湖北省“宜荆荆恩”高三上学期9月起点考试数学试题

湖北省2025届高三（9月）起点考试数学试卷命题单位：荆州市教科院审题单位：恩施州教科院宜昌市教科院2024.9本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上，1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再根据集合间的运算即可求解.【详解】解：，，，故.故选：C.2.已知两条直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】当时，，则，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3.已知复数满足，则的共轭复数在复平面中的对应点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求出复数后可求，从而可得复数在复平面中的对应点，故可得正确的选项.【详解】，故，其对应的点为，该点在第四象限，故选：D.4.将这个数据作为总体，从这个数据中随机选取个数据作为一个样本，则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得总体平均数，然后利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.【详解】依题意可知，总体平均数为，从这个数据中随机选取个数据作为一个样本，情况如下：选到，则样本平均数为，所以，选到，则样本平均数为，所以，选到，则样本平均数为，所以，选到，则样本平均数为，所以，选到，则样本平均数为，所以，选到，则样本平均数为，所以，选到，则样本平均数为，所以，选到，则样本平均数为，所以，选到，则样本平均数为，所以，选到，则样本平均数为，所以，所以该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率为.故选：D5.已知，则（）A.或7 B.或 C.7或7 D.7或【答案】B【解析】【分析】根据辅助角公式可求，故可求的值.【详解】因为，故，故，故，故，故选：B.6.已知点在所在的平面内，且.过点的直线与直线分别交于，设，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量基本定理可得，再利用基本不等式可求最小值.【详解】设的中点为，连接，则，故即，故为的中点，因为三点共线，故存在实数，使得，故，而，因为不共线，故即，，当且仅当时等号成立，故的最小值为，故选：C.7.一个三角形纸板的三个顶点为，以边上的高所在直线为旋转轴，将三角形纸板旋转，则纸板扫过的空间所形成的几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】几何体为两个半圆锥构成，根据圆锥体积可求该几何体的体积.【详解】，而为三角形内角，故，故，故，故，故几何体的体积为故选：A.8.若不等式恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，依题意可得恒成立，求出函数的导函数，分、两种情况讨论，说明函数的单调性，求出，即可得到，从而得到，再利用导数求出的最小值，即可得解.【详解】令，则恒成立，又，当时，恒成立，所以在上单调递增，且时，不符合题意；当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以，令，，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即的取值范围是.故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出，从而得到.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列结论正确的有（）A.函数的最小正周期为B.函数的最大值为C.函数的所有零点构成的集合为D.函数在上是增函数【答案】BC【解析】【分析】利用倍角公式求出，再求其周期判断A的真假；利用辅助角公式化简与，分析函数的性质，判断B，C，D的真假.【详解】对A：，所以.故A错误；对B：因为，当即时，函数有最大值，故B正确；对C：由，故C正确；对D：，由，令得，函数在上递增，在右侧一定是先单调递减，故D错误.故选：BC10.已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（）A.B.的图象关于点成中心对称C.D.【答案】ABD【解析】【分析】对A，利用赋值法再结合偶函数即可求解；对B，先推出的周期，再结合中心对称的结论即可求解；对C，利用周期性即可求解；对D，利用函数的奇偶性，单调性，再结合函数的对称性即可求解.【详解】对A，满足，令，则，即f1=0又为偶函数，，故A对；对B，，，故的周期，再根据，即，∴fx的图象关于点成中心对称，故B对；对C，由B知：的周期，故，，令，则f2又当时，，即，即，，故，故C错误；对D，满足，∴fx关于1,0又当时，∴fx在0,2当时，，当时，为偶函数，，，当且仅当时，即时等号成立，，故D对故选：ABD.【点睛】关键点点睛：解答此类有关函数性质的题目，关键点在于要结合函数性质，利用赋值法以及代换法，推出函数相应的性质.11.在平面直角坐标系中，已知点是曲线上任意一点，过点向圆引两条切线，这两条切线与的另一个交点分别为，则下列结论正确的有（）A.B.直线与圆相切C.的周长的最小值为D.的面积的最小值为【答案】BD【解析】【分析】分别对直线，的斜率是否存在进行讨论，对各种情况下各选项的内容进行判断即可.【详解】如图，不妨设点位于第一象限，直线在圆的左边，直线在圆的右边.首先，若直线的斜率不存在，则，，设直线的方程为：即.因为直线与圆相切，所以，此时直线：与曲线只有1个交点，不合题意；其次，若直线的斜率不存在，则，，设直线的方程为：即.因为直线与圆相切，所以，此时直线：，所以.此时：，，，.所以，故A不成立；直线：，由得直线与圆相切，故B成立；因为，所以的周长为，满足C选项；，满足D选项.最后，直线，的斜率都存在时：设（且），，.所以，所以直线的方程为：，即.因为直线与圆相切，所以：.同理可得：.所以为方程的两根.所以：，.又直线的方程为：，点到直线的距离为：.所以直线与圆相切，故B正确；又，又，点到直线的距离为：.所以.令，，.设当时，恒成立.所以当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以.所以在和上单调递增，在0,2上单调递减.又因为，，所以.所以，符合D.综上可知，的面积的最小值为，故D正确.又的内切圆半径为1，所以，所以.即周长的最小值为，故C错误.故选：BD.【点睛】方法点睛：若的内切圆半径为，三边长分别为，则，故求周长的最小值，可以利用三角形面积的最小值来求.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知某种商品的广告费（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间的对应数据如下表：134571418304246根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则当广告费为10万元时，销售额预测值为__________万元.【答案】66【解析】【分析】先根据经验回归方程过样本中心点求出，再将代入经验回归方程即可求解.【详解】解：由题意知：，，将样本中心点代入，即，解得：，故，将代入，即.故答案为：66.13.过双曲线的一个焦点作倾斜角为的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是__________.【答案】##【解析】【分析】求出过焦点的直线方程和渐近线方程后可求三角形的面积.【详解】由双曲线的对称性不妨设倾斜角为的直线过右焦点，由双曲线可得渐近线方程为，双曲线的半焦距为，故右焦点坐标为，过倾斜角为的直线方程为，由可得交点坐标为，由可得交点坐标为，倾斜角为的直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为，故答案为：.14.已知数列有30项，，且对任意，都存在，使得.（1）__________；（写出所有可能的取值）（2）数列中，若满足：存在使得，则称具有性质.若中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，则__________.【答案】①.②.1047【解析】【分析】①根据题意代入即可求解；②先根据题意分析出具有性质的项，易知从开始是以为首项为公差的等差数列，再根据等差数列求和即可求解.【详解】当时，，当时，，或，当时，，或，或时有或，当时，，或，或时有或，或时有或或，综上所述：的所有可能取值为：.中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，故，，即具有性质，则易知从开始是以为首项为公差的等差数列，.故答案：；1047.【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义问题的求解，涉及到根据新定义求解数列中的项、数列求和等知识；关键是能够准确理解所给的新定义，得到所给数列性质与等差数列之间的关系.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），（2），.【解析】【分析】（1）利用得出数列是等比数列，从而可得通项公式；（2）由已知求得，得出是等差数列，求出其前项和，然后根据绝对值的性质得出数列与的前项和的关系，从而求得结论．【小问1详解】由，则当时两式相减得，所以.将代入得，，所以对于，故an是首项为2，公比为2的等比数列，所以.【小问2详解】.，因为当时，当时，所以当时，，当时，.故.16.如图，长方体中，点分别在上，且，.（1）求证：平面；（2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证，，根据线面垂直的判定定理证明平面.（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求二面角的余弦.【小问1详解】因为平面平面，所以，又且，平面，所以平面，且平面，故，同理，，平面，所以平面.【小问2详解】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图：则，在平面中，设平面的一个法向量为n=x,y,z则，可取由（1）知，平面的一个法向量为设平面与平面的夹角为，则故所求的夹角的余弦值为.17.已知椭圆经过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，且，求的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和椭圆上一点，求的值，确定椭圆的标准方程.（2）分直线不存在斜率和存在斜率两种情况讨论.当直线存在斜率时，设直线方程，与椭圆处联立，消去，得到关于的一元二次方程，用韦达定理表示出与，再把转化成的关系，求出的值即可.【小问1详解】联立得，故所求椭圆的方程为.【小问2详解】如图：易知.①当斜率为0时，或，不符合题意.②当斜率不为0时设，设Ax1,y1，联立消去得.所以，由得，代入以上两式消去得.故，化为一般方程为.18.如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室.粒子在室不旋转，在室､室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.现有两个粒子从室出发，先后经过1号门，2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为.（1）已知两个粒子通过1号门后，恰有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率为，求；（2）求的分布列和数学期望；（3）设，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率.【答案】（1）或（2）分布列见解析，1（3）【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程，从而求得.（2）根据独立事件概率计算求得的分布列，并求得数学期望.（3）根据全概率公式以及条件概率计算公式求得正确答案.【小问1详解】设“两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态”.事件A发生即通过2号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态，故，解得或.【小问2详解】由题知，时分3类情形，①两个粒子通过1号门后均处上旋状态，通过2号门后均不改变状态；②两个粒子通过1号门后一个上旋状态一个下旋状态，通过2号门后上旋状态粒子不改变状态，下旋状态粒子改变状态；③两个粒子通过1号门后两个均为下旋状态，通过2号门后均改变状态，所以，同理，，所以所求的分布列为X012P所以所求数学期望.【小问3详解】设“两个粒子通过1号门后处于上旋状态粒子个数为个”，，“两个粒于通过2号门后处于上旋状态的粒于个数为2个”，则，，则.故.19.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若在1,+∞上恒成立，求实数的取值范围；（3）帕德近似（Padeapproximation）是数学中常用的一种将三角函数､指数函数