线上且距离地面高度为，水平距离为．(1)求A点距离地面的高度（精确到）(2)为了起到有效的阻隔作用，要求，请通过计算说明该设备的安装是否符合要求．（参考数据）解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．8．（2023·浙江宁波·统考一模）读书架也称临帖架、书托架，可帮助我们解放双手和保护眼睛，非常适合书法人群和学生使用．图是实木读书架实物图，图是其侧面示意图，其工作原理是通过调节点在上的位置，来改变的倾斜角度．已知，，当点调节到图位置时，测得，，．(1)求点到的距离．(2)求的长．（参考数据：，，）9．（2023·浙江绍兴·统考一模）某次科学实验中，小王将某个棱长为10cm正方体木块固定于水平木板上，cm，将木板绕一端点O旋转至（即）（如图为该操作的截面示意图）．(1)求点C到竖直方向上升高度（即过点C，水平线之间的距离）；(2)求点D到竖直方向上升高度（即过点D，水平线之间的距离）．（参考数据：，（1）（2）题中结果精确到个位）解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．10．（2023·浙江宁波·统考一模）如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图．是缓降器的底板，压柄可以绕着点旋转，液压伸缩连接杆的端点分别固定在压柄与底板上，已知．(1)如图2，当压柄与底座垂直时，约为，求的长；(2)现将压柄从图2的位置旋转到与成角（即），如图3的所示，求此时液压伸缩连接杆的长．（结果保留根号）（参考数据：；）11．（2023·浙江温州·模拟预测）如图为某学校安装的红外线体温检测仪（如图1），该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆上下调节（如图2），已知探测最大角（）为，探测最小角（）为．(1)若该设备的安装高度为米时，求测温区域的宽度．(2)该校要求测温区域的宽度为米，请你帮助学校确定该设备的安装高度．（结果精确到米，参考数据：，，，，，）12．（2023·浙江舟山·统考一模）如图1是一种可折叠的台灯，图2是台灯的结构图，是可以绕点A旋转的支架，点C为灯泡的位置，灯罩可绕点C旋转．量得，，此时，且．(1)当，时（图2），求灯泡C所在的高度；(2)在（1）的条件下，旋转支架（固定）．当从变成（图3）时，且的度数不变，，求的值．（结果精确到0.1，参考数据：，，，，，）13．（2023·浙江宁波·校考一模）某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为，为支杆，它可绕点B旋转，其中长为，为悬杆，支杆与悬杆之间的夹角为．(1)如图2，当支杆与地面垂直，且灯泡悬挂点D距离地面的高度为，求的长；(2)在图2所示的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转，如图3，求此时灯泡悬挂点D到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，）14．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，从点处观测楼房的楼顶端点的仰角为，从点处沿着直线直走到达点，从点处观测楼顶端点的仰角为，观测广告牌端点的仰角为，求楼房的高度和广告牌的高度（结果精确到；参考数据：，，，，，，，，）．15．（2023·浙江宁波·统考一模）如图1是一架踏板式人字梯，如图2是其侧面结构示意图，左支撑架和右支撑架长度都为，最上一层的踏板侧面平行于地面，若支撑架的张角．(1)求的长．(2)求踏板到地面的距离（结果精确到)（参考数据：）16．（2023·浙江台州·台州市书生中学统考一模）如图是汽车尾门向上开启时的截面图，已知车高，尾门，当尾门开启时，，求点C离地面的高度．（参考数据：，结果精确到）17．（2023·浙江台州·统考一模）图1是一款笔记本电脑支架，它便于电脑散热，减轻使用者的颈椎压力．图2是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图．已知，互相平分于点O，，若，．(1)求的长．(2)求点D到底架的高．（结果精确到；参考数据：，，）18．（2023·浙江湖州·统考一模）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开启侧面示意图，具体数据如图所示（单位：）且，，箱盖开启过程中，点B，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点，的位置，点在线段的延长线上．若直线．(1)求旋转角的度数．(2)若，求的长度．19．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图1，一吸管杯放置在水平桌面上，矩形为其横截面，为吸管，其示意图如图2所示，．(1)当杯子盖上时，吸管绕点O按顺时针方向转动到处，求扫过的面积．(2)当杯子绕点C按顺时针方向转动到与水平线平行时（如图3）．①求杯子与水平线的夹角的度数．②由图2到图3，点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少厘米？（结果精确到，参考数据：）20．（2023·浙江宁波·统考一模）如图是某风车平面示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧形成线段，O的对应点为D，测得，此时太阳的与地面的夹角为（即）．(1)求旋转中心到地面的距离的值．(2)风车转动时，要求叶片外端离地面的最低高度高于米，请判断此风车是否符合要求．21．（2023·浙江杭州·统考一模）若小红的眼睛离地面的距离为米，在一处用眼睛看篮球框，测得仰角，继续向正前方走米再看篮球框，测得仰角，问篮球框距地面的高度是多少米？22．（2023·浙江宁波·统考一模）如图1，是一个自动伸缩晾衣架的实物图，图2是它的支架左侧平面示意图，当，D在上滑槽上左右滑动时，，同时在与平行的下滑槽上滑动，带动整个支架改变菱形内角度数，从而调节支架的高度，图2中，中间个菱形的边长均为．(1)当调节至时，求两滑槽间的距离（即与之间的距离）；(2)根据生活经验，当一个身高的人，头顶与下滑槽的距离不超过时，晒衣服比较方便，若上滑槽距离地面，那么至少调整到多少度？（参考数据：，，）23．（2023·浙江宁波·统考一模）桑梯——登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，的调整范围是．(1)当时，若人站在的中点处，求此人离地面（）的高度．(2)在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．（参考数据：，，，，，精确到0.1米）24．（2023·浙江宁波·统考一模）如图①是一把折叠躺椅，其示意图如图②所示，其中平行地面，人们可通过调整和的大小来满足不同需求，经测量两支脚，支点在上且，椅背，躺椅打开时两支脚的夹角．(1)求躺椅打开时两支脚端点、之间的距离；(2)躺椅打开时，调整椅背使，求此时椅背的最高点F到地面的距离．（参考数据：，，）通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．25．（2023·浙江嘉兴·统考一模）在课题学习《如何设计遮阳棚》中，计划在移门上方安装一个可伸缩的遮阳棚（如图1），其中为移门的高度，B为遮阳棚固定点，为遮阳棚的宽度（可变动），，．小丁所在小组负责探究“移门在正午完全透光时太阳高度角与遮阳棚宽度的关系”，查阅得到如下信息：太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角；该地区冬至日正午的太阳高度角a最小（约）；夏至日正午的太阳高度角a最大（约）．请你协助该小组，完成以下任务：【任务1】如图2，在冬至日正午时要使太阳光完全透过移门，应该不超过多少长度（结果精确到）【任务2】如图3，有一小桌子在移门的正前方，桌子最外端E到移门的距离为，桌子高度．若要求在夏至日正午时太阳光恰好照射不到桌面，则BD应该多长？（结果精确到．参考数据：，，，，，，）．05解直角三角形及其应用大题综合1．（2023·浙江绍兴·统考一模）某校数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学知识测量铁塔的高度，他们先在点D处用测角仪测得塔顶B的仰角为，再沿方向前行40米到达点A处，在点A处测得塔顶B的仰角为，已知测角仪高为米．请根据他们的测量数据，求此塔的高．（结果精确到，参考数据：，，）【答案】米【分析】根据题意得到，，，分别在和中，得到，，据此列出方程，解之可得x，从而求出，再加上即可．【详解】解：由题意可得：，，，设，在中，，

在中，，由题意列方程得：，解得：，∴，∴塔高为米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，涉及到等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义，熟练掌握以上知识是解答此题的关键．2．（2023·浙江台州·统考一模）图1是一个太阳能面板，其侧面如图2，点C是的中点，，支架可绕点C旋转，当太阳光线与面板垂直时，吸收光能的效率最高．若太阳光与地面夹角为，要想吸收光能的效率最高，求A端离地面的高度．（参考数据：）【答案】【分析】作于点E，利用三角函数解即可．【详解】解：如图，作于点E，由题意知，，，点C是的中点，，，在中，，，即A端离地面的高度为．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握三角函数的定义，通过作辅助线构造直角三角形．3．（2023·浙江丽水·统考一模）如图1，是一台小型输送机，其示意图如图2所示．已知两个支架的端点的距离，传输带与支架所成的角，支架端点离地面的高度，求支架端点离地面的高度．（结果精确到0.1m；参考数据，，）．【答案】【分析】过点A作于点F，可得，在利用三角函数求出BF，利用即可得解．【详解】解：过点作于点，可得，在中，，∴∴【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．4．（2023·浙江台州·统考一模）虎年岁末，台州进入轻轨时代，极大地方便了市民的出行，如图1是台州市城铁路线恩泽医院站出入口的自动扶梯，图2是其截面示意图，已知扶梯与购票厅地面的夹角，扶梯的长度为，求扶梯的底端C距离入口平台的高度．（结果精确到，参考数据：，，）【答案】扶梯的底端C距离入口平台的高度约为．【分析】过点B作，交的延长线于点．由题意可求，再结合锐角三角函数即可求出的长，即扶梯的底端C距离入口平台的高度．【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于点．∵，∴．由题意可得，在中，．∴扶梯的底端C距离入口平台的高度约为．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．5．（2023·浙江台州·统考一模）如图1是一种可折叠的台灯，图2是台灯的结构图，是可以绕点A旋转的支架，是可以绕点B旋转的支架，C为灯泡的位置．量得，当，时，求点C到的距离．（参考数据，，，）【答案】【分析】过点C作交的延长线于点D，根据解直角三角形的长，求出点C到的距离即可．【详解】解：过点C作交的延长线于点D，则，∴，在中，，∴点C到的距离为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．6．（2023·浙江宁波·统考一模）如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）．经测量，可在和之间发生变化，（包含和），．(1)当时，求此时的长；(2)当从变为时，这个千斤顶升高了多少？（，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）连接交于点E，由四边形是菱形得到，，，，当时，，由得到是等边三角形，则；（2）当时，在中，，则，则，当时，中，则可得到，得到，即可得到答案【详解】（1）连接交于点E，∵四边形是菱形，∴，，，，当时，，又∵，∴是等边三角形，∴；（2）当时，中，，∴，∴，当时，中，，∴，∴∴这个千斤顶升高了，答：这个千斤顶升高了64.8cm．【点睛】此题考查了菱形的性质、解直角三角形等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．7．（2023·浙江宁波·统考二模）图示为某校园的闸口，其双翼展开时为两个圆心角的扇形，，C、D处于同一水平线上且距离地面高度为，水平距离为．(1)求A点距离地面的高度（精确到）(2)为了起到有效的阻隔作用，要求，请通过计算说明该设备的安装是否符合要求．（参考数据）【答案】(1)70cm(2)该设备的安装符合要求【分析】（1）过点作于点，在中，求出的长，即可得出结果；（2）作于N点，分别求出的长，进而求出的长，即可得出结论．【详解】（1）解：过点作于点．在中，，．，∵点距离地面的高度为点距离地面的高度为（2）解：作于N点，在中，，．同理．∴该设备的安装符合要求．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．8．（2023·浙江宁波·统考一模）读书架也称临帖架、书托架，可帮助我们解放双手和保护眼睛，非常适合书法人群和学生使用．图是实木读书架实物图，图是其侧面示意图，其工作原理是通过调节点在上的位置，来改变的倾斜角度．已知，，当点调节到图位置时，测得，，．(1)求点到的距离．(2)求的长．（参考数据：，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）如图，过点作于点，解，即可求解；（2）延长交于点，过点作于点．根据已知得出，进而得出，在中，求得，在中，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．【详解】（1）解：如图，过点作于点．在中，，．（2）延长交于点，过点作于点．，，．．．．在中，．在中，．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．9．（2023·浙江绍兴·统考一模）某次科学实验中，小王将某个棱长为10cm正方体木块固定于水平木板上，cm，将木板绕一端点O旋转至（即）（如图为该操作的截面示意图）．(1)求点C到竖直方向上升高度（即过点C，水平线之间的距离）；(2)求点D到竖直方向上升高度（即过点D，水平线之间的距离）．（参考数据：，（1）（2）题中结果精确到个位）【答案】(1)38cm(2)36cm【分析】（1）过点作，在中，利用锐角三角函数求出的长度即可．（2）过点作，交的延长线于点，设交于点，分别求出的长，即可得出结果．【详解】（1）解：过点作于点，∵正方体木块的棱长为10cm，cm，∴，∵旋转，∴，∴在中，；∴点C到竖直方向上升高度为38cm；（2）过点作，交的延长线于点，设交于点则：四边形矩形，，∵旋转，∴，，∴，在中，，∴；∴点D到竖直方向上升高度为36cm．【点睛】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．10．（2023·浙江宁波·统考一模）如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图．是缓降器的底板，压柄可以绕着点旋转，液压伸缩连接杆的端点分别固定在压柄与底板上，已知．(1)如图2，当压柄与底座垂直时，约为，求的长；(2)现将压柄从图2的位置旋转到与成角（即），如图3的所示，求此时液压伸缩连接杆的长．（结果保留根号）（参考数据：；）【答案】(1)cm(2)cm【分析】（1）根据正切即为对边与邻边的比可得答案；（2）过点作，垂足为，在中，根据三角函数解直角三角形求出的值，根据求出的长度，然后根据勾股定理可得的长度．【详解】（1）解：在中，，答：此时的长约为5cm；（2）过点作，垂足为，在中，，，∴，在中，，答：此时液压伸缩连接杆的长约为cm．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键．11．（2023·浙江温州·模拟预测）如图为某学校安装的红外线体温检测仪（如图1），该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆上下调节（如图2），已知探测最大角（）为，探测最小角（）为．(1)若该设备的安装高度为米时，求测温区域的宽度．(2)该校要求测温区域的宽度为米，请你帮助学校确定该设备的安装高度．（结果精确到米，参考数据：，，，，，）【答案】(1)米(2)米【分析】（1）根据题意可得，，，米，利用锐角三角函数列式计算即可；（2）根据直角三角形锐角三角函数列式计算即可．【详解】（1）根据题意可知：，，，米，在中，（米，在中，（米，（米．答：测温区域的宽度为米；（2）根据题意可知：，在中，，，在中，，，解得米，（米．答：该设备的安装高度约为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的过程．12．（2023·浙江舟山·统考一模）如图1是一种可折叠的台灯，图2是台灯的结构图，是可以绕点A旋转的支架，点C为灯泡的位置，灯罩可绕点C旋转．量得，，此时，且．(1)当，时（图2），求灯泡C所在的高度；(2)在（1）的条件下，旋转支架（固定）．当从变成（图3）时，且的度数不变，，求的值．（结果精确到0.1，参考数据：，，，，，）【答案】(1)灯泡所在的高度为；(2)．【分析】（1）过点作于，于，利用直角三角形求出，的长度即可求解；（2）由（1）可知，，，过点作于，于，同（1）方法相同，求出，进而求出，即可求解．【详解】（1）解：过点作于，于，∵，∴四边形为矩形，则，，在中，∵，，∴，，则，∵，∴，则，∴，∴灯泡所在的高度为：；即：灯泡所在的高度为；（2）由（1）可知，，，∴，则，，当从变成时，且的度数不变，则，过点作于，于，∵，∴四边形为矩形，则，，∴，∵，∴，在中，，在中，∵，，∴，，∴；则，∴【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的过程．13．（2023·浙江宁波·校考一模）某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为，为支杆，它可绕点B旋转，其中长为，为悬杆，支杆与悬杆之间的夹角为．(1)如图2，当支杆与地面垂直，且灯泡悬挂点D距离地面的高度为，求的长；(2)在图2所示的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转，如图3，求此时灯泡悬挂点D到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，）【答案】(1)的长为(2)此时灯泡悬挂点D到地面的距离为．【分析】（1）过点D作于点G，过点D作于点F，从而可求出的长度，然后利用锐角三角函数的定义即可求出答案．（2）过点D作于点F，过点C作于点H，过点D作于点M，过点B作于点N，从而可知四边形和四边形是矩形，利用锐角三角函数的定义可求出的长度即可求出答案．【详解】（1）过点D作于点G，过点D作于点F，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，答：的长为；（2）过点D作于点F，过点C作于点H，过点D作于点M，过点B作于点N，，∴四边形和四边形是矩形，由题意可知：，∴，在中，，∴，∴，在中，∴，∴，∴，答：此时灯泡悬挂点D到地面的距离为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．14．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，从点处观测楼房的楼顶端点的仰角为，从点处沿着直线直走到达点，从点处观测楼顶端点的仰角为，观测广告牌端点的仰角为，求楼房的高度和广告牌的高度（结果精确到；参考数据：，，，，，，，，）．【答案】楼房的高度为，广告牌的高度为【分析】设，利用正切定义，表示出和的长，根据，列方程求出和的长，在中，利用正切定义求出的长，根据，可求出广告牌的高度．【详解】解：由题意，得，，设，则，．，∴，解得．∴，．又∵，∴．∴．答：楼房的高度为，广告牌的高度为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角和俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．15．（2023·浙江宁波·统考一模）如图1是一架踏板式人字梯，如图2是其侧面结构示意图，左支撑架和右支撑架长度都为，最上一层的踏板侧面平行于地面，若支撑架的张角．(1)求的长．(2)求踏板到地面的距离（结果精确到)（参考数据：）【答案】(1)(2)【分析】（1）过点A作于点H，利用等腰三角形的判定和性质得到，，利用解直角三角形得，即可得到的长．（2）设交于点M，得，，，求出，即可得到，得到踏板到地面的距离．【详解】（1）解：过点A作于点H，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴，即的长为．（2）解：设交于点M，∵，∴，，∴，，∵，∴，即踏板到地面的距离为．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质和解直角三角形是解题的关键．16．（2023·浙江台州·台州市书生中学统考一模）如图是汽车尾门向上开启时的截面图，已知车高，尾门，当尾门开启时，，求点C离地面的高度．（参考数据：，结果精确到）【答案】点C离地面的高度约为2.2米【分析】过点C作交延长线于点D，由题意可以得出，再根据锐角三角函数的正弦值求解即可．【详解】解：过点C作交延长线于点D，∵，∴，∵，∴，∴（米），∴（米），答：点C离地面的高度约为2.2米．【点睛】本题考查了解直角三角函数的实际应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．17．（2023·浙江台州·统考一模）图1是一款笔记本电脑支架，它便于电脑散热，减轻使用者的颈椎压力．图2是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图．已知，互相平分于点O，，若，．(1)求的长．(2)求点D到底架的高．（结果精确到；参考数据：，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得出，由，证明与均是正三角形，即可得出答案；（2）在中，利用正弦定义求解即可.【详解】（1）解：∵，，互相平分于点O，∴，∵，∴与均是正三角形，∴．（2）解：在中，，即，答：点D到底架的高为．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判断和性质，解直角三角形，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，准确计算．18．（2023·浙江湖州·统考一模）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开启侧面示意图，具体数据如图所示（单位：）且，，箱盖开启过程中，点B，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点，的位置，点在线段的延长线上．若直线．(1)求旋转角的度数．(2)若，求的长度．【答案】(1)(2)【分析】（1）过A作，垂足为G，根据旋转的性质可得，，根据平行线的性质和外角的性质分别得到，，相加可得结果；（2）过作延长线交于点，由旋转一定角度后得到可知，旋转角度为，过作，交于点，分别表示出、的长，即可得出的长．【详解】（1）解：如图，过A作，垂足为G，由旋转可得：，且都为旋转角，，∵，∴，∴，则，∵，则，∴；（2）如图，过点作于，过点作于，则，，，，在中，，设，则，，，，由（1）可知：，，，，，，，，，四边形是矩形，，，，，．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，已知三角函数表示边长，旋转的性质，以及勾股定理等知识，利用旋转的性质得出旋转角是是解题的关键．19．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图1，一吸管杯放置在水平桌面上，矩形为其横截面，为吸管，其示意图如图2所示，．(1)当杯子盖上时，吸管绕点O按顺时针方向转动到处，求扫过的面积．(2)当杯子绕点C按顺时针方向转动到与水平线平行时（如图3）．①求杯子与水平线的夹角的度数．②由图2到图3，点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少厘米？（结果精确到，参考数据：）【答案】(1)(2)①；②点A的位置是下降了厘米【分析】（1）根据扇形面积公式即可求解；（2）①过点作，根据平行线的性质即可求解；②过点作于点，延长交的延长线于点，在中，，在中，，，求得，即可求解．【详解】（1）解：扫过的面积为，（2）解：①如图所示，过点作，∴，，∴，∵，∴；②如图所示，过点作于点，延长交的延长线于点，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，在中，，，∴，，∴；点A的位置是下降了厘米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键．20．（2023·浙江宁波·统考一模）如图是某风车平面示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧形成线段，O的对应点为D，测得，此时太阳的与地面的夹角为（即）．(1)求旋转中心到地面的距离的值．(2)风车转动时，要求叶片外端离地面的最低高度高于米，请判断此风车是否符合要求．【答案】(1)(2)此风车符合要求【分析】（1）由平行线分线段成比例定理求得，再利用三角形函数的定义求解即可；（2）过点C作，垂足为F，则四边形为矩形，利用特殊角的三角函数值求得，进一步计算即可求解．【详解】（1）解：由题意得，，，∴，∴．∵，∴，∵，∴．（2）解：如图，过点C作，垂足为F，则四边形为矩形．∵，∴，即，∴叶片外端离地面的最低高度为，∵．∴此风车符合要求．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线分线段成比例，及勾股定理和矩形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．21．（2023·浙江杭州·统考一模）若小红的眼睛离地面的距离为米，在一处用眼睛看篮球框，测得仰角，继续向正前方走米再看篮球框，测得仰角，问篮球框距地面的高度是多少米？【答案】【分析】连接，过点D作，垂足为点E，交的延长线于点C，根据题意得：，设，分别在和中，利用锐角三角函数可得的长，再由，求出x的值，即可．【详解】解：如图，连接，过点D作，垂足为点E，交的延长线于点C，根据题意得：，设，在中，，，在中，，，∵，∴，解得：，即，∴篮球框距地面的高度是米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．22．（2023·浙江宁波·统考一模）如图1，是一个自动伸缩晾衣架的实物图，图2是它的支架左侧平面示意图，当，D在上滑槽上左右滑动时，，同时在与平行的下滑槽上滑动，带动整个支架改变菱形内角度数，从而调节支架的高度，图2中，中间个菱形的边长均为．(1)当调节至时，求两滑槽间的距离（即与之间的距离）；(2)根据生活经验，当一个身高的人，头顶与下滑槽的距离不超过时，晒衣服比较方便，若上滑槽距离地面，那么至少调整到多少度？（参考数据：，，）【答案】(1)(2)至少调整到【分析】（1）连接，延长交于点，延长交于点，利用，，求出的度数，利用三角函数求出，，最后用求出最后结果．（2）由（1）可知，所以，根据题意得出，利用已知可求出，再得出最后结果即可．【详解】（1）如图，连接，延长交于点，延长交于点．由菱形的轴对称性可知，，，为与之间的距离，即两滑槽间的距离，，，，．同理，，两滑槽间的距离为．（2）如图，由（1）可知，，由题意可得，，即，，，，至少调整到．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，利用三角函数求边长，正确作出辅助线，结合图形判断出是解答本题的关键．23．（2023·浙江宁波·统考一模）桑梯——登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，的调整范围是．(1)当时，若人站在的中点处，求此人离地面（）的高度．(2)在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围