垂直的判定与性质讲义高三数学一轮复习

知识点一线面垂直的判定与性质【基础指数框架】1.线线垂直的判定(1)等腰三角形中线(2)勾股逆定理(3)菱形对角线(4)矩形邻边(5)正方形对角线与邻边(6)圆直径所对圆周角(7)线面垂直的性质※若提及空间中两个角相等，应证明全等，进而得到边相等，利用等腰三角形的性质※若菱形有一内角为，则角顶点与对边中点的连线与对边垂直2.线面垂直的判定判定性质图形表示数学语言表示图形表示数学语言表示线面垂直【例题分析】考向一利用特殊平行四边形的性质证垂直1．（2022·上海闵行·二模·节选）如图，四棱锥的底面为菱形，平面ABCD，，E为棱BC的中点．(1)求证：平面PAD；考向二利用等腰三角形的性质证垂直例2.如图，在三棱锥中，，，，．求证：；AACBP考向三利用勾股逆定理证垂直3．（2024·山东枣庄·模拟预测·节选）如图，四棱台的底面为菱形，，点为中点，．(1)证明：平面；

考向四利用圆直径所对圆周角是直角证垂直4．（2022·吉林·模拟预测·节选）如图，在三棱锥中，是外接圆的直径，垂直于圆所在的平面，、分别是棱、的中点．(1)求证：平面；5．（2022·山东泰安·模拟预测·节选）如图，圆台下底面圆的直径为，是圆上异于的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，.(1)证明：平面；

考向五利用线面垂直的性质证垂直6．（2324高三下·内蒙古赤峰·开学考试·改编）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，.(1)证明：平面.(2)证明：平面.7．（2024·河北保定·二模·节选）如图，在四棱锥中，底面是菱形，分别为的中点，且．(1)证明：．

知识点二面面垂直的判定【基础指数框架】面面垂直的判定文字语言图形语言符号语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．【例题分析】例1．（2023秋·内蒙古包头·高三开学考·节选）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，.

(1)证明：平面平面；

例2．（2023秋·福建福州·高三统考开学考试）如图，在底面为菱形的四棱锥中，，．(1)求证：平面平面ABCD；例3.已知四边形是矩形，平面，，，分别是，的中点，求证：平面平面.

【变式训练】1．（2023秋·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考开学考试）如图所示，在正方体中．求证：(1)直线平面；(2)平面平面．2．（2022春·云南保山·高二统考期末）如图，在四棱锥中，平面是等边三角形，.(1)求证：平面平面；

3．（2023春·广东广州·高一统考期末·节选）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，AC与BD相交于点O，E为CD的中点，，，(1)证明：平面平面ABCD；4．（2022·广州一模）如图，在五面体ABCDE中，平面ABC，，，.(1)求证：平面平面ACD；

知识点三面面垂直的性质【基础指数框架】面面垂直的性质文字语言图形语言符号语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．【例题分析】例1．（2024·广东广州·二模·节选）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，且与平面垂直，，.(1)证明：平面；

例2．（2024·广东深圳·一模·节选）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且．(1)求证：平面；例3．（2023·广西玉林·模拟预测·节选）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，且，侧面是边长为的正方形，侧面侧面，为的中点．(1)求证：平面；

【变式训练】1．（2022•集美区校级模拟）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，为正三角形，，分别是，上的动点．（1）求证：；2．（2022•广州二模